一、单项选择题
1．关系规范化中的删除操作异常是指 ① ，插入操作异常是指 ② 。 A．不该删除的数据被删除 B．不该插入的数据被插入 C．应该删除的数据未被删除 D．应该插入的数据未被插入 答案：①A ②D
2．设计性能较优的关系模式称为规范化，规范化主要的理论依据是 。 A．关系规范化理论 B．关系运算理论 C．关系代数理论 D．数理逻辑 答案：A
3．规范化理论是关系数据库进行逻辑设计的理论依据。根据这个理论，关系数据库中的关系必须满足：其每一属性都是 。 A．互不相关的 B．不可分解的 C．长度可变的 D．互相关联的 答案：B
4．关系数据库规范化是为解决关系数据库中 问题而引入的。 A．插入、删除和数据冗余 B．提高查询速度
C．减少数据操作的复杂性 D．保证数据的安全性和完整性 答案：A 5．规范化过程主要为克服数据库逻辑结构中的插入异常，删除异常以及 的缺陷。 A．数据的不一致性 B．结构不合理 C．冗余度大 D．数据丢失 答案：C
6．当关系模式R(A，B)已属于3NF，下列说法中 是正确的。 A．它一定消除了插入和删除异常 B．仍存在一定的插入和删除异常 C．一定属于BCNF D．A和C都是 答案：B
7．关系模型中的关系模式至少是 。
A．1NF B．2NF C．3NF D．BCNF 答案：A
8．在关系DB中，任何二元关系模式的最高范式必定是 。 A．1NF B．2NF C．3NF D．BCNF 答案：D
9．在关系模式R中，若其函数依赖集中所有候选关键字都是决定因素，则R最高范式是 。
A．2NF B．3NF C．4NF D．BCNF 答案：C
10．当B属于函数依赖于A属性时，属性A与B的联系是 。 A．1对多 B．多对1 C．多对多 D．以上都不是
1
答案：B
11．在关系模式中，如果属性A和B存在1对1的联系，则说 。 A．A→B B．B→A C．A←→B D．以上都不是 答案：C
12．候选关键字中的属性称为 。
A．非主属性 B．主属性 C．复合属性 D．关键属性 答案：B
13．关系模式中各级模式之间的关系为 。 A．3NF2NF1NF B．3NF1NF2NF C．1NF2NF3NF D．2NFlNF3NF 答案：A
14．关系模式中，满足2NF的模式， 。 A．可能是1NF B．必定是1NF C．必定是3NF D．必定是BCNF 答案：B
15．关系模式R中的属性全部是主属性，则R的最高范式必定是 。 A．2NF B．3Nf C BCNF D．4NF
答案：B
16．消除了部分函数依赖的1NF的关系模式，必定是 。 A．1NF B．2NF C．3NF D．4NF 答案：B
17．关系模式的候选关键字可以有 ① ，主关键字有 ② 。 A．0个 B．1个 C．1个或多个 D．多个 答案：①C ②B
18．候选关键字中的属性可以有 。
A．0个 B．1个 C．1个或多个 D．多个 答案：C
19．关系模式的分解 。 A．惟一 B．不惟一 答案：B
20．根据关系数据库规范化理论，关系数据库中的关系要满足第一范式。下面“部门”关系中，因哪个属性而使它不满足第一范式? 。 部门(部门号，部门名，部门成员，部门总经理) A．部门总经理 B．部门成员 C．部门名 D．部门号 答案：B
21．图4．5中给定关系R 。
A．不是3NF B．是3NF但不是2NF C．是3NF但不是BCNF D．是BCNF 答案：D
22．设有如图4．6所示的关系R，它是 。 A．1NF B．2NF C．3NF D．4NF 答案：B
23．设有关系W(工号，姓名，工种，定额)，将其规范化到第三范式正确的答案是 。
