2011年高一数学学案：3.1.2《指数函数》(

一、 问题情境

问题1：某种细胞分裂时，由1 个分裂成2个，2个分裂成4个，......,依此类推，一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样的函数关系？ ____________________________

问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？__________________

二、 指数函数的定义

一般地，函数 yax(a0且a1)叫指数函数(exponential function), 其中x是自变量，函数定义域是R。

（思考：为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？）

三、 探究指数函数的性质

学习函数的一般模式（方法）：

解析式（定义）

图像

数形结合 ① 定义域

② 值域 ③ 单调性 ④ 奇偶性

性质

应用

⑤ 其他

要研究指数函数的性质，我们就先考虑怎样得到指数函数的图像。请问:要画

出函数的图像一般用什么方法？_______________________。

1任 务1：在同一直角坐标系画出y2、y这两个指数函数的图像

2xx第一步：列表求值 x y2x x 1 y 2x„ „ „ „ -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 „ „ 3 „ „

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第二步：描点、连线作图

思考 这两个函数的图像有何关系？ 你能否猜想出一个相关结论？ 变化过程中的不变特征就是性质 任 务2：各小组按照下列步骤利用Excel或几何画板探究指数函数的相关性质 （1）在Excel图表里查表求值，并判断 ①在Excel图表里改变底数的值为1.7 ②在Excel图表里改变底数的值为0.8 并在左边列表里找出 当x=2.5时，y = _____ 当x= 3时， y = _____ 并比较1.72.5与1.73的大小关系。 1.72.51.73 并在左边列表里找出 当x=-0.1时， y = _____ 当x=-0.2时， y = _____ 并比较0.80.1与0.80.2的大小关系。 0.80.10.80.2 思考：上面两个大小关系，能否不通过查表直接得出？

（2） 在几何画板1里改变底数a（a0且a1的若干个不同取值（如下表），观）察底数a与指数函数的图像特征有什么样的联系？ 改变 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ „„ a 2 3 4 0.5 0.33 0.25 观察：①图象在直角坐标系的哪些象限？

______________________________________________________ ②图象与坐标轴的相交情况？

______________________________________________________ ③图象的上升下降趋势与底数a有什么关系？

______________________________________________________

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（3）在几何画板2拖动图上面的任意值点或点击动画演示按钮，观察指数函数的图像特征与底数a有什么样的联系，并在下面逐条写出你们小组发现的指数函数的其它性质。

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任务3：各小组汇报你们组的探究成果。

请各小组派一名代表小结你们小组所得到的结论．请其他小组注意： 第一，认真听取他的发言，并关注他们小组所得到的结果；

第二，请你们对他们的发言作出补充意见，包括数学语言表达的准确性、结论的

正确性和完整性。

第三，注意使总结的数学结论条理化，可以采用表格的形式来呈现。

指数函数的图像与性质

底数a 图 像 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 与坐标轴 的交点 其他性质

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四、 指数函数的性质的简单应用

例题：比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5，1.73 (2)0.80.1，0.80.2

(3)1.70.3，0.93.1

方法小结：_________________________________________________ ___________________________________________________________

1 任务4：你能否在下面的直角坐标系迅速画出y2、y 、

2xx1y3x、y这四个函数的草图。

3x

五、 小结

利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像。

六、 作业

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