数 学 试 题
（满分：150分； 考试时间：120分钟） 考生须知：
1. 解答的内容一律写在答题卡上，否则以0分计算. 交卷时只交答题卡，本卷由考场处理，
考生不得擅自带走.
2. 作图或画辅助线要用0.5毫米的黑色签字笔画好.
一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）每小题都有四个选项，其中有且只
有一个选项是正确的. 1. 下列计算正确的是
1
A. －1＋1＝0 B. －1－1＝0 C. 3÷＝1 D. 32＝6
32. 下列事件中是必然事件的是
A. 打开电视机，正在播广告.
B. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球. C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上.
D. 今年10月1日 ，厦门市的天气一定是晴天. 3. 如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4， 则sin∠B＝
3434
A. B. C. D.
55434. 下列关于作图的语句中正确的是
A. 画直线AB＝10厘米.
B. 画射线OB＝10厘米.
C. 已知A、B、C三点，过这三点画一条直线. D. 过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行. 3
5. “比a的大1的数”用代数式表示是
2
3253
A. a＋1 B. a＋1 C. a D. a－1
23226. 已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是 ADAEAEAD
A. ＝ B. ＝
ABACBCBD
C.
DEAEDEAD＝ D. ＝ BCABBCAB
B图 2DECAAB图 1 C7. 已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是
A A. 6 B. 2 m－8 C. 2 m D. －2 m
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 8. －3的相反数是 . DE9. 分解因式：5x＋5y＝ .
10. 如图3，已知：DE∥BC，∠ABC＝50°,则∠ADE＝ 度. BC图 3 第 1 页 共 14 页
11. 25÷23＝ . 12. 某班有49位学生，其中有23位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写
在一张小纸条上，放入一盒中搅匀. 如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是 . A13. 如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，
若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD＝ 厘米.
O14. 如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规
则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果， CDE甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为
B（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.
图 415. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f
111
满足关系式：＋＝. 若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝ 厘米.
uvf
16. 已知函数y＝－3x－1－22 ，则x的取值范围是 . 若x是整数，则此函
数的最小值是 .
17. 已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕
点O按顺时针方向旋转135°,则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A（ ） ，1 ，B1( ， ) . 三、解答题（本大题共9小题，共89分）
3
18. (本题满分7分) 计算： 22＋(4－7)÷＋(3)0
2
19. (本题满分7分) 一个物体的正视图、俯视图如图5所示，
正请你画出该物体的左视图并说出该物体形状的名称.
视
图 俯视
图 图 5
20. (本题满分8分) 某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：
年龄组 13岁 14岁 19 15岁 12 16岁 14 参赛人数 5 (1) 求全体参赛选手年龄的众数、中位数；
（2） 小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%.
你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由.
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A
21. (本题满分10分) 如图6，已知：在直角△ABC中，∠C＝90°， DPBD平分∠ABC且交AC于D.
（1）若∠BAC＝30°，求证: AD＝BD； BC图 6 （2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
22. (本题满分10分) 某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传
费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元. （1）试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？ DA
P
23. (本题满分10分) 已知：如图7，P是正方形ABCD EBC内一点，在正方形ABCD外有一点E，
图 7满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
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(1) 求证：△CPB≌△AEB； (2) 求证：PB⊥BE；
(3) 若PA∶PB＝1∶2，∠APB＝135°, 求cos∠PAE的值.
24. (本题满分12分) 已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x2
＞x1），
(1) 若点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上，求m的值；
（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋m与抛物线y＝x2－2x＋m关于y轴对称，点Q1（－2，q1）、Q2（－3，q2）都在抛物线y＝ax2＋bx＋m上，则q1、q2的大小关系是 （请将结论写在横线上，不要写解答过程）； （友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y＝x2－2x＋m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值.
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25. (本题满分12分) 已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1
和⊙O2于点C、D.
（1）如图8，求证：AC是⊙O1的直径； （2）若AC＝AD，
① 如图9，连结BO2、O1 O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形； ︵
② 若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧MB上任取一点E（点E与
︵
点B不重合）. EB的延长线交优弧BDA于点F，如图10所示. 连结 AE、AF. 则AE AB（请在横线上填上 “≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明. （友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上） AAA O1O2MO2 O1O2O1E CDCDBBCD FB图 8图 10 图 9
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k
26. (本题满分13分) 已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的
x
点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设n4
△OPA的面积为s，且s＝1＋.