2
A．W1(工号，姓名) ,W2(工种，定额)
B．W1(工号，工种，定额) W2(工号，姓名) C．W1(工号，姓名，工种) w2(工号，定额) D．以上都不对 答案：C
24．设有关系模式W(C，P，S，G，T，R)，其中各属性的含义是：C为课程，P为教师，S为学生，G为成绩，T为时间，R为教室，根据定义有如下函数依赖集： F＝{C→G，(S，C)→G，(T，R)→C，(T，P)→R，(T，S)→R}
关系模式W的一个关键字是 ① ，W的规范化程度最高达到 ② 。若将关系模式W分解为3个关系模式W1(C，P)，W2(S，C，G)，W3(S，T，R，C)，则W1的规范化程度最高达到 ③ ，W2的规范化程度最高达到 ④ ，W3的规范化程度最高达到 ⑤ 。
①A．(S，C) B．(T，R) C．(T，P) D．(T，S) E．(T，S，P) ②③④⑤ A．1NF B．2NF C．3NF D．BCNF E．4NF
答案：①E ②B ③E ④E ⑤B
二、填空题
1．关系规范化的目的是 。
答案：控制冗余，避免插入和删除异常，从而增强数据库结构的稳定性和灵活性
2．在关系A(S，SN，D)和B(D，CN，NM中，A的主键是S，B的主键是D，则D在S中称为 。
答案：外部键 3．对于非规范化的模式，经过 ① 转变为1NF，将1NF经过 ② 转变为2NF，将2NF经过 ③ 转变为3NF。 答案：①使属性域变为简单域
②消除非主属性对主关键字的部分依赖
③消除非主属性对主关键字的传递依赖
4．在一个关系R中，若每个数据项都是不可再分割的，那么R一定属于 。 答案：1NF
5．1NF，2NF，3NF之间，相互是一种 关系。 答案：3NF2NF1NF
6．若关系为1NF，且它的每一非主属性都 候选关键字，则该关系为2NF。 答案：不部分函数依赖于
7．在关系数据库的规范化理论中，在执行“分解”时，必须遵守规范化原则：保持原有的依赖关系和 。 答案：无损连接性 8．设有如图4．7所示的关系R，R的候选关键字为 ① ；R中的函数依赖有 ② ；R属于 ③ 范式。
答案：①A和DE ②A→DE，DE→A ③BCNF
3
三．应用题
1．分析关系模式：STUDENT(学号，姓名，出生日期，系名，班号，宿舍区)，指出其候选关键字，最小依赖集和存在的传递函数依赖。 解：经分析有：
候选关键字：学号(每个学生只有惟一的学号)
最小依赖集：{学号→姓名，学号→出生日期，学号→班号，系名→宿舍区，班号→系名}
存在传递函数依赖：
传递
学号→系名→宿舍区，∴有学号————→宿舍区；
传递
班号→系名→宿舍区，∴有班号————→宿舍区；
传递
学号→班号→系名，∴有学号————→系名；
2．指出下列关系模式是第几范式?并说明理由。 (1).R(X，Y，Z) F＝{XY→Z} (2).R(x，Y，z)
F＝{Y→z，XZ→Y} (3).R(X，Y，Z)
F＝{Y→Z，Y→X，X→YZ} (4).R(x，Y，z)
F＝{X→Y，X→Z} (5).R(x，Y，Z) F＝{XY→Z} (6).R(W，X，Y，Z) F＝{X→Z，WX→Y} 解：
(1).R是BCNF。
R候选关键字为XY，F中只有一个函数依赖，而该函数依赖的左部包含了R的候选关键字XY。
(2).R是3NF。
R候选关键字为XY和XZ，R中所有属性都是主属性，不存在非主属性对的候选关键字的传递依赖。 (3).R是BCNF。
