我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。
例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：
5+7×8+12÷4-2＝20。
分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。
从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。 解：5+（7×8+12）÷4-2=20。
例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：
分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：
2×3＝6或2×4＝8，
所以应当从乘法算式入手。
因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。
若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；
若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：
4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；
1
1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。 所以答案为
例3 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立：
□□□÷□□=□-□=□-7。
分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解：
128÷64=5-3=9-7，
或 164÷82＝5-3＝9-7。
例4 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：
□+□=6， □×□=8， □-□=6， □□÷□=8。
分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为1＋5，乘式为2×4； （2）加式为2+4，乘式为1×8。
对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；
2
对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。答案如下：
2＋4＝6， 1×8＝8， 9－3＝6， 56÷7＝8。
例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。
例5 从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：
[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。
分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为： [A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。
通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到
[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。
练习9
1．在下面的算式里填上括号，使等式成立： （1）4 × 6 + 24 ÷ 6 – 5 =15； （2）4 × 6 + 24 ÷ 6 - 5 =35； （3）4 × 6 + 24 ÷ 6 – 5 =48； （4）4 × 6 + 24 ÷ 6 – 5 ＝0。
2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立： 1 2 3 4 5 ＝100。
3
3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）： □+□=□， □-□=□， □×□=□□。
4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立： 4□4□4□4＝1， 4□4□4□4＝3， 4□4□4□4＝5， 4□4□4□4＝9。
5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立： □+□-□=□×□÷□。
6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值： □□□×□□□×□□□。
7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。
第10讲 数字谜（二）
例1 把下面算式中缺少的数字补上：
分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。
4
（1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。
（2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。
（3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。 所求算式如右式。
由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。
例2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：
分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。 从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。
如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。
如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。 满足条件的解如右式。
5
（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。
满足条件的算式如右下式。
例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。
例3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。
分析与解：由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。 下面采用逐一试验的方法求解。
（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。被乘数为444444÷2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。 （2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。 （3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。666666÷4得不到整数商，不合题意。
（4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。被乘数为999999÷7＝142857，符合题意。
6
（5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。 所以，被乘数是142857。
例4 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。
分析与解：为清楚起见，我们用A，B，C，D，…表示□内应填入的数字（见右上式）。
由被乘数大于500知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。若C＝5，则有 6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，
不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。 右式为所求竖式。
此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。
例5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。
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分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。
此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。
例6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。
分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为
。
因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。
8
因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两位数，所以除数≤12。推知除数只能是12。被除数为9807×12＝117684。
除法算式如上页右式。
练习10
1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：
2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问：“小”代表什么数字？
3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。求出下列各式：
4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。这些算式中各字母分别代表什么数字？
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第11讲 归一问题与归总问题
在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。
例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计） 分析：以一根钢轨的重量为单一量。 （1）一根钢轨重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根钢轨？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。 答：可以制造200根钢轨。
例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。 （1）1头奶牛1天产奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
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（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。 答：可产牛奶2160千克。
例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。 （1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
25600÷320÷8=10（时）。
综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。 （1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？
336÷4÷7=12（吨）。
（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？
420÷12÷5＝7（辆）。
（3）需要增加多少辆卡车？
7-4＝3（辆）。
综合列式为
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。
11
与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？ 15×8＝120（时）。
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
120÷12＝10（时）。
解：15×8÷12＝10（时）。 答：12人需10时完成。
例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。 （1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4时到达，每小时需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。 答：每小时需要多行15千米。
例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？ 分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。
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（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？ 4800-60×20=3600（劳动日）。
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？ 3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
练习11
1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？
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4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？
第12讲 年龄问题
年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。
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根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。
例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是
30＋5=35（岁）。
例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是
（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。
由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。 例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
分析与解：根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到 弟今年6＋4＝10（岁）， 兄今年10＋5＝15（岁）。
例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？
分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因
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为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。 由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为
55÷(3+2)×3=33(岁)。
例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，
兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁）， 妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。
例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？ 分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。
父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由
1段＋12岁=2段＋3岁，
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推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于
1994——36＝1958（年）。
例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？
解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。
事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），
父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。
解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。
20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由
1段＋20=2段＋10，
