第八节
对数与对数函数
[知识能否忆起]
1．对数的概念 (1)对数的定义：
如果a＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)： ①loga1＝0. ②logaa＝1.
③对数恒等式：alogaN＝N. logcb④换底公式：logab＝.
logca1
推广logab＝，logab·logbc·logcd＝logad.
logba(3)对数的运算法则：
如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R)； ④log amM＝logaM. 2．对数函数的概念
(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝a的反函数，函数y＝a与y＝logax(a>0，
xxnnxMNnm 1
a≠1)的图象关于y＝x对称．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0 11A.0， B.，＋∞ 221C.，1 2 D．(0,2) 1 解析：选C ∵A＝{y|y>0}，B＝y| ∴A∩B＝y| 2．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是( ) 2A.0， 3 C．(1,0) 2B.，0 3 D．(0,1) 解析：选C 当x＝1时y＝0. 3．函数y＝lg |x|( ) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 2 解析：选B y＝lg |x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 4．(2012·江苏高考)函数f(x)＝ 1－2log6x的定义域为________． 1 解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6 ]． 2答案：(0，6 ] 5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a)＋f(b)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a)＋f(b)＝lg a＋lg b＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2 1.在运用性质logaM＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaM＝nloga|M|(n∈N，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0 在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0 * 2 2 2 2 2 2 nn 对数式的化简与求值 典题导入 [例1] 求解下列各题． 1324 (1)lg －lg8＋lg245＝________； 249311ab(2)若2＝5＝m，且＋＝2，则m＝________. ab 3 1324 [自主解答] (1)lg －lg8＋lg245 24931431 ＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7) 232251 ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7 221111＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝. 2222(2)由2＝5＝m得a＝log2m，b＝log5m， 11 ∴＋＝logm2＋logm5＝logm10. ababab11 ∵＋＝2， ∴logm10＝2，即m＝10. 解得m＝10(∵m>0)． 1 [答案] (1) (2)10 2 由题悟法 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 以题试法 32 1．化简：(1)lg＋lg 70－lg 3－lg3－lg 9＋1； 7(2) 2 lg 4－lg 603－45×2－11. lg 3＋lg 5 3×7072 解：(1)原式＝lg－lg3－2lg 3＋1 3＝lg 10－ lg 3－1 2 ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝ lg 4－lg 4＋lg 153－210×2－11 lg 15 4 ＝ －lg 153－2－1 lg 15 3＝－. 2 对数函数的图象及应用 典题导入 [例2] (1)(2012·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为( ) 1x(2)(2012·新课标全国卷)当0 22 B.，1 22 D．(2，2) C．(1，2) [自主解答] (1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C. (2)法一：构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax，当a>1时不满足条 x111件，当0 122 即2 222 11xx法二：∵0 若本例(2)变为：若不等式(x－1) 2 2 2 5 当a>1时，如图， 要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)≤loga2， 又即loga2≥1. 所以1 1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解． 2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解． 以题试法 3，x≤1， 2．已知函数f(x)＝1 logx，x>1，3 x2 2 1－x则y＝f(1－x)的大致图象是( ) 3，x≥0， 解析：选C 由题意可得f(1－x)＝1 log1－x，x<0，3 因此当x≥0时，y＝f(1 －x)为减函数，且y>0；当x<0时，y＝f(1－x)为增函数，且y<0. 对数函数的性质及应用 典题导入 [例3] 已知函数f(x)＝log4(ax＋2x＋3)． (1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围； (2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． [自主解答] (1)因为f(x)的定义域为R， 2 6 所以ax＋2x＋3>0对任意x∈R恒成立． 显然a＝0时不合题意， a>0， 从而必有 Δ<0， 2 a>0， 即4－12a<0， 1 解得a>. 3 1即a的取值范围是，＋∞. 3 (2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x＋2x＋3)． 由－x＋2x＋3>0得－1 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax＋2x＋3应有最小值1， 22 2 2 a>0， 因此应有3a－1 ＝1，a 1 解得a＝. 2 1 故存在实数a＝使f(x)的最小值为0. 2 由题悟法 研究复合函数y＝logaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u＝f(x)及y＝logau的单调性(最值)情况确定函数y＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a>0，且a≠1)． 以题试法 3．已知f(x)＝loga(a－1)(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性． 解：(1)由a－1>0得a>1，当a>1时，x>0； 当0 ∴loga(ax1－1) log52，z＝e－，则( ) 2 A．x＜y＜z C．z＜y＜x [巧思妙解] 因为ln π＞ln e＝1，log52＜log55＝1，所以x＞y.故排除A、B；又因1111 为log52＜log55＝，e－＝＞，所以z＞y.故排除C. 22e2 [答案] D ——————[ 高 手 支 B．z＜x＜y D．y＜z＜x 招]——————————————————————————— 本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0,1，由指数、对数式可知x>1,0 —————————————————————————————————————— 针对训练 110.3 1．(2012·北京东城区综合练习)设a＝log3，b＝，c＝ln π，则( ) 23 8 A．a 解析：选A a＝log3 2．设a＝，b＝ln sin，c＝log，则a，b，c的大小关系是( ) 3322A．a>b>c C．b>a>c B．a>c>b D．