R候选关键字为X和Y，∵X→YZ，∴X→Y，X→Z，由于F中有Y→Z，Y→X，因此Z是直接函数依赖于X，而不是传递依赖于X。又∵F的每一函数依赖的左部都包含了任一候选关键字，∴R是BCNF。 (4).R是BCNF。
R的候选关键字为X，而且F中每一个函数依赖的左部都包含了候选关键字X。 (5).R是BCNF。
R的候选关键字为XY，而且F中函数依赖的左部包含了候选关键字XY。
4
(6).R是1NF。
R的候选关键字为WX，则Y，Z为非主属性，又由于X→Z，因此F中存在非主属性对候选关键字的部分函数依赖。
3．设有关系模式R(U，F)，其中：
U＝{A，B，C，D，E，P}，F＝{A→B，C→P，E→A，CE→D} 求出R的所有候选关键字。
解：根据候选关键字的定义：如果函数依赖X→U在R上成立，且不存在任何X’ X，使得X→U也成立，则称X是R的一个候选关键字。由此可知，候选关键字只可能由A，C，E组成，但有E→A，所以组成候选关键字的属性可能是CE。 计算可知：(CE)=ABCDEP，即CE→U
而：C=CP，E＝ABE ∴R只有一个候选关键字CE。
4．设有关系模式R(C，T，S，N，G)，其上的函数依赖集： F={C→T，CS→G，S→N} 求出R的所有候选关键字。
解：根据候选关键字的定义，R的候选关键字只可能由F中各个函数依赖的左边属性组成，即C，S，所以组成候选关键字的属性可能是CS。 计算可知：(CS)=CGNST，即CS→U 而：C=CT，S=NS
∴R只有一个候选关键字CS。
5．设有关系模式R(A，B，C，D，E)，其上的函数依赖集： F＝{A→BC，CD→E，B→D，E→A} (1).计算B。
(2).求出R的所有候选关键字。 解：
(1).令X＝{B}，X(0)＝B，X(1)=BD，X(2)＝BD，故B＝BD。
(2).根据候选关键字定义，R的候选关键字只可能由F中各个函数依赖的左边属性组成，即A，B，C，D，E，由于A→BC(A→B，A→C)，B→D，E→A，故： ·可除去A，B，C，D，∴组成候选关键字的属性可能是E。 计算可知：E
十
+
++
++
+
++
＝ABCDEE，即E→U，∴E是一个候选关键字。
·可除去A，B，E，∴组成候选关键字的属性可能是CD。
计算可知：(CD)=ABCDE，即CD→U，但C=C，D＝D，∴CD是一个候选关键字。 ·可除去B，C，D，E，∴组成候选关键字的属性可能是A。 计算可知：A＝ABCDE，即A→U，∴A是一个候选关键字。
5
+
+
+
+
·可除去A，D，E，∴组成候选关键字的属性可能是BC。
计算可知：(BC)=ABCDE，即CD→U，但B＝BD，C＝C，∴BC是一个候选关键字。 R的所有候选关键字是A，BC，CD，E。
6．设有关系模式R(U，F)，其中：
U＝{A，B，C，D，E}，F＝{A→D，E→D，D→B，BC→D，DC→A} (1).求出R的候选关键字。
(2).判断ρ＝{AB，AE，CE，BCD，AC}是否为无损连接分解? 解：
(1).(CE)=ABCDE，则CE→U，而C＝C，E＝DE＝BDE，根据候选关键字定义，CE是R的候选关键字。
(2). ρ的无损连接性判断表如下表所示，由此判断不具有无损连接性。
Ri AB AE CE BCD AC A a1 a1 a1 B a2 a2 C a3 a3 a3 D a4 E a5 a5 +
+
+
+
+
+
7．设有关系框架R(A，B，C，D，E)及其上的函数相关性集合F＝{A→C，B→D，C→D，DE→C，CE→A}，试问分解ρ＝{R1(A，D)，R2(A，B)，R3(B，E)，R4(C，D，E)，R5(A，E)}是否为R的无损连接分解?
