课程名称：
开课单位：
制订时间：
修订时间：数学公共基础课教学大纲
大学数学（二） 数学系 2003.7 2004.7
《大学数学》(二)课程教学大纲
一、课程基本信息 课程编号 课程名称 课程英文名称 总学时数 学分 开课单位 适用专业 先修课程 课程性质 选用教材 数学与自然科学 120 7.5 讲课学时 实验学时 150100122 大学数学 College Mathematics 上机学时 数学系 尖子班 高等数学（一） 课程类型 必修课 习题课学 时 周学时 101 0 0 19 8 《Calculus》美国原版教材 1998年. 《高等数学》自编教材 2004年. 《复变函数与积分变换》 宋叔尼等编著 东北大学出版社 2003年. 《Thomas’ Calculus》(Tenth Edition) 高等教育出版社，2004年. 《高等数学习题课指导》 车向凯等编著，吉林大学出版社，2001年. 《高等数学》（第五版） 同济大学数学系，高等教育出版社，2002年. 《高等数学》 欧唯义等编著，吉林大学出版社，1986年. 《大学数学》 萧树铁等编著，高等教育出版社，2000年. 《复变函数》 西安交大编，高教出版社，1996年. 《积分变换》 南京工学院编， 高教出版社，1995年. 《复变函数与积分变换》华中理工大学主编，高等教育出版社，2001年. 《大学数学》（二）包括高等数学（二）和复变函数与积分变换. 本课程是高等理工科院校理、工等各专业的一门必修的基础课、工具课. 它以高度抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性为其基本特征. 高等数学（二）阐述多元微积分的全部内容，辅以级数的基本知识，构成完整的知识体系，内容丰富，信息量大.学生通过这些内容的学习，掌握微积分的基本思想和方法. 初步掌握学习后继课程和解决实际问题所必备的数学基础知识及常用数学方法，具有一定的数学符号运算能力、进行数值计算的能力.具备运用相关知识处理，解决实际问题的一般能力，并为学习后继课程打下较为坚实的基础. 复变函数与积分变换为工科特别是自动化、通信、电子信息、材料成型及控制等专业的基础课.要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理讨论好线性系统作必要的数学准备. 通过教学，使学生掌握该课程的基本理论与方法. 培养学生的科学计算能力，提高学生的逻辑思维和推理能力，为进一步扩大数学知识面及学习主要教学 参考书 本课程地位（作用）和任务 相关课程理论奠定必要的基础. 通过教学，提高学生的数学素养，培养学生的探索精神和实践创新能力. 二、教学内容及基本要求 1. 空间解析几何与向量代数
1.1 掌握空间直角坐标系及空间两点间的距离公式.
1.2 了解曲面、曲线方程的概念.会求简单空间曲线在坐标平面上的投影.
1.3 会求旋转曲面的方程及坐标轴为旋转轴的旋转曲面、母线平行于坐标轴的柱面方程图形. 1.4 理解向量的概念及向量坐标表示式.熟练掌握用向量的线性运算、数量积、向量积. 1.5 会求两向量的夹角、向量的方向余弦.掌握两向量平行、垂直的充分必要条件.
1.6 掌握平面和直线方程的求法.知道平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的位置关系. 1.7 了解二次曲面的标准方程及其图形. 2. 多元函数微分法及其应用
2.1 理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域，了解平面区域的概念. 2.2 知道二元函数的极限、连续性等概念，知道有界闭区域上连续函数的性质.
2.3 了解一阶偏导数的概念，知道一阶偏导数的几何意义.熟练掌握一阶偏导数的计算，掌握高
阶偏导数的计算.
2.4 了解全微分的概念，知道全微分存在的充分条件和必要条件，掌握全微分的计算方法. 2.5 掌握复合函数的微分法，会求隐函数的偏导数.
2.6 会求空间曲线在某点的切线及法平面方程、曲面在某点的切平面及法线方程. 2.7 知道方向导数和梯度的概念，会求函数沿某方向的方向导数及某点的梯度.
2.8 了解多元函数极值的概念，会求函数的极值.了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求
条件极值.会解最大值、最小值的应用题.
3. 重积分
3.1 了解二重积分的概念，知道二重积分的性质及几何意义. 3.2 熟练掌握在直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算.
3.3 知道三重积分的概念，掌握直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下计算三重积分. 3.4 会用重积分解决简单的应用问题. 4. 曲线积分与曲面积分
4.1 知道对弧长的曲线积分的概念，会计算对弧长的曲线积分.
4.2 了解对坐标的曲线积分的概念，知道它的性质，掌握它的计算方法.
4.3 掌握格林(Green)公式与平面曲线积分与路径无关的条件.会利用它计算曲线积分.知道两类
曲线积分之间的关系.
4.4 知道对面积的曲面积分的概念和性质，会计算对面积的曲面积分.
