高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算

1. 下列命题中不正确的命题个数是( )

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+ CD+DA=0；

②对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面；

③若a、b共线，则a与b所在直线平行。

A.1 B.2 C.3 D.4

2.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG =xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为( )

A.（

111333111222，，） B.（，，） C.（，，） D.（，，） 4444443333333．在平行六面体ABCD－EFGH中，AGxACyAFzAH，则xyz________.

4.已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则

EF=_____________.

5.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MNxAByADzAP的实数x、y、z的值.

_ P

_N

_ M _ C_ D

_ A

_ B

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1重点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( ) A.

1031013 B. C. D. 1010552．如图，设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足ABAC0，

ACAD0，ABAD0，则△BCD的形状是( )

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定的

3．已知ABCD－A1B1C1D1 为正方体，则下列命题中错误的命题为

__________．

①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2;

②A1C(A1B1A1A)0; ③向量AD1与向量A1B的夹角为60; ④立方体ABCD-A1B1C 1D1的体积为|ABAA1AD|;

4．如图，已知：平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60° （1）证明：C1C⊥BD； （2）当

§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

§3.1.5空间向量运算的坐标表示

CD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明． CC1

1．已知向量OA(2，2，3)，OB(x，1y，4z)，且平行四边形OACB的对角线的中点坐标为M(0，31，)，则(x，y，z)( ) 22A．(2，4，1) B．(2，4，1) C．(2，4，1) D．(2，4，1)

b、c( ) 2．已知a(2，2，4)，b(1，1，2)，c(6，6，12)，则向量a、A．可构成直角三角形 B．可构成锐角三角形

C．可构成钝角三角形 D．不能构成三角形

3．若两点的坐标是A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则|AB|的取值范围是( ) A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25] 4.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，则a的值为 .

5.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，侧棱长为2a.建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.

C1 B1 A1

B A

3.2立体几何中的向量方法

1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A．{(x,y,z)|(x1)y(z1)4} B．{(x,y,z)|(x1)y(z1)4} C．{(x,y,z)|(x1)y(z1)2} D．{(x,y,z)|(x1)y(z1)2}

2. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( ) 2A．

42B．

3A1

D1

B1

C1

222222222222

C．D．

3 3D

A

C

3 2B

3. 已知斜三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1. （1）求证：AC1平面A1BC； （2）求C1到平面A1AB的距离； （3）求二面角AA1BC余弦值的大小.

B 4. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， AB=1，ACAA∠ABC=60°. 13，(1)证明：ABA1C；

（2）求二面角A—A1C—B的大小.

5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点. （1）求证：AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值； 若不存在，试说明理由.

_ B

_ SA1 B1 A B C1 C _ F

_ A

_ C

_ D参考答案

第三章 空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算

1.A 2.A 3.5.

如图所示，取PC的中点E，连结NE，则MNENEM.

111∵ENCDBA=AB，

222_ P3 4.3a+3b－5c 2211ENPMPE=PCPCPC，

326_ E _ A

_ B

N _ _ M _ C

连结AC，则

PCACAPABADAP 11 ∴MNAB(ABADAP)

26211 =ABADAP，

366211 ∴x,y,z.

366_ D

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.C 2.B 3. ③④ 4.（1）设 CBa, CDb, CC1c，则|a||b|，

BDCDCBba，所以

BDCC1(ba)cbcac|b||c|cos60|a||c|cos600，BDCC1即 BDCC1；

（2）设 CD2x, CD2, 则 CC1=， CC1x BD面AA1CC1D0， 1C1C, BDA1C， 只须求x满足:A设A1Aa,ADb,DCc，A1Cabc,C1Dac，

22A1CC1D(abc)(ac)aabbcc令

4x226， x4x222260，则3xx20，解得x1，或xx3

z C1 B1 A1 M

B y A x （舍去）， CD1 时, 能使A1C平面C1BD. CC1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示

1.A 2.D 3.B 4.16

5. （1）建系如图，则A（0，0，0） B（0，a，0） A1（0，0，2a)，C1（-

3aa，,2a) 22(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M， 于是M（0，则有

a，连结AM，MC1 ,2a）

2MC1(3a,0,0) AB(0,a,0)，AA1(0,02a)， 2∴MC1AB0，MC1AA10，

所以，MC1⊥平面ABB1A1.

因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.

 AC1(3aaa,,2a)，AM(0,,2a)， 2229a23AC1AM，而||AC1|3a,|AM|a，

42由cos=

AC1AM3，

|AC1||AM|2=30°.

∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

3.2立体几何中的向量方法

1.A 2.C 3.

（1）如右图，取AB的中点E，则DE//BC，因为BCAC， 所以DEAC，又A1D平面ABC， 以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间坐标系， 则A0,1,0，C0,1,0，B2,1,0，

A10,0,t，C10,2,t，

AC10,3,t，BA12,1,t，

ACCB， CB2,0,0，由AC1CB0，知1又BA1AC1，从而AC1平面A1BC.

2t3. （2）由AC1BA13t0，得

设平面A1AB的法向量为nx,y,z，AA10,1,3，AB2,2,0，所以

nAA1y3z0，设z1，则nnAB2x2y0所以点C1到平面A1AB的距离d3,3,1， 221. 7AC1nn（3）再设平面A1BC的法向量为mx,y,z，CA10,1,3，CB2,0,0， 所以

mCA1y3z0，设CB2x0z1，则m0,3,1， m故cosm,nmn7mn7，根据法向量的方向， 可知二面角AA71BC的余弦值大小为7. 4.（1）

三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，

ABAA1，ACAA1，

RtABC，AB1,AC3,ABC60，

由正弦定理ACB300.

BAC900即ABAC .

如右图，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0),B(1,0,0)C(0,3,0),A1(0,0,3)

AB(1,0,0),AC1(0,3,3)， ABAC110030(3)0， ABA1C.

(2) 如图可取mAB(1,0,0)为平面AA1C的法向量， 设平面A1BC的法向量为n(l,m,n)， 则BCn0,AC1n0,又BC（1，3，0）， l3m0l3m,nm. 3m3n0不妨取m1,则n(3,1,1)，

cosm,nmn31101015.

222222mn5(3)11100二面角AACBD的大小为arccos115. 55. （1）连结BD，设AC交于BD于O，

_ S由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，

_ FOB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，

建立坐标系Oxyz如右图.

_ B_ A_ DO _ C设底面边长为a，则高SO6622a.于是 S(0,0,a),D(a,0,0)，C(0,a,0) ，2222OC(0,262a,0,a)，OCSD0 ，故OCSD.从而 ACSD. a,0)，SD(22226a,0,a)，平面DAC的一个法向量22 (2)由题设知，平面PAC的一个法向量DS(OS（0，0，6aOSDS3），设所求二面角为，则cos，得所求二面角的大小为30°. 22OSDS（3）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，且

DS（2626a,0,a),CS(0,a,a). 2222226a,a(1t),at)，而 222设CEtCS, 则BEBCCEBCtCS(1BEDC0t.即当SE:EC2:1时，BEDS.而BE不在平面PAC内，故BE//平面PAC.

3作 者 于华东 责任编辑 庞保军