解：p的无损连接性判断结果表如下表所示，由此判断不具有无损连接性。
Ri AD AB BE CDE AE A a1 a1 a1 B a2 a2 C a3 D a4 a4 E a5 a5 a5
8．设有函数依赖集F＝{AB→CE，A→C，GP→B，EP→A，CDE→P，HB→P，D→HG，ABC→PG}，计算属性集D关于F的闭包D。
解：令X={D}，X(0)=D。
在F中找出左边是D子集的函数依赖，其结果是：D→HG，∴X(1)＝X(0)HG=DGH， 显然有X(1)≠X(0)。
在F中找出左边是DGH子集的函数依赖，未找到，则X(2)＝DGH。由于X(2)＝X(1)，
则：D=DOH
9．已知关系模式R的全部属性集U={A，B，C，D，E，G}及函数依赖集： F＝{AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG}
+
+
6
求属性集闭包(BD)。
解：令X＝{BD}，X(0)＝BD，X(1)＝BDEG，X(2)＝BCDEG，X(3)＝ABCDEG，故(BD)＝ABCDEG。 10．设有函数依赖集F={D→G，C→A，CD→E，A→B)，计算闭包D，C，A，(CD)，(AD)，(AC)，(ACD)。 解：
令X＝{D}，X(0)＝D，X(1)＝DG，X(2)＝DG，故D＝DG。
令X＝{C}，X(0)＝C，X(1)＝AC，X(2)＝ABC，X(3)＝ABC，故C＝ABC。 令X＝{A}，X(0)＝A，X(1)＝AB，X(2)＝AB，故A＝AB。
令X＝{CD}，X(0)＝CD，X(1)＝CDG，X(2)＝ACDG，X(3)＝ACDEG，X(4)＝ABCDEG， 故(CD)=ABCDEG。
令X＝{AD}，X(0)＝AD，X(1)＝ABD，X(2)＝ABDG，X(3)＝ABDG，故(AD)＝ABDG。 令X＝{AC}，X(0)＝AC，X(1)＝ABC，X(2)=ABC，故(AC)=ABC。
令X＝{ACD}，X(0)=ACD，X(1)=ABCD，X(2)＝ABCDG，X(3)＝ABCDEG，故(ACD)＝ABCDEG。
11．设有函数依赖集F＝{AB→CE，A→C，GP→B，EP→A，CDE→P，HB→P，D→H，ABC→PG，求与F等价的最小函数依赖集。
解：(1).将F中依赖右部属性单一化： AB→C HB→P AB→E D→H F1= A→C D→G GP→B ABC→P EP→A ABC→G CDE→P
(2).对于AB→C，由于有A→C，则为多余的： AB→E HB→P A→C D→H F2= GP→B D→G EP→A ABC→P CDE→P ABC→G
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7
(3).通过分析没有多余的依赖，则： AB→E HB→P A→C D→H F3= GP→B D→G EP→A ABC→P CDE→P ABC→G
12．设有关系模式R(U，F)，其中：
U＝{E，F，G，H}，F＝{E→G，G→E，F→EG，H→EG，FH→E} 求F的最小依赖集。 解：
(1).将F中依赖右部属性单一化：
F1＝{E→G，G→E，F→E，F→G，H→E，H→G，FH→E} (2).对于FH→E，由于有F→E，则为多余的，则： F2＝{E→G，G→E，F→E，F→G，H→E，H→G}
(3).由于E→G，所以在F2中的F→E和F→G以及H→E和H→G之一是多余的，则： F3＝{E→G，G→E，F→G，H→G} 或F3＝{E→G，G→E，F→G，H→E} 或F3＝{E→G，G→E，F→E，H→E}
或F3＝{E→G，G→E，F→E，H→G}
13．设有关系模式R(U，F)，其中：
U＝{A，B，C，D}，F＝{A→B，B→C，D→B}，把R分解成BCNF模式集： (1).如果首先把R分解成{ACD，BD}，试求F在这两个模式上的投影。 (2).ACD和BD是BCNF吗?如果不是，请进一步分解。 解：
(1).ΠACD(F)＝{A→C，D→C} ΠBD(F)＝{D→B} (2).BD已是BCNF。
