高三数学高效复习的实践与思考——“平面向量的数量积及其应用”教学反思

２０１３年第１１期　福建中学数学　可得　＝三９　一＋吾　．　一　９　．　ＯＡ＝ｍ　ＯＢ＋　ｏ一ｃ（ｍ＜０，ｎ＜０）・若　．＿，２则詈　一：　一ＡＯ：　９　解析’・。　‘．．　＋　＝０．　＝　２Ｐ２　ＡＯ为底边的高之比也是　，２：３，同理以ＤＤ为同底的爱　：；・　以ＢＤ，ＣＤ为底的ＡＯＢＤ，ＡＯＣＤ等高，　ＢＤ　２　．．　●　ｍ　ｍ　３　‘　图３　ＣＤ　３　２　例４图４中，已知０是ＡＡＢＣ的外心，　Ｂ＝√３，　ＡＣ＝３，　＋２　＝１，若—ＡＯ＝ｘ　＋　（—　≠０），贝Ⅱ　ＺＢＡＣ＝　．　将转化ＯＡ＝ｍＯＢ＋ｎＯＣ（ｍ＜０，　＜０）　为ＡＯ＝ｍ（ＯＡ＋ＡＳ）＋ｎ（ＯＡ＋ＡＣ）．　ＡＯ：　一＋　！　．　解析由题意知：ｍ８＝ｘ，ｍｃ＝Ｙ，ｍ　＝１一　—Ｙ．　‘．１＋　＋　ｌ＋　＋　’Ｘ＋２ｙ＝１，．。．　＝１一（１—２ｙ）一Ｙ＝Ｙ＝，”ｃ．　．或利用　式　＋　口ＯＢ＋ｍｃＯＣ＝０，　。．Ｅ是ＡＣ中点ＢＥ为中线．　则可得到一ｍ：　．　・．。０为外心ＯＥ为ＡＣ中垂线，　・．．ＡＢ＝ＢＣ＝　，ＺＢＡＣ　詈．　５回顾总结，一言蔽之　对于三角形内的点０的有关向量表示归根结底　搞清楚与顶点延长后分边的比例关系利用平衡原理　表示出给点的重量问题，有时也需要转化化归到分　边的比例关系．可以参照：　ＡＯ：　一Ｂ　！　＋　Ｂ＋　ｃ　＋　＋　Ｂ＋　：　图４　图５　４等价转化，峰回路转　：　＋ｍＢ＋ｍ（．　‘．ＯＡ＋ｍ　ＯＢ＋ｍｃＯＣ＝０．　数学是研究变数中不变的规律的过程，很多看　。　＋　ｍ　＋ｍ　＋ｍｅ　似比较复杂的代数式经过复杂的运算从变中发现不　．（ｍ　＋ｍＢ＋ｍｃ）　Ｏ　＝，”口（ｏＢ—ＯＡ）＋　ｃ（ｏｃ—ＯＡ），　ｍ　ＯＡ＋ｍ　ＯＢ＋ｍｃＯＣ：Ｏ　．　变的东西，往往可以通过常识性知识如几何法等找　到固有的规律揭示问题本质，而对这些规律进行拓　展推广便可以运用这一简单的规律解决复杂的运算　过程，在平时教学中要善于挖掘这些看似“奇怪”“不　可思议”的规律，通过论证揭示本质进而应用拓展．　例５图５中，已知点Ｄ是ＡＡＢＣ内一点，　且　高三数学高效复习的实践与思考　——“平面向量的数量积及其应用”教学反思　蒲锦泉　福建省莆田市第一中学（３５１１００）　带来的教学困扰，优化教学设计，以使这些问题解　决得更好？从而提高复习效益，这需要我们更好地理　解数学，理解学生，理解教育．本文以笔者的一节　高三复习课“平面向量的数量积及其应用”为例，　高三数学复习课，如何做到精讲精练，达到“高　效”，是高三师生必须面对的一个重要课题．复习　课的目的是“温故而知新”，如何温故？又新在何　处ｒ？如何化解复习课因知识量大、课时紧、要求高所　１２　福建中学数学　２０１３年第１　１期　谈一些思考．　１教学设计简录　１．１考纲要求与细化（略）　１．２课前基础练习　（１）在ＲｔＡＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＡＣ＝５，ＺＢ＝９０　，　则ＡＢ・ＡＣ＝～一，ＢＡ・ＡＣ＝一．　（２）已知１　｛＝２，ｉ　ｂｊ＝１，ａ与ｂ的夹角为６０　，　且ｃ＝ａ＋２６．则Ｉ　ｃ　ｌ＝　；ｃ与口的夹角０＝一．　（３）已知ａ＝（１，２），ｂ＝（－２，　），则　①当　＝２时，向量ａ在ｂ方向上的投影　是——；　②当　＝——时，口／／ｂ；　③当　＝——时，ａ上ｂ．　（４）若等边ＡＡＢＣ的边长为２４３，平面内一点　满足ＣＭ＝￣，ＵＢ＋三　，则ＭＡ・ＭＢ＝——．　１．３课前思考题　（１）求向量的数量积有哪些基本方法？　（２）向量的数量积有哪些方面的应用？　１．