一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分） 1. 当x→0时，x+x2+𝑥3+𝑥4为x的（ ）
A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小 D.4阶无穷小 2.lim(1+𝑥)𝑥=（ ）
x→∞
2
A.−𝑒2 B.−e C. e D. 𝑒2 3. 设函数y=cos2𝑥 ，则y′=（ ）
A.2sin2𝑥 B.−2sin2𝑥 C. sin2𝑥 D.−sin2𝑥
4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，f′(𝑥)>0，f(𝑎)f(𝑏)<0，则f(x) 在(a,b)零点的个数为（ ） A. 3 B.2 C.1 D. 0
5. 设2𝑥为f(x)的一个原函数，则f(x)=（ ） A.0 B.2 C.x2 D. x2+𝐶 6.设函数f(x)=arctan𝑥，则∫f′(𝑥)𝑑𝑥=（ ） A.−arctan𝑥+𝐶 B.−1+𝑥2+𝐶 C. arctan𝑥+𝐶 D. 1+𝑥2+𝐶
7.I1= ∫0𝑥2𝑑𝑥，I2= ∫0𝑥3𝑑𝑥，I3= ∫0𝑥4𝑑𝑥，则（ ） A. I1> I2>I3 B. I2> I3>I1 C. I3> I2>I1 D. I1> I3>I2 8. 设函数z=x2𝑒𝑦，则𝜕𝑥 | (1,0)=（ ） A.0 B.2 C.1 D.2 9.平面x+2y−3z+4=0的一个法向量为（ ）
A.{1,-3,4} B. {1,2,4} C. {1,2,-3} D. {2,-3,4} 10.微分方程yy′+(y′)3+𝑦4=𝑥的阶数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
1
𝜕𝑍
1
1
1
11
二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11. lim
tan2𝑥𝑥
x→0
= 5x x<0
12.若函数f(x)= 在点x=0处连续，则a=
a x≥0
13. 设函数y=𝑒2𝑥，则dy=
14.函数f(x)=x3−12𝑥的极小值点x= 15. ∫√1
11−𝑥2𝑑𝑥= 16. ∫−1𝑥tan2𝑥𝑑𝑥=
17.设函数z=𝑥3+𝑦2，则𝑑𝑧= 18.设函数z=xarcsin𝑦，
𝜕2𝑍𝜕𝑥2= 𝑛
19.幂级数∑∞𝑛=1𝑛𝑥的收敛半径为
20.微分方程y′=2x的通解y = 三、解答题（21-28题，共70分） 21.计算lim
22.设函数y=sin(2𝑥−1)，求y′
23.设函数y=xlnx，求y′′
24.计算∫(𝑥+𝑒𝑥)𝑑𝑥
1
3sin𝑥+2𝑘𝑥
𝑥
x→0
=2，求k
25. 设函数z=𝑥−𝑦，求：x2𝜕𝑥+𝑦2𝜕𝑦
26.设D是由曲线x=1−𝑦2与x轴、y轴，在第一象限围成的有界区域，求 （1）D的面积S.
（2）D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.
27. 求微分方程y′′−5y′−6y=0的通解。
28. 计算∬(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦，其中D是由曲线x2+𝑦2=1，y=x，x轴在第一象限𝐷围成的有界区域。
1
1
𝜕𝑍
𝜕𝑍
参考答案
一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分） 1—10. ADBCB CADCB
二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11.2 12.0 13. 2𝑒2𝑥dx 14.2 15. arcsin𝑥+𝐶 16.0 17. 3x2𝑑𝑥+2𝑦𝑑𝑦 18.0 19.1 20. x2+𝐶
三、解答题（21-28题，共70分） 21. lim
1
sin𝑥+2𝑘𝑥
𝑥
x→0
=lim
sin𝑥𝑥
x→0
+2𝑘=1+2𝑘=2
故k=2
22. y′=[sin (2𝑥−1)]′=cos(2𝑥−1)∙(2𝑥−1)′=2cos(2𝑥−1)
23. y′=(x)′lnx+x(lnx)′=lnx+1
1′()y=lnx= 𝑥′′
24. ∫(𝑥+𝑒)𝑑𝑥=∫𝑥𝑑𝑥+∫𝑒𝑥𝑑𝑥
=
111+3𝑥
1+1313
𝑥
13
+𝑒𝑥+𝐶
34
=𝑥3+𝑒𝑥+𝐶 4 25. 解：
𝜕𝑍𝜕𝑥
=−𝑥2，𝜕𝑦=𝑦2，故
x2
𝜕𝑍𝜕𝑍11+𝑦2= −2∙𝑥2+𝑦2∙2=−1+1=0 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑥𝑦1𝜕𝑍1
26.（1）积分区域D可表示为：0≤y≤1，0≤x≤1−𝑦2
1312
S=∫(1−𝑦𝑑𝑦=(𝑦−𝑦)|0= 330
2)
1
（2）V=∫0𝜋𝑦2𝑑𝑦=𝜋∫0(1−𝑥)𝑑𝑥=2
27. 特征方程𝑟2−5𝑟−6=0，解得𝑟1=−1或𝑟2=6
故微分方程的通解为y=C1𝑒𝑟1𝑥+C2𝑒𝑟2𝑥=C1𝑒−𝑥+C2𝑒6𝑥（C1，C2为任意常数）
28.积分区域用极坐标可表示为：0≤θ≤4，0≤r≤1， 所以I=
2
(𝑥∬𝐷
π
11𝜋
+𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦=∫0𝑑𝜃∫0𝑟2∙𝑟𝑑𝑟=4∙4𝑟4|10=16 2
𝜋
4
1𝜋1𝜋
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