ACD不是BCNF。模式ACD的候选关键字是AD。考虑A→C，A不是模式ACD的候选关键字，所以这个函数依赖不满足BCNF条件。将ACD分解为AC和AD，此时AC和AD均为BCNF。
14．设有关系模式R(A，B，C，D)，其上的函数依赖集： F＝{A→C，C→A，B→AC，D→AC} (1).计算(AD)。
(2).求F的最小等价依赖集Fm。 (3).求R的关键字。
(4).将R分解使其满足BCNF且无损连接性。
(5).将R分解成满足3NF并具有无损连接性与保持依赖性。 解：
(1).令X＝{AD}，X(0)＝AD，X(1)=ACD，X(2)=ACD，故(AD)＝ACD。
(2).将F中的函数依赖右部属性单一化：
+
+
8
A→C C→A F1= B→A B→C D→A D→C 在Fl中去掉多余的函数依赖：
∵B→A，A→C ∴B→C是多余的。 又∵D→A，A→C ∴D→C是多余的。
A→C C→A F2= B→A D→A 函数依赖集的最小集不是惟一的，本题中还可以有其他答案。
∵F2中所有依赖的左部却是单属性，∴不存在依赖左部有多余的属性 ∴ A→C C→A F= B→A D→A
(3). ∵BD在F中所有函数依赖的右部均未出现
∴候选关键字中一定包含BD，而(BD)＝ABCD，因此，BD是R惟一的候选关键字。 (4). 考虑A→C
∵AC不是BCNF(AC不包含候选关键字BD)，将ABCD分解为AC和ABD。 AC已是BCNF，进一步分解ABD，选择B→A，把ABD分解为AB和BD。 此时AB和AD均为BCNF ∴ρ＝{AC，AB，BD}。
(5).由(2)可求出满足3NF的具有依赖保持性的分解为ρ={AC，BD，DA}。
判断其无损连接性如下表所示，由此可知ρ不具有无损连接性。
Ri AC BA DA A a1 a1 a1 B a2 C a3 a3 a3 D a4 +
令ρ＝ρ∪{BD}，BD是R的候选关键字 ∴p＝{AC，BA，DA，BD}。
15．己知关系模式R(CITY，ST，ZIP)和函数依赖集： F＝{（CITY，ST）→ZIP，ZIP→CITY} 试找出R的两个候选关键字。
解：设U＝(CITY，ST，ZIP)，F中函数依赖的左边是CITY，ST，ZIP： · 由于ZIP→CITY，去掉CITY，故(ST，ZIP)可能是候选关键字。 (ST，ZIP)＝{ST，ZIP，CITY}，∴(ST，ZIP)→U。
又ST=ST，ZIP={ZIP，CITY}，故(ST，ZIP)是一个候选关键字。
·由于（CITY，ST）→ZIP，去掉ZIP，故(CITY，ST)可能是候选关键字。
+
++
9
(CITY，ST)={CITY，ST，ZIP}，∴(CITY，ST)→U。 又CITY＝CITY，ST=ST，故(CITY，ST)是一个候选关键字。 因此，R的两个候选关键字是(ST，ZIP)和(CITY，ST)。
16．设有关系模式R(A，B，C，D，E)，R的函数依赖集： F＝{A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→A} (1).求R的候选关键字。 (2).将R分解为3NF。 解：
(1).设U＝(A，B，C，D，E)，由于(CE)=ABCDE，C=C，E=BDE
∴R的候选关键字是CE。
(2).求出最小依赖集F′＝{A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→A} 将R分解的3NF：ρ＝{AD，DE，BD，BCD，ACD}。 17．设有关系模式R(U，V，W，X，Y，Z)，其函数依赖集： F＝{U→V，W→z，Y→U，WY→X}，现有下列分解： (1). ρl＝{WZ，VY，WXY，UV} (2). ρ2＝{UVY，WXYZ}
判断上述分解是否具有无损连接性。 解：
(1). ρ1的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ1不具有无损连接性。
Ri WZ VY WXY UV U a1 V a2 a2 W a3 a3 X a4 Y a5 a5 Z a6 a6 +
