一、选择题：本大题共
10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，
.
则z=（
）
D．﹣1﹣2i
只有一个选项符合题目要求
1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i 解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1， b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．设集合A={y|y=2A．（﹣1， 1）
2
x
， x∈R}， B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（
）
B．（0， 1）C．（﹣1， +∞） D．（0， +∞）
解：∵A={y|y=2x， x∈R}=（0， +∞），
B={x|x﹣1＜0}=（﹣1， 1），
∴A∪B=（0， +∞）∪（﹣1， 1）=（﹣1， +∞）．故选：C．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，30]．根据直方图，
其中自习时间的范围是
[17.5， 30]，
）
样本数据分组为[17.5， 20）， [20， 22.5）， [22.5， 25）， [25， 27.5）， [27.5，
这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是（
A．56 B．60 C．120 D．140
解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（故自习时间不少于故选：D
22.5小时的频率为：
0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
0.7×200=140，
4．若变量x， y满足
，则x+y的最大值是（
22
）
A．4 B．9 C．10 D．12
第1页（共12页）
解：由约束条件作出可行域如图，
∵A（0，﹣3）， C（0， 2），∴|OA|＞|OC|，联立
，解得B（3，﹣1）．
∵
∴x2+y2的最大值是10．故选：C．
5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，
，
其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）
A．+πB．+πC．+πD．1+π
下部是一个四棱锥，
解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为
1，可得2R=
．
第2页（共12页）
故R=，故半球的体积为：
1，高为1，，
+
π，
=π，
棱锥的底面面积为：故棱锥的体积V=故组合体的体积为：故选：C
6．已知直线a， b分别在两个不同的平面A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
α，
）
β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A
7．函数f（x）=（A．
B．π
sinx+cosx）（C．
D．2π
cosx﹣sinx）=2sin（x+
）?2cos（x+
）=2sin（2x
cosx﹣sinx）的最小正周期是（
）
解：数f（x）=（+
），
sinx+cosx）（
∴T=π，故选：B 8．已知非零向量则实数t的值为（）A．4
B．﹣4 C．
，
2
，满足4||=3||， cos＜，＞=．若⊥（t+），
D．﹣＞=，
2
解：∵4||=3||， cos＜∴?（t+）=t?+解得：t=﹣4，故选：B．
⊥（t+），
）||=0，
2
=t||?||?+||=（
x≤1时，9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时， f（x）=x﹣1；当﹣1≤f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时， f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0
D．2
3
解：∵当x＞时， f（x+）=f（x﹣），
第3页（共
12页）
∴当x＞时， f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时， f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时， f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．
10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有A．y=sinx
B．y=lnx
C．y=e
x
使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，T性质的是（
3
）
D．y=x
解：函数y=f（x）的图象上存在两点，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，
x
x
使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，使这点的导函数值乘积为﹣
1，
不满足条件；
当y=e时，y′=e＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A
二、填空题：本大题共
5小题，每小题5分，共25分.
若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为
11．执行如图的程序框图，
解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：第二次执行循环体后：第三次执行循环体后：故输出的i值为：3，
第4页（共
a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；a=6，b=3，满足条件a＜b，
12页）
故答案为：3 12．若（ax+
2
）的展开式中x的系数是﹣80，则实数a=
55
．
解：（ax+
2
）的展开式的通项公式
5
Tr+1=（ax）
25﹣r
=a
5﹣r
，
令10﹣∵（ax+∴
2
=5，解得r=2．
）的展开式中x的系数是﹣80
5
5
a3=﹣80，
得a=﹣2．
13．已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是
y=±b
=±
，
CD的中点为E的两个焦点，
解：令x=c，代入双曲线的方程可得
由题意可设A（﹣c，由2|AB|=3|BC|，可得2?
