2020-2021学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. tan30的值等于（ ） A.
3 3B.
3 2C. 1 D.
3 【答案】A 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值，即可得解. 【详解】tan30故选：A.
【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值. 2. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
3. 3
A. 图形的平移 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似
根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到ABECDE，则
ABBECD DEAB 即为金字塔的高度，CD即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 3. 若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（ ） A. 2 【答案】D 【解析】
【分析】先列方程x2=2x，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：根据题意得x2＝2x， 移项得x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝0，x2＝2． 故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4. 如图，半圆的直径为AB，圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
B. 0
C. 2或﹣2
D. 0或2
A.
3B.
6C.
1 2D.
1 3【答案】D 【解析】
【分析】由C、D是半圆的3等分点知∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，据此得S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝
1S半圆，再根据概率公式求解即可． 3【详解】解：∵C、D是半圆
3等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°， ∴S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝
∴该点取自阴影部分的概率为故选：D．
S扇形CODS半圆【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
5. 某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 中位数 【答案】A 【解析】
B. 平均数
【分析】利用中位数、平均数、方差、众数的定义来求解即可.
的1S半圆， 31=， 3C. 方差 D. 众数
【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关． 故选：A．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数、方差、众数的定义，属于基础题型.
6. 一个直角三角形的两条直角边的和是28cm，面积是96cm2．设这个直角三角形的一条直角边为xcm，依题意，可列出方程为（ ） A. x（14﹣x）＝96 C.
B.
1x（14﹣x）＝96 21x（28﹣x）＝96 2D. x（28﹣x）＝96
【答案】C 【解析】
【分析】设一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为（28-x）cm，根据三角形的面积公式结合面积是96cm2，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（28﹣x）cm，
根据题意得：故选：C．
1x（28﹣x）＝96， 2【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的中点，若∠ABD＝∠ACB，则
AM的值是（ ） AN
A.
1 4B.
1 3C.
1 2D.
2 3【答案】C 【解析】
【分析】通过证明△ABD∽△ACB，可得
ADABAM，从而求解 ABACAN【详解】解：∵M、N分别是BD、BC的中点， ∴AM，AN分别是△ABD，△ABC的中线， ∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB，
ADABAM， ABACAN1AB∴， AB4∴
∴AB＝2， ∴
AM1， AN2故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
8. 如图，两个正六边形ABCDEF、EDGHIJ的顶点A、B、H、I在同一个圆上，点P在ABI上，则tan∠API的值是（ ）
A. 23 【答案】A 【解析】
B. 22
C. 2 D. 1
【分析】连接AE，EI，AH，过点J作JM⊥EI于M，证明AIH90，设HIJIJEa，求出AI即可．
【详解】解：如图，连接AE，EI，AH，过点J作JM⊥EI于M．
∵ABCDEF是正六边形， ∴∠DEF＝∠F＝120°， ∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠FAE＝30°， ∴∠AED＝90°，
同法可证，∠DEI＝∠EIH＝90°， ∴∠AED+∠DEI＝180°， ∴A，E，I共线， 设HIJIJEa， ∵JM⊥EI， ∴EM＝MI＝
3a， 2
∴AI＝2EI＝23a， ∵∠API＝∠AHI， ∴tan∠API＝tan∠AHI＝故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
AI23a＝23， HIa二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
，则9. 若x＝3y（y≠0）【答案】3 【解析】
【分析】直接利用比例的性质变形求出答案． 【详解】解：∵x＝3y（y≠0），