+
+
+
+
+
(2). ρ2的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ2具有无损连接性。
Ri UVY U a1 V a2 a2 W a3 X a4 Y a5 a5 Z a6 WXYZ a1
18．已知R(Al，A2，A3，A4，A5)为关系模式，其上函数依赖集：
F＝{Al→A3，A3→A4，A2→A3，A4A5→A3，A3A5→A1}
ρ={Rl(Al，A4)，R2(A1，A2)，R3(A2，A3)，R4(A3，A4，A5)，R5(Al，A5)} 判断ρ是否具有无损连接性。
解：ρ的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ不具有无损连接性。
10
Ri A1A4 A1A2 A2A3 A1A5 A1 a1 a1 a1 A2 a2 a2 A3 a3 a3 a3 a3 a3 A4 a4 a4 a4 a4 a4 5 a5 a5 A3A4A5 a1
19．设有关系模式R(B，O，I，S，Q，D}，其上函数依赖集： F＝{S→D，I→B，IS→Q，B→O}
如果用SD，IB，ISQ，BO代替R，这样的分解是具有无损连接吗? 解：ρ={Rl(S，D)，R2(I，B)，R3(I，S，Q)，R4(B，O) }
ρ的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ具有无损连接性。 Ri SD IB ISQ BO B a1 a1 a1 O a2 a2 I a3 a3 S a4 a4 Q a5 a5 D a6 a6
20．设有关系模式R(F，G，H，I，J)，R的函数依赖集：
F＝{F→I，J→I，I→G，GH→I，IH→F} (1).求出R的所有候选关键字。
(2).判断ρ＝{FG，FJ，JH，IGH，FH}是否为无损连接分解? (3).将R分解为3NF，并具有无损连接性和依赖保持性。 解：
(1).从F中看出，候选关键字中至少包含J和H(因为它们不依赖于谁)，计算：
令X＝{JH}，X(0)＝JH，X(1)=IJH，X(2)＝GIJH，X(3)＝FGIJH ∴候选关键字只有JH。
(2). ρ的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ不具有无损连接性。
Ri FG FJ JH IGH FH F a1 a1 a1 G a2 a2 H a3 a3 a3 a3 I a4 a4 J a5 a5
(3).求出最小依赖集F′={F→I，J→I，I→Gl GH→I，IH→F} ∴满足3NF且具有依赖保持性的分解为： ρ＝{FI，JI，IG，GHI，IHE}
ρ的无损连接性判断结果如下所示，由此判断ρ不具有无损连接性。
11
Ri FI JI IG GHI IHE F a1 a1 a1 G a2 a2 a2 a2 a2 H a3 a3 I a4 a4 a4 a4 a4 J a5 a5
令ρ＝ρ∪{JH}，JH是R的候选关键字。
∴ρ＝{FI，JI，IG，GHI，IHF，JH}具有无损连接性和依赖保持性
21．设有关系模式R(A，B，C，D，E)，其上的函数依赖集： F＝{A→C，C→D，B→C，DE→C，CE→A} (1).求R的所有候选关键字。
(2).判断ρ＝{AD，AB，BC，CDE，AE}是否为无损连接分解? (3).将R分解为BCNF，并具有无损连接性。 解：
(1).从F中看，候选关键字至少包含BE(因为它们不依赖于谁)，而(BE)=ABCDE ∴BE是R的惟一候选关键字。
(2). ρ的无损连接性判断结果如下所示，由此判定ρ不具有无损连接性。
Ri AD AB BC CDE AE A a1 a1 a1 a1 B a2 a2 C a3 a3 a3 a3 a3 D a4 a4 a4 a4 a4 E a5 a5 +
(3).考虑A→C
∵AC不是BCNF(AC不包含候选关键字BE) 将ABCDE分解为AC和ABDE，AC已是BCNF。
进一步分解ABDE，选择B→D，把ABDE分解为BD和ABE，此时BD和ABE均为BCNF。