b>c>a 3x30.130 解析：选B 因为函数y＝为增函数，所以a＝>＝1； 222 2π2 012π2π3因为sin＝sin670π＋＝sin＝<1，函数y＝ln x为(0，＋∞)上的 33322 012π3 增函数，所以ln sin＝ln 1111111 因为1>>，而函数y＝logx为(0，＋∞)上的减函数，所以0＝log1 ＝1. 3 所以b<0 的定义域为( ) A．(0,8] B．(2,8] C．(－2,8] D．[8，＋∞) x＋2≤10， 解析：选C 由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则 x＋2>0， 解得－2 A. 4C．2 1B. 2D．4 lg 9lg 42lg 32lg 2 解析：选D (log29)·(log34)＝×＝×＝4. lg 2lg 3lg 2lg 3 3．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( ) 9 xA．log2x 1 C．logx 2 1B.x 2D．2 x－2 解析：选A f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 4．(2011·天津高考)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( ) A．a＞b＞c C．b＞a＞c 2 B．a＞c＞b D．c＞a＞b 解析：选B a＝log23.6＝log43.6＝log412.96， y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a＞c＞b. log2|x| 5．(2013·安徽名校模拟)函数y＝的大致图象是( ) x log2|－x|log2|x|log2|x|解析：选C 由于＝－，所以函数y＝是奇函数，其图象关于 －xxx原点对称．当x>0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C. 1 6．已知函数f(x)＝log|x－1|，则下列结论正确的是( ) 2 1A．f－ 10 b－1a，a b，a≥b， 则 1－2 lg 10 000⊗＝________. 2 1－24 解析：∵lg 10 000＝lg 10＝4，＝4， 21－24＋1＝5. ∴lg 10 000⊗＝ 442 5 答案： 4 12 8．函数y＝log(x－6x＋17)的值域是________． 2 11122 解析：令t＝x－6x＋17＝(x－3)＋8≥8，y＝logt为减函数，所以有logt≤log8 222＝－3. 答案：(－∞，－3] 1 9．函数f(x)＝logax(a>1)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于 2________． 解析：∵a＞1， ∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数． 1 ∴loga2a－logaa＝，解得a＝4. 2答案：4 10．计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)； (2) lg 3 2 2 －lg 9＋1·lg27＋lg 8－lg1 000 lg 0.3·lg 1.2 2 2 . 解：(1)原式＝(lg 2)＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. lg 3 (2)原式＝ 33 －2lg 3＋1·lg 3＋3lg 2－22 lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1 2 3 1－lg 3·lg 3＋2lg 2－1 23 ＝＝－. lg 3－1·lg 3＋2lg 2－12 11 11．说明函数y＝log2|x＋1|的图象，可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间． 解：作出函数y＝log2x的图象，再作其关于y轴对称的图形得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数 y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)． 由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)． 12．若f(x)＝x－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)． (1)求f(log2x)的最小值及对应的x值； (2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)＜f(1)． 解：(1)∵f(x)＝x－x＋b， ∴f(log2a)＝(log2a)－log2a＋b. 由已知得(log2a)－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0. ∵a≠1，∴log2a＝1，即a＝2. 又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4. ∴a－a＋b＝4.∴b＝4－a＋a＝2.故f(x)＝x－x＋2. 从而f(log2x)＝(log2x)－log2x＋2 127＝log2x－＋. 24 17 ∴当log2x＝，即x＝2时，f(log2x)有最小值. 24 log2x－log2x＋2＞2， (2)由题意2 log2x－x＋2＜2x＞2或0＜x＜1， ⇒－1＜x＜2 2 2 2 2 2 2 222 ⇒0＜x＜1. 1．(2012·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ log28－x，x≤0，fx－1－fx－2，x>0， 则f(3)的值为( ) B．2 D．－3 A．1 C．－2 解析：选D 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3. 12 632．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 2 A．a 6解析：选D 已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 55 b＝f＝f－＝－f＝－lg>0， 222c＝f＝f＝lg<0. 22 41又因为lg>lg， 5241 所以0<－lg<－lg. 52所以c 44 45 35 11 1 12 12 af(x1)－f(x2)>0，求实数a的取值范围． 解：因为对任意的x1，x2，当x1 2所以函数f(x)在－∞，上单调递减． 2 令t＝x－ax＋3，则二次函数t＝x－ax＋3的对称轴为x＝，其在－∞，上单调递 22减． 由复合函数的单调性，可知y＝logax为单调增函数，故a>1. 由对数函数的定义域，可知在区间－∞，上，t>0恒成立，即x－ax＋3>0在区间 2 2 2 a aa a a2 －∞，a上恒成立． 2 aaaaa2 而函数t＝x－ax＋3在区间－∞，上的最小值为－a×＋3＝3－.故3－>0， 22442 2 2 2 解得|a|<23. 综上可得a的取值范围是(1,23)． 13 1logx，x>0， 1．设函数f(x)＝2 log2－x，x<0，( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 1 解析：选C 当m>0时，f(m) 2 1 当m<0时，f(m) 2．已知函数f(x)＝|lg x|，若0 若f(m) 4 3．化简：log3 2 ，b＝2时取等号． 2 2712 ·log5[4log210－(33)－7log72]． 323 33432 解：原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72] 323 3＝log33－log33·log5(10－3－2) 4 13＝－1·log55＝－. 44 4．(2012·上海徐汇二模)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 14 2 解：(1)h(x)＝(4－2log2 2x)·log2x＝－2(log2x－1)＋2， 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]． 故函数h(x)的值域为[0,2]． (2)由f(x2 )·f(x)>k·g(x)得 (3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,2]时，k< 3－4t3－tt恒成立，即k<4t＋9 t－15恒成立，因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝3 2时取等号， 所以4t＋9 t－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)． 15 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容