求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。 例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
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练习12
1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？
2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？
3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？
5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？
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6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？
8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？
第13讲 鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
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有鸡16-6＝10（只）。 答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只）， 有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？ 分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
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买普通文化用品 24÷8=3（套）， 买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只）， 有鸡100——30=70（只）。 答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？ 分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个）， 大瓶有50-30＝20（个）。 答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。 答：这批钢材有720吨。
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例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？ 分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。 答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
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3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？
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8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？
第14讲 盈亏问题与比较法（一）
人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？
分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为
4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人）， 4×15＋9＝69（粒）。
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答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？
分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。 解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人）， 3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式： 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。 例3 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？
分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16——10＝6（粒）。由盈亏问题的公式得
有小朋友（0＋16×3）÷（16——10）＝8（人）， 有 糖10×8＝80（粒）。
下面的几道例题是购物中的盈亏问题。
例4 一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？
分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元），两次分配数之差是10——7＝3（元）。由公式得到
小朋友的人数（8＋4）÷（10——7）＝4（人），
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东西的价格是10×4——8＝32（元）。
例5 顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？
分析与解：买5本多3元，买7本少1.8元。盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7——5＝2（本）书，因此每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱
2.4×5＋3＝15（元）。
例6 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？
分析：本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元。从买7把变成买5把，少买了7——5=2（把）提琴，而钱的差额减少了110——30＝80（元），即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。 解：（110——30）÷（7——5）＝40（元）， 40×7——110＝170（元）。
答：小提琴40元一把，王老师带了170元钱。
练习14
1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？
2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？
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3．学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？
4．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？
5．红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？
6．某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。
7．某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？
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8．同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？
第15讲 盈亏问题与比较法（二）
有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。
例1 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？
分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6＋9=15（人），两次分配的差为9——6＝3（人）。 解：（6＋9）÷（9——6）＝5（条）， 6×5＋6=36（人）。 答：有36名学生。
例2 少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？
分析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。这样就变成了“典型”的盈亏问题。盈亏总额为4＋3＝7（个）坑，两次分配数之差为6——5＝1（个）坑。 解：[3＋（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人） 5×7＋3＝38（个）。 答：一共要挖38个坑。
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例3在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？ 分析与解：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16——6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折），所以 桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）。
例4有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有多少个？
分析与解：容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨。如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；
有梨15×2-4＝26（个）。
例5乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？
分析与解：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×8＝400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50＋10）×5＝300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差
400＋300＝700（米）。
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两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为
700÷10＝70（分），
也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为
50×（2＋70＋8）＝4000（米），
或 50×2＋60×（70——5）＝4000（米）。
例6王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？
分析与解：每天加工20个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工20个零件；改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（20＋5）×3＝75（个）。盈亏总额为75——20＝55（个）。两种加工的速度比较，每天相差5个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是55÷5＝11（天），计划时间为11＋4＝15（天），这批零件共有20×（15——1）＝280（个）。
练习15
1.筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑。问：这条路共有多长？
2.小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。问：小红家买来多少只桔子？小红家共有几人？
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3.食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。
4.李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
5.用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余7米；如果把绳子5折垂到水面，余1米。求绳长与井深。
6.老师给幼儿园小朋友分苹果。每两人三个苹果，多两个苹果；每三人五个苹果，少四个苹果。问：有多少个小朋友？多少个苹果？
7.小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分钟；如果每分钟走80米，那么将提前3分钟。小明家距学校多远？
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第16讲 数阵图（一）
我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2， 8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有下面八种不同填法：
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上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。 例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。
与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。
例3将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。
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分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：
按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。
例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条
证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k。如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有 九数之和+中心方格中的数×3=4k， 3k+中心方格中的数×3=4k，
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注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用。
在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。
例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178。两个质数之和为178的共有六组： 5+173＝11＋167 ＝29＋149＝41＋137 ＝47+131＝71+107。
经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。
练习16
1.将九个连续自然数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。
2.将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方。
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3.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方。
4.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。
5.将右图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。
6.将九个质数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
7.求九个数之和为657的三阶质数幻方。
第17讲 数阵图（二）
例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。
因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有
证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。
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根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c，
2c＝a＋b， a＋b c＝2。
值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。
例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。
例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为
38