4 （1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值；
n4
(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.
2
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厦门市2005年初中毕业和高中阶段各类学校招生考试
数学评分标准及参考答案
一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 选项 A B B D A C D 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 8. 3；9. 5(x＋y)；10. 50度；11. 4；12.
23
49
； 13. 6厘米 14. 甲 ； 15. 16. x≤－13 ，－2 ； 17. A B22
1 (2，0)，1(2，2）
注：8~15题每空4分；16、17题每空2分.第11题写成22不扣分.
三、解答题（本大题共9小题，共89分） 18. (本题满分7分） 解：22＋（4－7）÷3
2＋(3)0
＝4－3×2
3
＋1
„„ 4分
＝4－2＋1 „„ 5分 ＝3 „„ 7分 注：每步运算1分. 19. (本题满分7分)
解： 左视图： „„ 3分
该物体形状是： 圆柱 . „„ 7分 20. （本题满分8分）
(1) 解： 众数是：14岁； 中位数是：15岁. „„ 4分 (2) 解1：∵ 全体参赛选手的人数为：5＋19＋12＋14＝50名 „„ 5分
又∵ 50×28% „„ 6分
＝14（名） „„ 7分
∴ 小明是16岁年龄组的选手. „„ 8分 解2：∵全体参赛选手的人数为：5＋19＋12＋14＝50名 „„ 5分 又∵16岁年龄组的选手有14名，
而14÷50 „„ 6分 ＝28% „„ 7分 ∴ 小明是16岁年龄组的选手. „„ 8分 注：第（1）小题的众数、中位数各2分.
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24 厘米； 21. （本题满分10分） (1) 证明：∵∠BAC＝30°∠C＝90° ∴ ∠ABC＝60° „„ 1分 又∵ BD平分∠ABC ∴∠ABD＝30° „„ 2分 ∴ ∠BAC ＝∠ABD „„ 3分 ∴ BD＝AD „„ 4分 (2) 解1： ∵∠C＝90°∴∠BAC＋∠ABC＝90° „„ 5分 ∴ 1
2(∠BAC＋∠ABC)＝45° „„ 6分 ∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∠BAP＝12∠BAC ∠ABP＝1
2
∠ABC „„ 8分
即∠BAP＋∠ABP＝45° „„ 9分
∴∠APB＝180°－45°＝135° „„ 10分 解2：∵∠C＝90° ∴∠BAC＋∠ABC＝90° ∴ 1
2(∠BAC＋∠ABC)＝45° ∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∠DBC＝12∠ABC ∠PAC＝1
2∠BAC ∴ ∠DBC＋∠PAD＝45° ∴ ∠APB＝∠PDA＋∠PAD ＝∠DBC＋∠C＋∠PAD
＝∠DBC＋∠PAD＋∠C ＝45°＋90°＝135° 22. （本题满分10分）
(1) 解：y＝50000＋200x (2) 解1：设软件公司至少要售出x套软件才能确保不亏本，则有： 700 x≥50000＋200x 解得：x≥100 答：软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本. 解2：每套成本是50000
x＋200 若每套成本和销售价相等则：700＝50000
x＋200 解得：1＝100
x
∴ x＝100 答：软件公司至少要售100套软件才能确保不亏本. 解3：每套成本是50000
x＋200 由题意得：700≥50000
x
＋200 解得：1≥100
x ∴ x≥100 答：软件公司至少要售100套软件才能确保不亏本. 注：第（1）小题的解析式可以不写x的取值范围.
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ADPBC图 6 „„ 5分 „„ 6分 „„ 8分
„„ 9分
„„ 10分
„„ 4分 „„ 7分 „„ 9分 „„ 10分 „„ 5分
„„ 7分
„„ 9分
„„ 10分 „„ 5分
„„ 7分
„„ 9分
„„ 10分
23. （本题满分10分）
(1) 证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ BC＝AB „„ 1分 ∵ ∠CBP＝∠ABE BP＝BE „„ 2分 ∴ △CBP≌△ABE „„ 3分 (2) 证明：∵∠CBP＝∠ABE
∴∠PBE＝∠ABE ＋∠ABP „„ 4分
＝∠CBP＋∠ABP ＝90° „„ 5分
∴ PB⊥BE „„ 6分
（1）、（2）两小题可以一起证明.