x＝_____． yx∴＝3． y故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 10. 数据6，5，10，6，7的极差是_____． 【答案】5 【解析】
【分析】根据极差的定义，用最大数减去最小数即可 【详解】解：这组数据最大的是10，最小的是5， 所以这组数据的极差为10﹣5＝5， 故答案为：5．
【点睛】本题考查了极差，极差是指一组数据中最大数与最小数的差． ，则这条弧的长是_____． 11. 已知圆弧所在圆的半径为4，所对的圆心角为60°【答案】
4π 3【解析】
nR计算可得． 1806044【详解】解：此扇形的弧长为＝π，
18034故答案为π．
3【分析】直接利用弧长公式l=
【点睛】本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式l=12. △ABC，△DEF的条件如图所示，则n的值是_____．
nR． 180
【答案】6 【解析】
【分析】通过证明△ABC∽△EFD，可得【详解】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°， ∴∠C＝70°，
∵∠B＝∠F＝60°，∠C＝∠D， ∴△ABC∽△EFD，
ABBC，即可求解． EFDFABBC， EFDF3m9， ∴
2mn∴∴n＝6， 故答案为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． ，AC＝3，BC＝4，则sin∠ABC＝_____． 13. 在△ABC中，∠C＝90°【答案】
3 5【解析】
【分析】利用勾股定理先求出AB的长，再求出∠ABC的正弦值． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝AC2BC2 ＝3242 ＝5． ∴sin∠ABC＝故答案为：
AC3＝． AB53． 5【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 14. 写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为3、﹣2．所写的一元二次方程为_____．【答案】x2﹣x﹣6＝0 【解析】
【分析】由二次项系数为1，设一元二次方程为x2+px+q＝0，两根分别为3、2，根据根与系数的关系即可解答，
【详解】解：∵二次项系数为1， ∴设此一元二次方程为x2+px+q＝0， ∵两根分别为3和﹣2．
∴p＝﹣（3﹣2）＝﹣1，q＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴这个方程为：x2﹣x﹣6＝0． 故答案为：x2﹣x﹣6＝0．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握当二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，有x1x2p,x1x2q是解题关键．
15. 正方形ABCD、正方形FECG如图放置，点E在BC上，点G在CD上，且BC＝3EC，则tan∠FAG＝_____．
【答案】
1 5【解析】
【分析】根据题意，可以设EC=a，然后即可得到AD、DG和AG的长，然后作FH⊥AG，利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH和FH的长，从而可以得到tan∠FAG的值． 【详解】解：作FH⊥AG于点H， ∵正方形FECG，
设EC＝FG=a，则BC＝AD＝CD＝3a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，DG＝BE＝2a， ∴AG＝AD2DG2＝13a，
2a213＝， 13a13∴sin∠DAG＝∵AD∥GF，
∴∠HGF＝∠DAG， ∴sin∠HGF＝213， 13∵sin∠HGF＝
HF， GF∴
HF213＝， a13213a， 13解得HF＝
∴HG＝
313a， 13∴AH＝AG﹣HG＝13a﹣
1013313a＝a， 1313213aFH113∴tan∠FAH＝＝＝， AH10135a13即tan∠FAG＝
1， 5
故答案为：
1． 5
【点睛】本题考查正方形的性质、锐角三角形函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足为D．若cos∠EAC＝CE＝2，则△OAB的面积是_____．
310，10
【答案】3 【解析】
【分析】如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE，由AF是直径，可得∠AEF＝90°，可证BC∥FE,可证CE＝BF＝2，由cos∠EAC＝
310AB，设AF＝10x，AB＝310x，由勾股定理AF2＝AB2+BF2，可10AF求x＝110，利用面积公式△OAB的面积＝S△ABF即可．
25【详解】解：如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE,
∵AF是直径， ∴∠AEF＝90°， 又∵AE⊥BC， ∴BC∥FE， ∴BFCE， ∴∠EAC＝∠BAF， ∴CE＝BF＝2， ∵cos∠EAC＝310， 10∴cos∠BAF＝
310AB， 10AF设AF＝10x，AB＝310x， ∵AF2＝AB2+BF2， ∴100x2＝4+90x2， ∴x＝10， 5∴AB＝6， ∴△OAB的面积＝故答案为3．
【点睛】本题考查圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，掌握圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
111S△ABF＝××AB×BF＝3， 222三、解答题（本大题共9小题，第17、19、22、24题每题8分，第18、23题每题7分，第20、21题每题6分，第25题10分，共68分）
17. （1）解方程：x2﹣4x＝12； +3cos30°tan45°（2）计算：sin30°． 【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣2；（2）1 【解析】
【分析】（1）采用分解因式法解方程； （2）将特殊角度的三角函数值代入计算即可
.