４方法提练、思想感悟　问题１向量数量积的运算　例１如图，在ＺＭＢＣ中，ＡＤ上ＡＢ，ＢＣ＝４３肋，　Ｉ　ＤＩ＝１，则ＡＣ－ＡＤ＝（　）　厂＿　２　３　￡—————　０　——　ｃ．　Ｄ．　图１　问题２向量的数量积应用　例２已知直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ，　ＺＡＤＣ＝９０。，ＡＤ＝２，ＢＣ＝１，ＤＣ＝３，Ｐ是腰ＤＣ　上的动点．　（１）当Ｐ位于何处时，　上Ｐ　？　（２）当Ｐ位于何处时，ＬＡＰＢ为钝角？　变式已知直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ，　ＺＡＤＣ＝９０。，ＡＤ＝２，ＢＣ＝１，Ｐ是腰ＤＣ上的动　点，则Ｉ　＋３两Ｉ的最小值为　例３（２０１３年高考福建卷理６）在四边形ＡＢＣＤ　中，　＝（１，２），历＝（一４，２），则该四边形的面积　为　Ａ．　Ｂ．２　Ｃ．５　Ｄ．１０　变式１在四边形ＡＢＣＤ中，一ＡＣ＝（１，　），　ＢＤ＝（－２，２√３），则四边形ＡＢＣＤ的面积为．　——变式２已知ＡＯＡＢ中，ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，求　ＡＯＡＢ的面积．　变式３已知ＡＯＡＢ中，Ａ（ｘ　，Ｙ，），８（ｘ　，Ｙ：），　求ＡＯＡＢ的面积．　变式４已知ＡＯＡＢ中，Ａ（ｘ　，Ｙ　），　【　，Ｙ　），　Ｃ（ｘ３，Ｙ　），求ＡＯＡＢ的面积．　１．５反馈练习　‘　’ＡＢＣＤ中，／，　４，）上　ＢＤ　垂足为Ｊ１），且　一一　／　ＡＰ：３，则ＡＰ．ＡＣ：　．　图２　（２）在ＡＡＢＣ中，　是ＢＣ的中点，ＡＭ＝３，　ＢＣ＝１０，则ＡＢ・ＡＣ＝——．　（３）已知向量Ⅱ≠ｅ，ｌ　ｅ　１＝ｌ，对任意ｔ∈Ｒ，恒　有Ｉ　ａ—ｔｅＩ≥ｉａ—ｅｌ，贝０（　）　Ａ．ａ上ｅ　Ｂ．ａ－Ｌ　ｆａ—Ｐ１　Ｃ．ｅ上　一ｅ）Ｄ．（ａ十ｅ）上（ａ—ｅ）　（４）设Ａ，Ｂ，Ｃ是半径为１的圆上三点，若　ＩＡＢ　Ｉ＝４３，则ＡＢ．ＡＣ的最大值为（　）　Ａ．３＋　Ｂ．　＋　Ｃ．３　Ｄ．　，’　２教学反思　复习的基本理念：高三复习教学是站在“数学整　体”的角度对所学的数学知识再认识、再理解、再升　华的过程；是学生的基本能力的再体验、再发现、　再发展的过程；是学生发现问题、分析问题和解决　问题等综合能力的再提升过程；是注重联系、提高　对数学整体和本质认识的过程．教师应明确复习课　目标定位的三个层次：一是回顾过去所学的知识并　形成良好的知识结构；二是归纳总结解题的思路、　方法、规律与技巧，掌握技能；三是感悟数学思想　方法，提高数学学习和应用能力．基于这样的理念，　本节课的教学设计中突出了如下一些方面．　２．１自主性、探究性和参与性　本节采用导学案方式，预先印发复习学案（含学　习目标、课前基础练习、例题（除部分变式外）、反　馈练习等），结合思维导图，让学生尝试建构知识网　络，归纳方法．学生预复习中遇到的问题可拿到课　上讨论，倡导自主、合作、探究的学习方式．复习　教学首先可通过一些基础性的问题，引导学生自主　复习，并根据现有的知识、经验进行初步的归纳梳　２０１３年第１１期　福建中学数学　１３　理，也许现在做得不够到位，也许有些问题不能马　上回答好，但可在后续的学习中逐步完善其认知结　构．高三复习是教师整体设计下的学生自主复习、　自主建构和自主发展．学习环节可由教师安排，问　题可由教师提出，但其思考、分析、解答、总结、　提练、联系、反思等必须由学生自主或积极参与完　成．教学中要留足思考的时间，“延时判断”，恰当追　问，将学生的思维引向深处．　２．２目标性、针对性和整体性　高三复习首先要认真研究　考试大纲　和　考　试说明　的要求，　并对这些要求进行细化的解读，　明确复习的要求与层次，同时要站在“数学整体”的角　度，结合学生的实际情况有针对性地提出个性化的　学习要求．