证明：∵∠CBP＝∠ABE
∴∠PBE＝∠ABE ＋∠ABP „„ 1分
＝∠CBP＋∠ABP ＝90° „„ 2分
∴ PB⊥BE „„ 3分 以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°，∵ BC＝AB ∠CBA＝∠PBE＝90° BE＝BP ∴△CBP与△ABE重合
∴ △CBP≌△ABE (3) 解：连结PE
∵ BE＝BP ∠PBE＝90° ∴∠BPE＝45° „„ 7分 设 AP为k， 则 BP＝BE＝2k
∴ PE2＝8k2 „„ 8分
∴ PE＝22k ∵∠BPA＝135° ∠BPE＝45° ∴∠APE＝90° „„ 9分 ∴AE＝3 k
在直角△APE中： cos∠PAE＝APAE＝1
3 24. （本题满分12分）
(1) 解：∵点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上 ∴ 2＝(－1)2 －2×(－1)＋m ∴ m＝－1 (2) 解： q1＜q2 (3) 解1：∵ y＝x2－2x＋m
＝(x－1)2 ＋m－1
∴ M (1，m－1) ∵ 抛物线 y＝x2－2x＋m开口向上，
且与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）
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DAPECB图 7„„ 4分 „„ 5分 „„ 6分 „„ 10分
„„ 1分 „„ 2分 „„ 3分 „„ 7分 „„ 8分 ∴ m－1＜0
∵ △AMB是直角三角形，又AM＝MB ∴∠AMB＝90° △AMB是等腰直角三角形 „„ 9分 过M作MN⊥x轴，垂足为N. 则N（1，0） 又 NM＝NA
∴ 1－x1＝1－m
∴ x1＝m „„ 10分 ∴ A (m，0)
∴ m2－2 m＋m＝0 ∴m＝0 或m＝1（不合题意，舍去） „„ 12分 解2：又 NM＝NA＝NB ∴ x2－x1＝2－2m
x2＋x1＝2x1＝m∴xx 解得： 2－1＝2－2mx2＝2－m
∴ A (m，0)
∴ m2－2 m＋m＝0
∴ m＝0 或m＝1（不合题意，舍去） 25. （本题满分12分）
(1) 证明：∵ CD⊥AB „„ 1分
∴∠ABC＝90° „„ 2分 ∴ AC是⊙O1的直径 „„ 3分
(2) ① 证明1：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90° ∴ AD是⊙O2的直径 „„ 4分 ∵ AC＝AD
∵ CD⊥AB ∴CB＝BD „„ 5分 ∵ O1、O2分别是AC、AD的中点
∴ O∥CD且 O1
1O21O2＝2CD＝CB „„ 6分
∴ 四边形O1C BO2是平行四边形 „„ 7分 证明2：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90°
∴ AD是⊙O2的直径 „„ 4分 ∵ AC＝AD
∵ CD⊥AB ∴CB＝BD „„ 5分 ∵ B、O2分别是CD、AD的中点
∴ BO1
2∥AC且 BO2＝2AC＝O1C „„ 6分 ∴ 四边形O1C BO2是平行四边形 „„ 7分 证明3：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90°
∴ AD是⊙O2的直径 „„ 4分 ∵ O1、O2分别是AC、AD的中点
∴ O1O2∥CD „„ 5分 ∵ CD⊥AB ∴ CB＝BD ∴ B是CD的中点
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„„ 10分 „„ 12分 AO1O2CBD图 8AO1O2CBD图 9
∴O2B∥O1C „„ 6分 ∴四边形O1C BO2是平行四边形 „„ 7分 证明4：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90°
∴ AD是⊙O2的直径 „„ 4分 ∵ AC＝AD ∴ O1C＝O2B
∴ ∠C＝∠D ------------------------------------------------ 5分 ∵ O2B＝O2D
∴∠O2B D＝∠D „„∴∠C＝∠O2B D ∴O2B∥O1C „„ 6分 ∴四边形O1C BO2是平行四边形 „„ 7分 ② AE ＞ AB „„ 8分
证明1：当点E在劣弧MC︵上(不与点C重合)时， ∵ AC＝AD ∴ ∠ACD＝∠ADC
∴ ∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝∠AFB
∴ AE＝AF 记AF交BD为G ∵ AB⊥CD
∴ AF＞AG＞AB 当点E与点C重合时，AE＝AC＞AB
当点E在劣弧CB︵
上 (不与点B重合) 时，设AE交CD与H， AE＞AH＞AB 综上，AE＞AB.
