数模--生产计划模型课程设计-

2024-02-24 来源：乌哈旅游

重庆邮电大学数学大类专业

2008级《数学建模与数学实验》课程设计

设计题目：

设计时间：

生产计划研究与分析

2010年09月6日至09月11日

姓名：班级：设计成绩：

学号：

指导教师：王长有

生产计划研究与分析

一、题目

问题一：生产计划研究与分析

炼油厂将A、B、C三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油，一桶原油加工成一桶汽油的费用为4元，每天最多能加工汽油14000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出，如何安排生产计划，使利润最大？

一般来说，做广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可以使该汽油日销售量增加10桶，且每天最多投入广告费800元，问：如何安排生产和广告计划使利润最大？

原油类型 A B C 原油类型甲乙丙买入价（元/桶）买入量（桶/天） 70 60 50 3000 2000 1000 辛烷值（%） >=10 >=8 >=6 硫含量（%） <=1.0 <=2.0 <=1.0 买入价（元/桶）买入量（桶/天） 45 35 25 <=5000 <=5000 <=5000 辛烷值（%） 12 6 8 硫含量（%） 0.5 2.0 3.0

二、摘要（该部分由王新完成）

炼油厂将A、B、C三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油来获得利润，而生产厂家的目的是在有限的资金投入内获得最大的利润，这就要求生产商在权衡原料进价，生产产品市场价格，生产产品市场需求，各部分产品的含量要求值等等之间，做出正确的、合理的生产计划，从而获得最大的利润。一般这方面的问题都是通过建立线性规划模型来实现合理安排生产计划的。

根据一桶原油加工成一桶汽油的费用和原油的买入价，每天最大买入量，辛烷值和硫含量；汽油的卖出价，每天需求量，辛烷值和硫含量等，各方面的条件限制，可以研究分析得出是一个线性规划模型求最值的问题，我们可以根据公式1来建立两种不同情况的模型。

总利润=总收入—加工费—买油成本—（广告费）（公式1）

考虑到这是一个有关线性规划问题的求解，又因为涉及到的数据都是整数，所以我们采用了数学软件LINGO 9.0版本来求解有关这个问题。由最终的结果可以看到产品在通过广告进行促销时所增加的收益是没有通过广告所获得收益的2倍多，这可以充分体现了广告在产品促销过程中所起到的特殊的效用。

三、问题重述（该部分王新完成）

炼油厂将A、B、C三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油，一桶原油加工成一桶汽油的费用为4元，每天最多能加工汽油14000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由题目表格给出，如何安排生产计划，使利润最大？

本题要求炼油厂将A、B、C三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油，在不做广告和做广告的情况下怎样安排使生产使利润最大。

四、模型的假设与符号说明（该部分由王新完成）

（1）模型假设

1）原油A、B、C和汽油甲、乙、丙的辛烷值和硫含量固定不变

2）在一定的时间内，原油的买入价、买入量要求和汽油的卖出价、需求量保持不变 3）汽油甲、乙、丙都是分别由原油A、B、C混合加工而成 4）假设多少桶原油就能加工成多少桶汽油，加工过程中不浪费

（2）符号说明

maxZ ：指生产家获得的最大利润

minf：指线性规划方程

X1X2X3X4X5X6X7X8X9

：用于加工汽油甲的原油A的数量：用于加工汽油乙的原油A的数量：用于加工汽油丙的原油A的数量：用于加工汽油甲的原油B的数量：用于加工汽油乙的原油B的数量：用于加工汽油丙的原油B的数量：用于加工汽油甲的原油C的数量：用于加工汽油乙的原油C的数量：用于加工汽油丙的原油C的数量

X10：汽油甲的广告费用 X11：汽油乙的广告费用

X12：汽油丙的广告费用

五、模型的建立（该部分由李华荣和王新共同完成）

根据题意建立线性规划模型，其中要用到的未知参量符号前面已说明，而其中的限制条件有：需求限制，原料限制，含量限制，非负限制，具体如图1和图2所示，由题意分别以汽油不做广告和汽油通过广告增加销售时两种方式建立模型如下

1、产品不做广告

限制条件图解如图1

所以据图1可得生产家可以获得的最大利润为：

从而得到线性规划模型：

minf45(X1X2X3)35(X4X5X6)25(X7X8X9)

限制条件为：

X1X4X73000XXX2000582X3X6X91000X1X2X35000XXX5000564X7X8X95000s.t.12X16X48X710300012X6X8X82000258 12X36X68X9610000.5X12X43X7130000.5X22X53X8220000.5X32X63X911000X0,i1,2,3,9i

2、当产品通过广告增加销售时

限制条件图解如图2：

所以据图2可得生产家可以获得的最大利润为:

从而得到线性规划模型：

minf49(X1X2X3)39(X4X5X6)29(X7X8X9)699X10599X11499X12

线性规划限制条件为：

01X010X1X4X7300XXX20001X011582X3X6X910001X012X1X2X35000XXX5000564X7X8X95000XXX800101112s.t.) 012X16X48X710(300010X112X26X58X88(200010X)11)212X36X68X96(100010X10.5X2X3X1(300010X)147100.5X22X53X82(200010X11)0.5X32X63X91(100010X12)Xi0,i1,2,312