对向量的数量积的的复习教学要突出如　下问题（三个提升）：　（１）必须进一步提升对向量数量积等运算的认　识，掌握向量数量积的运算和几何意义、向量数量　积的有关性质和坐标运算等．　（２）必须进一步提升求解向量数量积问题的基　本策略，主要有：向量的“图形化”策略和向量的“代　数化”策略（即向量的“基底化”、向量的“坐标化”　等）．由于向量具有“代数形式”和“几何形式”的双重　性，因此，向量问题解决的基本思路往往是先画出　相关的图形，利用图形的直观性解决，即“图形化”　策略．另外可选择两个不共线的向量作为基底，将　向量“基底化”，也可以建立直角坐标系，将向量“坐　标化”，这些基本策略，体现了化归与转化的思想、　数形结合的思想．　（３）向量数量积在处理长度、夹角、垂直等问　题时，有独特的优势，体现了向量的工具性的作用，　因此必须进一步提升应用向量解题的意识和能力．　２－３问题性、思维性和思想性　培养学生的思维能力是教学的核心任务，问题　是思维的起点，因此复习课中基于目标精心设计问　题是教师需要着力的地方．问题的设计应自然、突　出上面的三个“提升”；应体现“少、精、活”并指向核　心问题；应有利于对通性通法、基础知识的回顾；　应有利于揭示数学的本质；应有利于方法的提练和　数学思想的感悟；应有利于联系、变式与探究拓　展．本节课以问题引导学习，让学生不断地处于问　题探究的思维过程之中，同时对复习教学中一些关　键的、易混的、本质的东西，通过追问，一步步地　把思维引向深处，完善学生的认知结构．　首先是课前的基础性练习设计，它一方面指向　基础和通性通法，同时可通过对它的追问，把学习　引向必要的深处．课前的基础练习１，涉及向量数　量积的定义，追问：若将ＡＣ＝５去掉，能否求出　ＡＢ．ＡＣ？它指向了对向量数量积几何意义的进一步　的理解．基础练习２，涉及向量数量积的模与夹角的　计算，通过追问复习向量数量积的运算律和基本性　质，同时也隐含着“图形化”的考虑．通过构图，容易　求得ｌ　ｃＪ＝２√３，ｃ与ａ的夹角为３０。．与基础练习３，　涉及向量数量积及其性质的坐标运算表示．基础练　习４，涉及向量数量积基本运算．课前思考题可帮助　学生明确本节课的学习任务，起思维引导作用．　例１的设计指向了向量数量积运算的核心问题，　同时体现解法的多样性．　分析１（基底化）：选取向量ＡＢ，　为基底，并把　用基底表示，再　通过有关运算求得结果，并追问选取　一ＡＢ，　作为基底的理由，这样解题　就有了方向感．　图３　分析２（坐标化）：如图３，改变图形的位置，选　取ＡＢ，ＡＤ分别为Ｘ轴、Ｙ轴的正方向建立直角坐　标系，将向量坐标化，关键是求出ｃ点坐标．Ａ（Ｏ，０），　Ｏ（Ｏ，１），可设Ｃ（ｘ，４３），则ＡＣ・ＡＤ＝（　，４３）・（０，１）　＝４３．分析３（几何意义）：由定义，虽然不易求出求　出ＡＣ的模及ＡＣ与ＡＤ夹角，但可利用向量数量积　的几何意义或等价转化整体处理，只须求出ＡＣ在　ＡＤ上的投影即可，由比例易得投影值为√３，从而　…　Ｃ・　Ｄ＝４３．　例２和例３的设计，涉及向量的运算律、基本　性质和坐标运算．例２中隐含着对向量的模的处理　和最值问题的考虑．这两例的设计着重体现向量数　量积的核心应用，即求模、求夹角、判垂直等，并　通过一题多变，达到一题多联，拓展了应用领域，　这也是本节课教学中必须突显的问题．　反馈练习中，题１、２针对向量的数量积运算，　除了基本方法外，可以特殊化处理．题３涉及向量　的模，可与例２一起归纳，向量的模常用解决方法　是平方转化为数量积或者构图．题４涉及最值问题，　选择恰当变量建立函数模型或利用几何意义解　决．这些问题设计都指向向量数量积的本质和核心．　