2
），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），
=3?2c，即为2b=3ac，
2
2
2
2
由b=c﹣a，e=，可得2e﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．
14．在[﹣1，1]上随机地取一个数
2
2
2
k，
2
则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）+y=9相交”发生的概率为解：圆（x﹣5）+y=9的圆心为（5，0），半径为3．
第5页（共12页）
圆心到直线y=kx的距离为，
要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则
＜3，解得﹣＜k＜．
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，
2
2
使直线y=kx与圆（x﹣5）+y=9相交相交的概率为故答案为：
．
=．
15．已知函数f（x）=
使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，解：当m＞0时，函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，则m的取值范围是
的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m＜m（m＞0），即m＞3m（m＞0），解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．
2
2
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（Ⅰ）证明：a+b=2c；
第6页（共
+．
12页）
（Ⅱ）求cosC的最小值．解：（Ⅰ）证明：由
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，∴
∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）=a+b+2ab=4c；
2222∴a+b=4c﹣2ab，且4c≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴
；
2
2
2
2
得：
；
，带入（1）得：
；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．
AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，
求证：GH∥平面ABC；
17．在如图所示的圆台中，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，（Ⅱ）已知EF=FB=
AC=2
AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ又∵EF
，QH∥BO，∴GQ
，BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
第7页（共
12页）
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（F（0，=（﹣2
，0，0），C（﹣2，3），，﹣
，﹣3），
=（2
，2
，0），
，0，0），B（0，2
，0），O′（0，0，3），
由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，
则，即，
取x0=1，则=（1，﹣1，﹣
），
∴cos＜，＞===﹣．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为
．
18．已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n，{bn}是等差数列，（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=
解：（Ⅰ）Sn=3n+8n，
第8页（共
2
2
且an=bn+bn+1．
，求数列{cn}的前n项和Tn．
12页）
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn=
2
=
n
n
=6（n+1）?2，
∴Tn=6[2?2+3?2+…+（n+1）?2]①，∴2Tn=6[2?2+3?2+…+n?2+（n+1）?2
2
3
n
2
3
n
n+1
]②，
n+1
①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+2+2+…+2﹣（n+1）?2=（﹣6n）?2
n+1
]=12+6×﹣6（n+1）?2
n+1
=﹣3n?2
n+2
，
∴Tn=3n?2n+2．
19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，乙每轮猜对的概率是
则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是
，
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假
求：
EX．
设“星队”参加两轮活动，
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望
解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=
+
+
=++=，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）=P（X=1）=2×[
=
+
第9页（共
，
]=
，
12页）
P（X=2）=
+
P（X=3）=2×P（X=4）=2×[
+
+
=
=
，
]=
，
+
P（X=6）=
故X的分布列如下图所示：X P
0
1
=
2 3 4 6
∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==
21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，
抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，
且位于第一象限，
E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，
线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求
的最大值及取得最大值时点
P的坐标．
解：（I）由题意可得e==即有b=，a﹣c=，解得a=1，c=可得椭圆的方程为
，
x+4y=1；
2
2
2
2
，抛物线E：x=2y的焦点F为（0，
2
），
第10页（共12页）
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x0=2y0，由y=x的导数为y′=x，即有切线的斜率为则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x0）x﹣8x0y0x+4y0﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=
，即有中点D（
，﹣
），
2
2
2
2
2
x0，
直线OD的方程为y=﹣即有点M在定直线y=﹣
x，可令x=x0，可得y=﹣．上；
（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|?|x0|=x0?（+y0）=x0（1+x0）；
2
S2=|PM|?|x0﹣|=（y0+）?=x0?，
则=，
令1+2x0=t（t≥1），则
2
==
==2+﹣=﹣（﹣）+，
2
则当t=2，即x0=
时，取得最大值，
此时点P的坐标为（，）．
20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+（I）讨论f（x）的单调性；
，a∈R．
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
第11页（共
12页）
（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，
得f′（x）=a（1﹣）+
==（x＞0）．
若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（当x∈（1，
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，当x∈（
）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx∵e＞1+x，∴x＞ln（1+x），
∴ex﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，∴F（x）＞
=
．
x
﹣1=x﹣lnx+．
令φ（x）=2]）．
，则φ′（x）=（x∈[1，
∴φ（x）在[1，2]上为减函数，∴F（x）＞
恒成立．
则，
即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
第12页（共12页）
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