图形折叠型问题解法浅析

图形折叠型问题解法浅析

折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。下面我们一起来探究这种题型的解法。

折叠的规律是:折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。 1.（2000，福建福州试卷）

如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，则 ∠DAE=___。 D

A 答案：A，15°

分析 根据折叠的规律：可证△ADE≌△AFE,从而

E

∠DAE=∠FAE=(90°-60°)÷2=150

A.15° B.30° C.45° D.60° B F C

2.（济南市2000年中考试题）

如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG. D C 答案：AG =

51 2 A A1 分析 折叠后的图形（如图一）， 设A点落在BD上的位置为A1，

则 A 点关于直线 DG 的对称点为点 A1， 连结 A1G，（如图二）

可知△ADG ≌ △A1DG，AG = A1G， AD = A1D。∵矩形ABCD，AB = 2， BC = 1，∴BD =2212=5， BA1 =

G

如图一

D

A1 B

C

5–1，∵∠ BA1G = ∠ A = 90°。

A

G 如图二

B

设AG = A1G= X，在Rt△BA1G中，

利用勾股定理列出方程：x2 +(5–1)2 = ( 2 – x )2,

∴ x =

5151，即：AG =. 22E A 2 F 1 D

3.（2002，宁夏回族自治区 ）如图将矩形纸片ABCD沿直线BD 折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示）将得到的所有 全等三角形（包括实线虚线在内）用符号写出来. 答案：

△ABD≌△CDB △DBE≌△BDA △DBC≌△DBE △ABF≌△EDF

（如图∠1=∠2，∠A=∠E，AB=ED，所以△ABF≌△EDF）

B C

4.（2004黑龙江哈尔滨市）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠A<∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于_____.

A 答案：30°

解析：

根据折叠规律：可知△CMA≌ △CMD，

D M ∴ ∠ 1 = ∠ 2，∵CM为斜边AB的中线，

∴ CM = AM ，∴ ∠ A= ∠ 1。设∠ A= x

∵ CD ⊥ AB于点E ，∴∠ A+ ∠ 1+∠ 2=90°

2 1 E ∴ x + 2x = 90°，

∴ x = 30°，即∠A = 30°。 B C

同类变式：

5.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm , 求EC的长. 答案：3cm。 A D 分析：设，EC=x,则EF=DE=8-x 在Rt△ABF中，AF=AD=10， AB=8，所以BF=6，FC=4 E 在Rt△EFC中，由勾股定理，得，

8x2x216

解得x=3(cm)

B F C

6.用一张矩形纸，如图，矩形ＡＢＣＤ纸对折，设折痕为ＭＮ，再把Ｂ点叠在折痕线上，得到Rt△ＡＢＥ，沿着ＥＢ线折叠，得到△ＥＡＦ（如图二）。判断△ＥＡＦ的形状。 答案：△ＥＡＦ为等边三角形。

C E E C

B C

B P B P Ｎ Ｎ Ｍ Ｎ 3 3 4 2 2 4 1 1 A D A D F AD F

如图一 如图二 如图三

分析：根据图一折叠情况，可知，N为CD中点，PN//AD

∴点P是AE的中点，

∴在Rt△ABE中，PA=PB ∴∠ 2 = ∠ 3

又∵PN//AD ∴ ∠ 1 = ∠3 根据折叠规律（图三）：∠4= ∠ 2 ∴∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 4=30° ∴∠ EAF=60°=∠ AEF ∴△ＥＡＦ为等边三角形。

练习

1. （03海淀）如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与12之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A. A12 B. 2A12 C. 3A212

D. 3A2(12)

2．（03绍兴）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以

DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ C ）

A．4

B．6

C．8

D．10