ｌ４　福建中学数学　２０１３年第１１期　教学中，注重师生的互动、思维的启发、方法　的提练、思想的感悟．每个例题之后，都进行了相　应的归纳，并指出：“基底化”、“坐标化”和“图形化”　是解决向量数量积问题的基本方法．“基底化”和“坐　标化”在本质上是一致的，在恰当时要揭示出它们本　质一致性，以提高学生对数学的理解．　２．４联系性、应用性与创新性　数学复习教学中应注重知识间的内在联系、注　重探究和应用、关注创新　例２中涉及垂直、夹角问题的处理，常见的方　法有利用斜率、向量等．学生首先想到的是建立直　角坐标系，利用向量的数量积解决．追问：还有没　有别的处理方法？在课上有学生指出：先建立直角坐　标系，求出以ＡＢ为直径的圆，此圆与ＣＤ的交点对　张直角，线段ＣＤ在圆内的部分对ＡＢ张钝角．学生　的这种想法，丰富了“联系性”．在例２的变式中　我们当然应看到向量应用的优势，并仍可用坐标化、　基底化处理．这样我们对问题的多角度思考与联系　比较中，优化了学生的思维．　例３中，通过观察可知四边形的对角线互相垂　直，不难求出两对角线的长，再由Ｓ：Ｌ（ＩＡＣＩ．Ｉ８ＤＩ）得　２。　。　出结果．若未能发现这一隐藏的条件，将耗时在点　的移动、边长的求解以及角度的确定上．课堂上，　也有学生主张特殊化为直角三角形来求．教师此时　不急于“判断”，而让学生去“悟”．再利用几何　画板展示：改变ＡＢ与ＢＤ的相对位置，四边形ＡＢＣＤ　的面积不变，因此是可让　，Ｂ重合转化为直角三　角形解决，接着分析四边形面积不变的内在规律，　即设对角线交于０点，Ｓ：　ｒ　Ｄ．ＤＯ＋ＡＯ．ＢＯ＋ＣＯ．ＤＯ　２　＋ＣＯ．ＢＯ１：￣（２Ｉ。　ＡＣＩ．１８ＤＩ）．也为下面的变式１打下伏　笔．变式１中，四边形对角线不互相垂直，怎样求　四边形面积？接前分析得Ｓ：￣（２Ｉ’　ＡＣＩ．Ｉ肋Ｉ’　）ｓｉｎ＜　，　ＢＤ＞．后续的变式２、３、４，体现特殊与一般、化　归与转化的思想，并得到了三角形面积的向量表示，　坐标表示．即在ＡＯＡＢ中，ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，则　１　ｒ——■　———　———————＿　＝÷√ｌ口１　　ｌｂｌ　一（口・６）　・　１　若Ａ（ｘｌ，Ｙ１），８（ｘ２，Ｙ２），ｓ蜊Ｂ＝去Ｉ　２一　２　１　Ｉ（可　以直接利用前面的结论证明）．　由于时间关系，课上没能在此进一步展开．课　余学生又想了一些方法：　方法１　（用直线方程处理）Ａ（ｘ　，Ｙ，）到直线　ＯＢ：Ｙ２ｘ－ｘ２　＝０的距离为　＝　李；　，　、／　２‘＋Ｊ，２一　ＳＡＡＯＢ　∞　ｉ　厮‘　１　１　　Ｉ１Ｙ２－ｘ２ｙ￣Ｉ‘　方法２（利用向量投影求高）图４，设ｈ为　到　直线　的距离，作　＝（Ｙ２，－ｘ２），贝　，　且　上　，ＩＯ—ＢＩ＝ＩＯ—ＣＩ，　＝　＿１　．１　１　ＯＣ　Ｉ１　＝　＝　一ｘ：　１　。１。…　…　。利用向量投影求高，虽不易　想到，但也体现了一种“高级”的　应用．这种应用是基于对数学本　质理解后而产生的，教师也可结　合此思路来推导点到直线的距离　公式，体现了数学的联系、应用和创新．　例３对一道高考题进行变式探究，旨在加强向　量的数量积在求模、求夹角、判垂直等方面的应用，　进一步培养学生的应用意识和创新意识．　课标　积　极倡导自主探究性学习，在高三复习的阶段，探究　性的学习依然要成为重要学习方式，探究的结果也　许并不太重要，重要的是能否抓住有利的“触点”有效　展开，有没有强烈的问题意识和创新意识；重要的　是通过探究加强知识间的联系，从而体现向量的工　具性作用．　３结束语　高效的复习课堂，离不开教师的高效设计、指　导和课堂的高效管理．