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣12＝0， （x﹣6）（x+2）＝0， x﹣6＝0或x+2＝0， 所以x1＝6，x2＝﹣2； （2）原式＝
1331， 2213=， 22＝1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，特殊三角函数值的计算，掌握一元二次方程的解法，特殊三角函数值的计算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．
： 18. 某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台） 甲 乙 第1周 9 13 第2周 10 12 第3周 10 7 第4周 9 11 第5周 12 10 第6周 10 7 现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ： 甲 乙 平均数 10 中位数 10 众数 7 （1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ； （2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差： S乙2＝
116[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．
3616，甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲3请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？ 【答案】（1）10、10、10.5；（2）S甲=1，S乙=品牌冰箱，理由见解析 【解析】
【分析】（1）将两种品牌冰箱销售量重新排列，再根据平均数、众数和中位数
概念求解即可；
22
（2）先计算出甲品牌冰箱销售数量的方差，再根据方差的意义求解即可． 【详解】解：（1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12， 所以甲品牌销售数量的平均数为
9210312＝10（台），众数为10台，
6乙品牌销售数量从小到大排列为7、7、10、11、12、13， 所以乙品牌销售数量的中位数为补全表格如下： 甲 乙 平均数 10 10 中位数 10 10.5 众数 10 7 1011＝10.5（台）， 2故答案为：10、10、10.5；
（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱， ∵甲品牌冰箱销量的方差S甲＝∴S22
甲＜S乙，
2116×[（9﹣10）2×2+（10﹣10）2×3+（12﹣10）2]＝1，S乙2＝，
36∴甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱．
【点睛】本题考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，也考查平均数、众数和中位数的定义．
19. 学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团． （1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率． 【答案】（1）【解析】
【分析】（1）属于求简单事件的概率，根据概率公式计算可得；
（2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】解：（1）有3种社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，甲选择“机器人”社团一种情况,
11；（2） 33
甲选择“机器人”社团的概率是故答案为：
1， 31； 3（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团A或B或C的结果有3种情况， ∴甲、乙两人选择同一个社团的概率为
31． 93【点睛】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键．
20. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展．某快递公司2020年9月份与11月份投递的快递件数分别为10万件和14.4万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同，求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．
【答案】该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为20%． 【解析】
【分析】设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据该快递公司今年9月份及11月份投递的快递件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 【详解】解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x， 依题意，得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E．△ABE与△CDE相似吗？为什么？
【答案】△EDC∽△EBA，理由见解析 【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，于是利用AA定理可证明△EDC∽△EBA． 【详解】解：△EDC∽△EBA，理由如下： ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EDC＝∠B， 而∠DEC＝∠BEA， ∴△EDC∽△EBA．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，难度适中． 22. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．
（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根． ①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是 ．
22；【答案】（1）±（2）①m2+n2＝5；②5﹣5． 【解析】
【分析】（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可； （2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP=m2n2＝5，则点P在以O点为圆心，5为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．
【详解】解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，
22， 解得n＝±
22； 即n的值为±
（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0， 整理得m2+n2＝5； ②∵OH＝|m|，PH＝|n|， ∴OP＝m2n2＝5，