4.5 了解对坐标的曲面积分的概念和性质，掌握对坐标的曲面积分的计算方法. 4.6 掌握高斯(Gauss)公式，并会用它计算两类曲面积分. 4.7 知道并会运用斯托克斯(Stokes)公式. 5. 无穷级数
5.1 了解无穷级数的收敛、发散及级数和的概念，知道无穷级数的基本性质及收敛的必要条件. 5.2 掌握p-级数和几何级数的收敛性.
5.3 掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法. 5.4 掌握交错级数的莱布尼兹（Leibnize）判别法.
5.5 知道无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念，知道绝对收敛和收敛的关系.会判断收敛级数的
绝对收敛和条件收敛性.
5.6 了解幂级数的概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间.
5.7 知道幂级数在收敛区间内的一些基本性质（和函数连续、逐项积分逐项微分）. 5.8 知道泰勒级数和函数展开为泰勒级数的充要条件，能把一些函数展成幂级数. 5.9 知道傅立叶(Fourier)级数的概念，会将周期函数在一个周期内展开为傅立叶级数. 5.10 知道正弦级数和余弦级数的概念，会将某些函数展开为正弦级数和余弦级数. 6.复数与复变函数
6.1熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念.
6.2熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式.
6.3理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；理解复变函数以及映射的概念，了解复变函数与而二元实函数的关系.
6.4了解复变函数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系. 7. 复变函数
7.1 理解复变函数的导数以及解析函数的概念，掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法. 7.2 熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程. 7.3 熟悉复变初等函数，了解它们的主要性质. 8. 复数积分理论
8.1了解复积分定义，掌握复积分计算的一般方法.
8.2理解柯西-古萨定理，了解变上限函数的性质、复不定积分与原函数的概念以及牛顿-莱布尼
兹公式.
8.3 掌握复合闭路原理，熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解平面调和函数理论，掌握
共轭调和函数的求法.
9. 复变函数的级数理论(4学时)
9.1 了解复数列的极限概念，熟悉复数列收敛的充分必要条件.
9.2 了解级数理论、级数的性质，理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法.
9.3 理解泰勒展开定理，掌握函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成
泰勒级数.
9.4 掌握罗朗级数的概念、性质，理解罗朗展开定理，能比较熟练地把一些解析函数在不同的圆
环域内展开成罗朗级数.
10 留数
10.1理解孤立奇点的概念及其分类，掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征，熟悉零点与极点的关系.
10.2 理解留数的概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法. 10.3 掌握利用留数定理计算闭路积分的方法，熟练掌握应用留数计算实积分 . 10.4了解应用留数定理计算实积分的围道积分法. 11. 保角映射
11.1保角映射的特性 11.2分式线性映射
11.3几个初等函数所构成的映射 12. 富里叶变换与拉普拉斯变换
12.1了解周期函数的傅里叶级数极其复数形式，熟悉富氏积分定理，理解傅立叶变换及其逆变换
的概念.
12.2理解广义函数的概念和性质， 掌握傅立叶变换的线性、位移、积分以及微分性质，熟练运
用傅立叶变换的性质求函数的傅立叶变换及其逆变换.
12.3 理解卷积的概念，掌握并能运用卷积定理.理解拉氏变换及其逆变换的概念，了解拉氏变换
与傅立叶变换的区别，熟悉拉氏变换的存在定理.
12.4 掌握拉氏变换的线性、相似、积分、位移以及延迟性质，熟练运用拉氏变换的性质求函数
的拉氏变换及其逆变换.
12.5了解复反演积分公式，熟练掌握应用留数计算像原函数的方法.
12.6 理解卷积的概念，掌握并能运用卷积定理；熟练掌握常系数线性微分方程（组）的拉氏变
换解法.
三、教学安排及方式
总学时 120 学时，讲课 120 学时，实验 0 学时. 学时分配表：
教学环节 教学时数 课程内容 空间解析几何与向量代数 多元函数微分法及其应用 重积分 讲课 实验 习题课 讨论课 上机 参观或看录像 小计 14 14 14 12 14 3 4 5 4 5 6 6 101 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 1 2 16 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 16 16 16 16 4 5 6 4 6 8 8 120 曲线积分与曲面积分 无穷级数 复数与复变函数 复变函数 复数积分理论 复变函数的级数理论 留数 保角映射 积分变换 总 计 四、课程教学的有关说明 本课程内外学时比例： 1：2；平均周学时： 8. 可对下述有关情况做出说明：
1、 本课程自学内容及学时
组合优化初步 6学时.
离散傅立叶变换的性质及应用 6学时. 小波变换初步 6学时. 2、 课内习题课的安排及学时
见上表.
3、 利用现代化教学手段内容及演进
尽量用多媒体教学；条件允许，可进行数学实验教学. 4、 对学生能力培养的要求
通过本课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论与方法. 培养学生的科学计算和解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力，提高学生的数学素养，培养学生的探索精神和实践创新能力.
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