本节课中紧紧围绕基础问题　展开教学，与学生互动对话，立足基础本质、立足　通性通法、注重方法提升和思想感悟、注重探究、　应用和创新、注重一题多解、一题多联、一题多变，　在变化中优化思维、培养能力、增长智慧．课上我　２０１３年第１１期　福建中学数学　ｌ５　始终给学生浓浓的“三化”意识（基底化、坐标化、　几何化），从学生的反馈看，基本达到了目标，通过　教学目标达成度，通过复习完成“由厚到薄”过　程．教学中应突出：以陈述性的知识梳理深化为基　础，以程序性知识的掌握为重点，以策略性知识的　理解为核心的“三步走”教学策略，运用组合的方　“温故”而达到一定的“知新”．复习课必然要注　意整体把握的度，考虑内容的广度、思维的深度、　思想的高度、学生的参与度、自主探究度以及关注　式渐近地达成目标，知识、能力、思想、素养并重．　数学讲评课的高效途径　——两种课型的比较研究　邹军明　江苏省苏州市常熟中学（２１５５００）　１问题的提出　统的教师讲授的形式进行讲评课教学．　有效教学乃至高效教学，是当前教学研究的一　２．３实验的理论分析　个热门话题，如何结合自己学生的特点，在数学教　２．３．１传统的讲授型讲评课分析　学中让学生学得更主动、更有效，也是每个教师值　一个问题需要讲解的概率的计算公式为：　得思考的一个问题．　ｍ－Ｉ　数学课的常规教学形式包括新授课、习题课、　Ｐ＝１一　：面　　∥　（１一　）　．其中　表示一个班级的总人　讲评课等，其中数学习题（考试）讲评课在当前形　数，ｍ表示一个班级中有ｍ人不能独立解决就需要　势下是一种重要的课堂形式，教学质量的高低、学　老师在课上讲解，　表示这个问题的难度系数（对　生数学能力的提高与否，与数学讲评课有很直接的　于这个特定的班级）（　＝　）．　联系．在课堂教学实践中，我们发现在上讲评课的　时候往往会有这样的现象：老师在黑板前讲得声嘶　为了使问题看得更清楚，我们假设一个班级的　力竭，自认为是深入浅出、头头是道，但总有一部　学生数为４０人，取ｍ＝８，讲解一个题目假设为５　分学生似听非听、似懂非懂，让人有一种拳头打在　分钟，在一段时间内共处理１００个问题．根据上述　棉花里的感觉，讲评课效率不高．　公式得到下表：　怎样提高讲评课的教学效率？是否可以尝试一　表１讲授课型　些新的讲评课教学模式？这个问题引起了笔者的思　难度系　问题要讲　１００个题目中　讲解总时　考．经过一段时间的分析和理论学习，笔者针对所　数　解的概率　要讲解的个数　间（分钟）　０．９　０．０４１９　４　２０　任教两个班级的学生特点，进行了数学讲评课的比　０．８５　０．２４４１　２４　１２０　较实验研究．　０．８　０．５６２８　５６　２８０　２实验过程　０．７５　０．８１８０　８２　４１Ｏ　０．７　０．９４４７　９４　４７０　２．１实验对象　０．６　０．９９７９　１００　５００　笔者所任教的两个班级（每班４４名）的学生水　Ｏ．５　０．９９９９８　１００　５００　Ｏ＿４　１．００００　１ＯＯ　５００　平相当：数学基础好，解题能力强，综合素质高，　０．３　１．００００　１００　５００　具备一定的表达能力和合作精神．　０．２　１．００００　ｌＯ０　５００　０．１　１．００００　１００　５００　２．２实验方法　数据分析：　一个班作为实验班，以小组讨论的方式进行讲　（１）随着难度系数的降低，需要老师讲解的题　评课教学，将４４名学生分成１１个小组，每组４人（解　目数Ⅳ迅速增加．　题能力强的与弱的搭配、内向的与外向的搭配），每　（２）当ｍ介于０．６至０．８５之间时，有大量的题　组推选一名组长负责控制讨论的进度，并记录每个　目需要老师讲解．显然，此时班上大部分学生已经　问题所讨论的时间；另一个班级作为对照班，用传　处在重复接受知识的境况下了．即便如此，一个班