证明2：当点E在劣弧MC︵
上(不与点C重合)时， 连结EC、DF ，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD＝90° ∠EAC＝∠EBC＝∠DBF＝∠DAF
∵ AC＝AD 直角△AFD≌直角△AEC
∴ AE＝AF 证明3：当点E在劣弧MC︵
上(不与点C重合)时，
连结EC、DF ，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD＝90° ∵ ∠DBF＝∠DAF ∴∠ADF＋∠DBF＝90° 又∵ ∠DBF＝∠EBC ∠ABE＋∠EBC＝90° ∴ ∠ADF＝∠ABE
∵ ∠ABE＝∠ACE ∴∠ADF＝∠ACE ∵ AC＝AD ∴ 直角△AFD≌直角△AEC
∴ AE＝AF 26. （本题满分13分）
解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m (1) 当n＝1时， s＝5
4
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AMEO1O2CBFD图 10 „„ 9分 „„ 10分 „„ 11分 „„ 12分
„„ 9分
„„ 9分
„„ 1分
2s5
∴ a＝＝
n2
„„ 3分
(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP
∴△OPA是等腰直角三角形 „„ 4分 a
∴ m＝n＝ „„ 5分
2n41∴ 1＋＝·an
42
即n4－4n2＋4＝0 „„ 6分 ∴ k2－4k＋4＝0
∴ k＝2 解2：∵ OP＝AP PA⊥OP
∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n 设△OPQ的面积为s1 则：ss
1＝2 11n4∴ 2·mn＝2(1＋4
) 即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0
∴ k＝2 (3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则
s1PO2s＝AO2 1kn2k2 即：2＋n
2n4 ＝n4 1＋44 (1＋)2
4
n
2化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ＝2或k＝n4
∴k2(舍去) ∴当n是小于20的整数时，k＝2. ∵ OP2
＝n2
＋m2
＝n2
＋k2
n
2又m＞0，k＝2，
∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5 当n＝2时，OP2＝5
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„„ 7分 „„ 4分 „„ 5分 „„ 6分 „„ 7分 „„ 8分 „„ 9分
„„ 10分
4485
当n＝3时，OP2＝32＋2＝9＋＝ „„ 11分
399当n是大于3且小于20的整数时，
即当n＝4、5、6、„、19时，OP2得值分别是： 444442＋2、52＋2、62＋2、„、192＋2 45619∵192＋
44422
2＞18＋2＞„＞3＋2＞5 „„ 12分 19183
∴ OP2的最小值是5. „„ 13分
解2： ∵ OP2
＝n2
＋m2
＝n2
＋k2
n
2 ＝n2
＋22
n
2
＝(n－2
n)2 ＋4 当n＝2
n
时，即当n＝2时，OP2最小；
又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ∴ OP2的最小值是5. 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ
PQQA＝OQ
PQ
na－m＝m
n
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝n4
2(舍去) 解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ
s1OQ2
s－s＝1PQ
2 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ＝2或k＝n4
∴k2(舍去) 解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴
OPOA＝OQ
OP
∴ OP2＝OQ·OA
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 第 13 页 共 14 页
„„ 11分 „„ 12分 „„ 13分 „„ 8分 „„ 9分
„„ 10分
„„ 8分 „„ 9分
„„ 10分
„„ 8分 „„ 9分
（k－2）（2k－n4）＝0
n4
∴k＝2或k＝(舍去) „„ 10分
2
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