2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 10.1 随机事件与概率 教案 (2)

10.1.2 事件的关系和运算

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.2 事件的

关系和运算》，事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义. 由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标 A.理解并掌握时间的关系和运算． B.能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中． 学科素养 1.数学建模：事件关系的运用 2.逻辑推理：事件运算与集合运算的联系与区别 3.数学运算：事件运算 4.数据分析：在具体事例中分析事件关系与运算

1.教学重点：件运算关系的实际含义． 2.教学难点： 事件运算关系的应用.

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教学过程 教学设计意图 核心素养目标

一、 情境与问题 从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算. 例如：C=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; iD=“点数不大于3”；D=“点数大于3”； 12由具体事例出发，提出问题，让学生了解事件关系和运算与集合运算的联系。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 E=“点数为1或2”；E=“点数为2或3”； 12F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”； 请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？ 引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件 我们把上述事件用集合的形式写出来得到下列集合C1{1}, C2{2} C3{3} C4{4} C5{5} C6{6}D1\"点数不大于3\"{1,2,3} D2\"点数大于3\"{4,5,6}E1“点数为1或2\"={1,2}; E2\"点数为2或3\"={2,3}F\"点数为偶数\"= {2,4,6} G\"点数为奇数\"= {1,3,5} 用集合的形式表示事件C=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,1它们分别是C={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C发生,那么事件G11一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C⊆G. 这时我们说事件G包含事件C. 11 1）不可能事件记作；2）任何事件都包含不可能事件

若BA，且AB，则称事件A与事件B相等。 记：A=B 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B). 可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件. D1\"点数不大于3\"{1,2,3} ; E1\"点数为1或2\"={1,2}; E2\"点数为2或3\"={2,3} 通过联系集合运算和韦恩图帮助学生理解事件关系及其运算。发展学生数学抽象、逻辑推理 可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1 发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}U2, 3={1, 2, 3}即E1UE2=D1 这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件. 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB). 可以发现，事件E1和E2同时发生，相当于C2发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}{2. 3}={2}. 即E1E2=C2，我们称事件C2为事件E1和E2的交事件 蓝色区域表示交事件 用集合的形式表示事件C=“点数为3”和事件C=“点数为4”. 它们34的核心素养。

分别C={3},C={4}.显然,事件C与事件C不可能同时发生,用集合3434 的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C∩ C=Φ,这时我们称事件34C与事件C互斥. 34 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩ B是一个不可能事件, 即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）. 可以用图表示这两个事件互斥. 其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生． 用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D与D也有这种关系. 12 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立. 其含义是：事件A与 A 事件在任何一次试验中有且仅有一个发生． 事件A的对立事件记为 A ,可以用图表示为. i 1.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C=“点数为i”，其中

i=1,2,3,4,5,6;D=“点数不大于2”，D=“点数大于2”，D=“点数大于4”； 123E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。 判断下列结论是否正确. (1)C与C互斥； (2)C,C为对立事件; 1223通过实例分析，让学生掌握分析事件关系的方法加深对概念的理解，提升推2(3)C⊆D; (4)D⊆D; 323 理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。 6(5)D∪D=Ω,DD=Φ; (6)D=C∪C; 121235(7)E=C∪C∪C; (8)E,F为对立事件； 135(9)D∪D=D; 232 (10)D∩D=D. 233 答案：（2）错，其余都对 综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下 事件的关系或运算 包含 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立 A与B有且仅有一个发生 类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中A∩B=Φ,AUB=Ω A与B不能同时发生 A∩B=Φ A与B同时发生 A∩B或AB A发生导致B发生 A与B至少一个发生 A⊆B AUB或A+B 含义 符号表示

至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等. 例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系. 分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x,x)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑12甲元件的状态,还要考用乙元件的状态. 解：(1)用x,x分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x,x)表示1212这个并 联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. (2) A={(1,0),(1,1)}, B={(0,1),(1,1)}, A(0,0),(0,1)12 , B(0,0),(1,0) 12(3)用x,x分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x,x)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效. A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)}; A∪B表示电路工作正常, AB表示电路工作不正常； A∪B和AB互为对立事件.

例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“第一次摸到红球”,R= 12“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同” (2)事件R与R,R与G,M与N之间各有什么关系？ 1(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R与事件1R的交事件与事件R有什么关系？ 2用数组(x,x)表示可能的结果,x是第一次摸到的球的标号,x是第二1212次摸到的球的标号 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)} 1R={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)} 2R={(1,2),(2,1)} G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} (2)因为R⊆R,所以事件R包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事11件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件. (3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件； 因为R∩R=R,所以事件R是事件R与事件R的交事件. 1212三、达标检测 1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ). (A)至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑 (D)两次都没有中靶

解析：“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”，所以选D 2.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚 是正面为事件N,则有( ) A.M ⊆ N B. M⊇N C.M=N D.M斥；由于它们必有一个发生，所以它们互斥对立． (4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． [点评] 判断两个互斥事件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件． 四、小结 事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下 事件的关系或运算 包含 含义 A发生导致B发生 并事件(和事件) A与B至少一个发生 交事件(积事件) A与B同时发生 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 (1)包含关系、相等关系的判定 ①事件的包含关系与集合的包含关系相似； ②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． (2)判断事件是否互斥的两个步骤 第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． (3)判断事件是否对立的两个步骤 A∩B=Φ,AUB=Ω A∩B=Φ A∩B或AB AUB或A+B A⊆B 符号表示 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。

第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 五、课时练

本节课通过对具体事例，提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义. 由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系. 教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。