六、模型的求解与分析（该部分由李华荣完成）

由于这个模型涉及到的数据是整数，而其中的方程又是有关线性规划的问题，LINGO

是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具，所以我们采用LINGO 9.0软件来解答这个模型。

1.产品不做广告时模型的求解

1)程序

model:

title 生产计划研究与分析;

min = 45*(x1+x2+x3)+35*(x4+x5+x6)+25*(x7+x8+x9); x1+x4+x7=3000; x2+x5+x8=2000; x3+x6+x9=1000; x1+x2+x3<5000; x4+x5+x6<5000; x7+x8+x9<5000;

12*x1+6*x4+8*x7>30000; 12*x2+6*x5+8*x8>16000; 12*x3+6*x6+8*x9>6000; 0.5*x1+2*x4+3*x7<3000; 0.5*x2+2*x5+3*x8<4000;

0.5*x3+2*x6+3*x9<1000;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6); @gin(x7);@gin(x8);@gin(x9); end

2)计算结果

Global optimal solution found.

Objective value: 230000.0 Extended solver steps: 0+ Total solver iterations: 13

Model Title: 生产计划研究与分析

Variable Value Reduced Cost X1 2400.000 45.00000 X2 800.0000 45.00000 X3 800.0000 45.00000 X4 0.000000 35.00000 X5 0.000000 35.00000 X6 0.000000 35.00000 X7 600.0000 25.00000 X8 1200.000 25.00000 X9 200.0000 25.00000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 230000.0 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 1000.000 0.000000 6 5000.000 0.000000 7 3000.000 0.000000 8 3600.000 0.000000 9 3200.000 0.000000 10 5200.000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000

由此可得产品不通过广告时 minf230000

最大收益为： maxZ= 356000-minf = 356000-23000 = 126000

2.产品通过广告增加销售时模型的求解

1)程序

model:

title 生产计划研究与分析;

min=49*(x1+x2+x3)+39*(x4+x5+x6)+29*(x7+x8+x9) -699*x10-599*x11-499*x12; x1+x4+x7=3000+10*x10; x2+x5+x8=2000+10*x11; x3+x6+x9=1000+10*x12; x1+x2+x3<5000; x4+x5+x6<5000; x7+x8+x9<5000; x10+x11+x12<800;

12*x1+6*x4+8*x7>10*(3000+10*x10); 12*x2+6*x5+8*x8>8*(2000+10*x11); 12*x3+6*x6+8*x9>6*(1000+10*x12); 0.5*x1+2*x4+3*x7<3000+10*x10; 0.5*x2+2*x5+3*x8<4000+20*x11; 0.5*x3+2*x6+3*x9<1000+10*x12;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6); @gin(x7);@gin(x8);@gin(x9);@gin(x10);@gin(x11);@gin(x12); end

2）计算结果

Global optimal solution found.

Objective value: 92250.00 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 11

Model Title: 生产计划研究与分析

Variable Value Reduced Cost X1 2000.000 49.00000 X2 2200.000 49.00000 X3 800.0000 49.00000 X4 1000.000 39.00000 X5 4000.000 39.00000 X6 0.000000 39.00000 X7 0.000000 29.00000 X8 3300.000 29.00000 X9 200.0000 29.00000 X10 0.000000 -699.0000 X11 750.0000 -599.0000 X12 0.000000 -499.0000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 92250.00 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 1500.000 0.000000 8 50.00000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 800.0000 0.000000 11 5200.000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000

由此可得产品通过广告增加销售时 minf92250

最大收益为maxZ=380000-minf



=380000-92250 =287750

七、模型的结果分析（该部分由李华荣完成） 1.产品不做广告时

据上面用LINGO 9.0软件计算所得的结果数据可知，用于加工汽油甲、乙、丙所需的原油A、B、C的数量如表1：

A B C 甲 2400 0 600 表1

所以生产厂家按照以上的数量规格进行生产计划就可以获得最大的利润，在理想状态下可以获得的最大利润为maxZ126000。

2.产品通过广告增加销售时

据上面用LINGO 9.0软件计算所得的结果数据可知，用于加工汽油甲、乙、丙所需的原油A、B、C的数量及做广告所需的费用如表2：

A B C 费用甲 2000 1000 0 0 表2

所以生产厂家按照以上的数量规格进行生产计划就可以获得最大的利润在理想状态下可以获得的最大利润为maxZ287750。

3.结论

通过简单的计算287750126000161750 ，可以看出在理想状态下只需投入750元的广告费就可以多增加161750元的利润，除去广告费就可以获得161000元，所以可以看出在通过广告增加销售时所获得的利润相当于未通过广告时所获得利润的2倍多，这的确是一个诱人的数字哟！

我们把产品在不通过广告和通过广告销售时的情况做如下函数图像也可以清晰的认识到广告在产品销售过程中对产品的促销起到的特殊的作用与效用(见图3)。

乙 800 0 1200 丙 600 0 200 乙 2200 4000 3300 750 丙 800 0 200 0

图3

注：图中的2个坐标点即所求的利润最大点

八、参考文献

【1】赵静，但琦. 数学建模与数学实验(第三版). 高等教育出版社，2008 【2】管梅谷，郑汉鼎. 线性规划. 山东:山东大学出版社，1986 【3】谢金星，薛毅. 优化建模LINGO. 清华大学出版社，2005

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