即点P在以O点为圆心，5为半径的圆上，
∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小， ∵原点到点（3，4）的距离为3242＝5， ∴点P到点（3，4）的距离最小值是5﹣5． 故答案为5﹣5．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．
其中底座的高AB＝2cm，连杆BC＝40cm，灯罩CD＝34cm． 23. 图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，
（1）转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且∠ABC＝150°，如图2，则灯罩端点D离桌面l的高度DH是 cm．
（2）将图2中的灯罩CD再绕点C顺时针旋转，使∠BCD＝150°，如图3，求此时灯罩端点D离桌面l的高度DI．
【答案】（1）（373+2）；（2）灯罩端点D离桌面l的高度DI为（203+19）cm．
【解析】
【分析】（1）作BE⊥DH于点E，根据题意求出BD，根据正弦的定义求出DE，进而求出DH； （2）过点D作DE⊥l于E，过点C作CG⊥BH于G，CK⊥DE于K，根据直角三角形的性质求出DK，根据正弦的定义求出KE，进而求出DI． 【详解】解：（1）如图2，作BE⊥DH于点E，
∵AB⊥AH，DH⊥AH， ∴四边形ABEH是矩形， ∴∠EBA＝90°，EH＝AB＝2cm， ∴∠DBE＝150°﹣90°＝60°， ∴ED＝BD•sin60°＝373（cm）， ∴DH＝ED+EH＝（373+2）cm，
∴连杆端点D离桌面l的高度DE为（373+2）cm， 故答案
：（373+2）；
（2）如图3，过点D作DE⊥l于E，过点C作CG⊥BH于G，CK⊥DE于K， 则四边形ABEI、CGEK为矩形，
∴EI＝AB＝2cm，KE＝CG，∠KCG＝90°， ∴∠DCK＝150°﹣30°﹣90°＝30°， ∴DK＝
1DC＝17（cm）， 2在Rt△CBG中，CG＝BC•sinCBG＝40×3＝203（cm）， 2∴DI＝DK+KE+EI＝DK+CG+EI＝17+203+2＝（203+19）cm， 答：灯罩端点D离桌面l的高度DI为（203+19）cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造矩形和直角三角形解决问题．
，点B的坐标为（3，0）． 24. 如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2）（1）求sin∠AOB的值；
（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．
【答案】（1）
82；（2）点P的坐标为（0，3）或（0，）．
32
【解析】
分析】（1）证明∠AOB=45°，可得结论．
（2）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可． 详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H．
【
∵A（2，2）， ∴AH＝OH＝2， ∴∠AOB＝45°， ∴sin∠AOB＝
2． 2（2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝22， 当△AOP′∽△AOB时，可得OP′＝OB＝3， ∴P′（0，3）， 当△AOP∽△BOA时，
OAOP＝， OAOBOAOP＝， OBOAOP22∴＝，
2238， 38∴P（0，），
3∴OP＝
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，
8）． 3【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆． （1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ； （2）在点P从点A向点B运动过程中． ①圆心M的运动路径长是 cm； ②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．
【答案】（1）【解析】
451，相离；（2）①5；②t＝；（3）t＝
223M的直径，再通过勾股定理即可求出M的
M与直线CD的关系.
【分析】（1）首先作出辅助线，利用矩形的性质得到PQ为
半径；然后利用中位线定理求出圆心M到直线CD的距离MK，即可判断与
（2）首先得到圆心M的运动路径为OB,再根据勾股定理和矩形的性质即可求出OB的长，利用直线与圆相切的性质将FM和ME用含有t的式子表示出来，再通过EFFMME即可求解出t的值；
（3）先作出辅助线，利用直角三角形的全等的判定定理HL证明Rt△APD≌Rt△GPQ，再根据勾股定理得到DCCQDQDGQG，即可求解出t的值． 【详解】解：（1）如图1，过M作KNAB于N，交CD于K， ∵四边形ABCD是矩形，
22222
∴ABC90，AB∥CD， ∴
M的直径是PQ，KNCD，
当t＝1时，AP＝3，AQ＝4， ∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4， ∴PQ＝3242＝5， ∴
5M的半径为cm，
2∵MN∥BQ，M是PQ的中点， ∴PN＝BN，
∴MN是△PQB的中位线，
11BQ42， 225∴MK826，
2∴MN∴⊙M与直线CD的位置关系是相离； 故答案为：
5，相离； 2（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，
∴圆心M在对角线BD上，
由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合， 当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点， 故M运动路径为OB1BD， 2由勾股定理得：BD628210， 则圆心M的运动路径长是5cm； 故答案为：5；
②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EFAD，EFBC，
则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t， ∴PQ＝10﹣5t， ∴PM105t5FM5t， 2213BPQ中，MEPB3t，
22∵EFFMME，
∴553t3t6， 22解得：t1； 2（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，
∵APDNBQ，NBQNPQ， ∴APDNPQ， ∵A90，DGPG， ∴ADDG8， ∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPQ（HL）， ∴PGAP3t， ∵PQ105t，
∴QG3t(105t)8t10， ∵DCCQDQDGQG， ∴6(4t)8(8t10) ∴3t210t80，
222222222(t2)(3t4)0，
解得：t12（舍），t24． 3【点睛】本题主要考查三角形、矩形、圆的性质的综合应用，需要对于图形的几何关系熟练的掌握和应用，属于较难的综合类题型.
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