12 矩阵的QR分解

一、Givens矩阵与Givens变换

22cs1，称 1. 定义：设实数c与s满足

1Tij1c11sc1s(i)(j) 1[i](ij)

[j]为Givens（吉文斯）矩阵（初等旋转矩阵），也记作TijTij(c,s). 由Givens矩阵所确定的线性变换称为

Givens变换（初等旋转变换）.

★说明：（1）实数cs1，故存在，使 ccos,ssin.

22（2）yTijx中Tij确定了将向量x变成y的一种变换，正是cosysinGivens变换. 二阶情况下，sinx 确定的正是平面直角坐标系中cos绕原点的一个旋转变换（按顺时针方向旋转角）.

（3）以上实Givens矩阵也可推广成为复初等旋转矩阵.

1Tik1cej1se11j2sej3cej41(i)(k) 1[i]22[k]其中c与s仍为满足cs1的实数，1,2,3,4为实角度，j1.

显然，det(Uik)ce2j(14)se2j(23)； ；

当1423时，det(Uik)ej(14)当14232n时，det(Uik)1. 2. 性质

T(c,s)T(c,s)（1）ijijTij(c,s),

1T ssin()sin(),（即旋转度再反向旋转度，就可还原），det. Tc,s1ij（2）设x1,2,,n， ,n，则有

TTyTijx1,2,icisj jsicj(ki,j)kk当0时，总可以选c2i2ji2i2j，

22jiijs，使 i2j20jTijx ,1,i-1,,i1,2i2j,j-1,0,j1,T,n

定理1 设x1,2,,n0，则存在有限个

Givens矩阵的乘积T，使得Txxe1.

☆说明：（1）xx22xx (x为实向量时)；

T； xxHx（x为复向量时）（2）e11,0,0,,0.

T证：先考虑10的情形： （1）构造T12(c,s):c11222,s21222T，

T12x1222,0,3,4,（2）对T12x再考虑

,n.

T13(c,s):c1222122232,s3122232，

TT13T12x122232,0,0,4,,n

（3）依此类推，构造

T1k(c,s):c121222k2k2,

sk1222k2，（k2,3,,n）

T1k(T1,k12212T13T12x) ,0,0,2k0,k1,,nT 直至kn. 令TT1nT1,n122Tx122nT12，则有

,0xe1 .

T,0,0,再考虑10的情形： 若12k10,k0(1kn) ，

则从第一个不为零的k开始运用上述方法即可.

证毕 .

推论：对于任何非零列向量xRn及任何单位列向量z(z1)，均存在着有限个Givens矩阵的乘积T，使Txxz.

证：由上述定理，对x存在有限个Givens矩阵

T,T,T(1)(1)12(1)13,T的乘积

(1)(1)1n1,n1(1)1nTTTT，使 Txxe1 .

(1)(1)1312(1)(2)(2)对z同理存在有限个Givens矩阵T12,T13,,T(2)1n的

乘积

T(2)TT(2)(2)1n1,n1TT(2)(2)1312，使Tzze1e1 ，

(2) T(1)xxe1xT(2)zT(2)(xz) T(2)1Txxz，

(2)(2)1n1,n1(1)即 TT其中

T(2)12T1(1)(1)1n1,n1TT(1)12xxz

T(2)(2)1n1n1TT213(2)12T1(1)(1)1n1n1TT(1)12

(1)T12

T2121T1T21n1(1)T1(1)Tn1n1TT(2)12TT(2)13TT(2)1nTT(1)(1)1n1n1T

(1)12为有限个Givens矩阵的乘积. 证毕.

例1. 用Givens变换将向量x(1,3,5)变换为与e1(1,0,0)同方向.

13,s解：对x构造T12(c,s):c，则 1010T12x(10,0,5)，

105对T12x构造T13(c,s):c，则 ,s3535T13(T12x)(35,0,0)

于是

TT13T12

10350535010535010351103100310110000 11353105350335110153505350 1035Tx35e1.

例2. 用Givens变换将向量x(2,3,0,5)变换为与e1(1,0,0,0)同方向.

23,s解：对x构造T12(c,s):c，则 1313T12x(13,0,0,5)，

135对T12x构造T14(c,s):c，则 ,s3838T14(T12x)(38,0,0,0)

于是

TT14T12

1338005380010010053800133821331300313213000010000123831301049433821301549400105380 01338Tx38e1.

二、 QR分解

1. 定义：如果实（复）非奇异矩阵A可化为正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即AQR，则称上式为A的QR分解.

2. 求QR分解的方法

（1）Gram-schmidt正交化方法:

定理2. 设A是n阶非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R使得AQR，且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯一.

证：设A记为Aa1,a2,,an，由A非奇异

a1,a2,,an线性无关.

采用Gram-schmidt正交化方法将它们正交化： 先对a1,a2,,an正交化，可得

b1a1b2a2k21b1b3a3k31b1k32b2bnankn1b1kn2b2

kn,n1bn1其中

kai,ajijb,b(ji) ,

jj [ bi,bj0,ij ]

将上式改写为

a1b1a2k21b1b2a3k31b1k32b2b 3ankn1b1kn2b2kn,n1bn1bn 再对b1,b2,,bn单位化，可得 q1ibbi(i1,2,,n)，即 bibiqii用矩阵形式表示为

.

a1a2anb1b21k211bnbnCb1qnb2kn1kn2knn1Cbnb1b2q1q2QR其中

Qq1q2qn,

Rdiagb1b2bnC

Q是正交（酉）矩阵 R是实（复）上三角矩阵

唯一性: 采用反证法。

设存在两个QR分解，AQRQ1R1，则

QQ1R1R1Q1D

式中DR1R仍为实非奇异上三角矩阵.

1于是

IQQQ1DTTQ1DDQ1Q1DDTTD

（ IQQQ1DHHQ1DDHD ）

D为正交矩阵（酉矩阵）.

于是

a11Da12a22a1naij0(ij)a2n  2aij1(ij)ann故，D只能为对角阵，且D是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵.

这一证明方法可推广为：

定理3. 设A是mn的实（复）矩阵，且其n个列线性无关，则A具有分解

AQR

其中Q是mn实（复）矩阵，且满足

QQI(QQI)，R是n阶实（复）非奇异上三角

矩阵. 该分解除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角矩阵因子外，上述分解唯一.

例3. 使用Schmidt正交化方法求矩阵

122A212 121TH的QR分解.

解：令a1(1,2,1),a2(2,1,2),a3(2,2,1),

122A212(a1,a2,a3)， 121 先正交化：

b1a1，

211(a2,b1)6b2a2b1121(b1,b1)2611

a2b1(a3,b1)(a3,b2)b3a3b1b2

(b1,b1)(b2,b2)12112712210

161311271a3b1b2

6311b1b1在单位化：q1|b1|613111q2b2b2， |b2|3313162 6161211q3b3b30

|b3|212于是

71a1b1，a2b1b2，a3b1b2b3，

63b16q1,b23q2,b32q3

11A(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)01001176(6q11,3q2,2q3)013 0010011(q)61,q2,q303000201007613 17613 116261131311620010630761 32616Q261631313132120，126R00676133. 02