∴ρ＝{AC，BD，ABE}
22．设有一教学管理数据库，其属性为：学号(S#)，课程号(C#)，成绩(G)，任课教师(TN)，教师所在的系(D)。这些数据有下列语义：
·学号和课程号分别与其代表的学生和课程一一对应； ·一个学生所修的每门课程都有一个成绩；
·每门课程只有一位任课教师，但每位教师可以有多门课程； ·教师中没有重名，每个教师只属于一个系。 (1).试根据上述语义确定函数依赖集。
(2).如果用上面所有属性组成一个关系模式，那么该关系模式为何模式?并举例说明在进行增、删操作时的异常现象。
12
(3).将其分解为具有依赖保持和无损连接的3NF。 解：
(1).F＝{(S#，C#)→G，C#→TN，TN→D} (2).关系模式为1NF。
∵该关系模式的候选关键字为(S#，C#) 则非主属性有G、TN和G。
又∵F中有C#→TN
∴存在非主属性TN对候选关键字(S#，C#)的部分依赖
p
即：(S#，C#)—--→TN。 异常现象:
若新增设一门课程而暂时还没有学生选修时，则因缺少关键字S#值而不能进
行插入操作。
若某个教师调离学校要删除其有关信息时，会将不该删除的课程(C#)信息删
除。
(3). ∵F=F′＝{(S#，C#)→G，C#→TN，TN→D} ∴ρ＝{R1，R2，R3} 其中：R1=(S#，C#，G) R2＝(C#，TN)
R3＝(TN，D)
23．证明在关系数据库中，任何的二元关系模式必定是BCNF。
证明：设R为一个二元关系R(x1，x2)，则属性x1和x2之间可能存在以下几种依赖关系：
(1).x1→x2，但x2→x1，则关系R的候选关键字为x1，函数依赖的左部包含候选关键字x1，∴R为BCNF。
(2).x1→x2，x2→x1，则关系R的候选关键字为x1和x2，这两个函数依赖的左部都包含了R的任一候选关键，∴R为BCNF。 (3).xl x2，x2x1，则关系R的候选关键字为(x1，x2)，R上没有函数依赖，∴R为BCNF。
证毕。
24．如下给出的关系R为第几范式?是否存在操作异常?若存在，则将其分解为高一级范式。分解完成的高级范式中是否可以避免分解前关系中存在的操作异常?
工程号 材料号 数量 开工日期 P1 P1 P1 P2 P2 I1 I2 I3 I1 I4 4 2000.5 6 2000.5 15 2000.5 6 2000.11 18 2000.11 完工日期 价格 2001.5 2001.5 2001.5 2001.12 2001.12 250 300 180 250 350 解：
它为1NF。因为该关系的候选关键字为(工程号，材料号)，而非主属性“开工日期”和“完工日期”部分函数依赖于候选关键字的子集“工程号”，即：
13
P
(工程号，材料号)——→开工日期 P
(工程号，材料号)——→完工日期 ∴它不是2NF。
它存在操作异常，如果工程项目确定后，若暂时未用到材料，则该工程的数据因缺少关键字的一部分(材料号)而不能进入到数据库中，出现插入异常。若某工程下马，则删去该工程的操作也可能丢失材料方面的信息。
将其中的部分函数依赖分解为一个独立的关系，则产生如下所示的两个2NF关系子模式：
R1
工程号 材料号 数量 价格 P1 P1 P1 P2 P2 R2
工程号 开工日期 P1 P2 2000.5 2000.11 完工日期 2001.5 2001.12 I1 I2 I3 I1 I4 4 250 6 300 15 180 6 250 18 350
分解后，新工程确定后，尽管还未用到材料，该工程数据可在关系R2中插入。某工程数据删除时，仅对关系R2操作，也不会丢失材料方面的信息。
25．试证明：一个BCNF范式必是3NF。 证明：用反证法。
设R是一个BCNF，但不是3NF。
则必存在非主属性A和候选关键字X以及属性集Y，使得XY，YA，其中AX，AY，YX∈F，这就是说Y不可能包含R的关键字，但YA却成立。
根据BCNF定义，R不是BCNF，与题设矛盾，所以一个BCNF范式是3NF。
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