（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得右下图的填法。
例5在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）。因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等，所以，
“中心数”＝（10＋6）-9＝7。
其它依次可填（见右下图）。
由例3～5看出，在解答3×3方阵的问题时，上讲的例4与本讲的例2很有用处。
练习17
1.在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
2.在右上图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。
39
3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x。
4.在左下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。
5.在右上图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
第18讲 数阵图（三）
数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。
例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有
40
5＋19＝7＋17＝11＋13，
于是得到下图的填法。
例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。
例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。 例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
41
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。
例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（45-a）， 2k＝45-a。
2k是偶数，45－a也应是偶数，所以a必为奇数。 若a＝1，则k＝22； 若a＝3，则k＝21； 若a＝5，则k＝20； 若a＝7，则k＝19； 若a＝9，则k＝18。
因为k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合条件。
42
由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三个数之和等于10的有三组： 10＝1＋3＋6 ＝1＋4＋5 ＝2＋3＋5，
将这三组数填入9所在的三个面上，可得右图的填法。
练习18
1.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等。
2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内，使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18。
3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1，2，3，4。
4.将1～8填入右上图的八个空格中，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。
43
5.20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。
6.在左下图的七个○内各填入一个质数，使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等，且为尽量小的质数。
7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。
19讲 乘法原理
让我们先看下面几个问题。
例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有
3×2＝6（种）。
例2从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
44
分析与解：用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。
共有下面12种走法： A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A1B1C2 A1B2C A1B3C2 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2
事实上，从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有
2×3×2＝12（种）。
以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有
N＝m1×m2×…×mn
种不同的方法。
从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
例3用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。根据乘法原理，可以组成三位数
45
5×6×6＝180（个）。
例4如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
分析与解：将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步。 先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法
5×4×3×3×2＝360（种）。
例5求360共有多少个不同的约数。 分析与解：先将360分解质因数，
360＝2×2×2×3×3×5，
所以360的约数的质因数必然在2，3，5之中。为了确定360的所有不同的约数，我们分三步进行：
第1步确定约数中含有2的个数，可能是0，1，2，3个，即有4种可能；
第2步确定约数中含有3的个数，可能是0，1，2个，即有3种可能； 第3步确定约数中含有5的个数，可能没有，也可能有1个，即有2种可能。
根据乘法原理，360的不同约数共有
4×3×2＝24（个）。
由例5得到：如果一个自然数N分解质因数后的形式为
46
其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…，nl都是自然数，则N的所有约数的个数为：
（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。
利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。例如，11088＝2×3×7×11，11088共有不同的约数
4
2
（4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（个）。
例6有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？
分析与解：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有2＝512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。
9
练习19
1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？
2.四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？
47
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
4.在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的放法？
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
6.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
7.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
48
8.504有多少个不同的约数？
第20讲 加法原理（一）
例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。 例2旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可以表示出不同的信号
3＋6=9（种）。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件
49
事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？ 分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
例4用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
分析与解：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。 当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×3＝180（种）。
当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有
180＋240=420（种）。
例5用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。
50
连续五位是1，只有11111一种；
中任一个，所以有3＋3＝6（种）；
3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
由加法原理，这样的五位数共有
1＋6＋33＝40（种）。
在例5中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使用的都是加法原理。
例6右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？
分析与解：如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）。
51
实际上，小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况： 向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线； 同理，向右也有6条路线；
向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；
同理，向下也有4条路线。
根据加法原理，共有不同的爬行路线
6＋6＋4＋4＝20（条）
练习20
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？
52
5.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同
的染色方法？
6.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
7.下图中每个小方格的边长都是1。有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？
第21讲 加法原理（二）
我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。可是对有些题目来说，这样做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。
53
例1小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
例2在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？
分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法（此处a＝6），到F点有b种走法（此处b＝4），根据加法原理，到D点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35条不同路线。
例3左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？
54
分析与解：本题可以同例2一样从A标到B，也可以将从A到B分为三段，先是从A到C，再从C到D，最后从D到B。如右上图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有
3×4×6＝72（条）。
例4沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？
分析与解：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到F点的走法数，最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。
例5有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
分析与解：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。
注意，因为每次取2或3根，所以取1根的方法数是0，取2根和取3根的方法数都是1。取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和，即0＋1＝1。依此类推，取n根火柴的方法数是取（n-3）根与取（n-2）根的方法数之和。所以，这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都
55
是它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取法。
练习21
1.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
2.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？
3.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，
4.在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？
5.左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路线有多少条？
56
6.右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？
练习22
1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？
2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。
3.在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？
57
4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？
5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？
6.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？
桔子。问：树上原来有桔子多少个？
58
8.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？
第三届“走进美妙数学花园”决赛四年级试题
共12道题，每题10分。
1、33×34+34×35+35×36+36×37=（ ）
2、李东到商店买练习本 每本3角，共买9本，服务员问：“你有零钱吗？”李东说．“我带的全是5角一张的。”服务员说．“真不巧，您没有2角一张的，我的零钱全是2角一张的这怎么办？”你帮李东想一想，他至少应该给服务员（ ）张5角币。
3、幼儿园的老师给班里的小朋友送来40个橘子，200块饼干，120块奶糖，平均分发完毕，还剩4只橘子，20铁饼于，12粒奶糖，这班里其有（ ）位小朋友。
4、有一家三口，爸爸比妈妈大3岁，他们全家今年的年龄加起来正好是58岁，而5年前他们全家人年龄加起来正好是45岁，小孩子今年（ ）岁。
5两个长方形如下图摆放，阴影三角形面积=（ ）。
6、北京有—家餐馆，店号“天然居”，里面有一副著名对联：客上天然居，居然天上客。巧的很，这幅对联恰好能构成—个乘法算式（见下图）相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“天然居”表示成三位数是（ ）。
59
7、一个四位数给它加上小数点后比原来小2346.3，那么原四位数是（ ）。 8、用同样大小的木块堆成了如图所示的形状，这里共用了（ ）个木块。
9、下面图中有9个围棋子围成一圈，现将同色的相邻两子之间放入一个白子，在不同色的相邻两子间放入一个黑子，然后将原来的9个棋子拿掉，剩下新放入的9个棋子如右图，这算一次操作，如果继续这样操作下去，在一圈的9个子中最多有（ ）个黑子。
10、在1989后面写一串数字，从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字，这样得到1 9 8 9 2 8 6 8 4 2……，那么，这串数字中，前2005个数字的和是（ ）。
11、在下图的5×5方格表的空白处填人1—5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各不相同。
60
12、 甲、乙二人轮流在下图的10个方格中，甲画“○”，乙画“×”，甲胜的情况是：最后一行有4个“○”或者其他的直线上有3个“○”；乙胜的情况是：最后一行有4个“×”或者其他的直线上有3个“×”，甲先画，他要取胜，第一步应真在标号为（ ）的方格中。（至少写出2种〕
第四届“走进美妙数学花园”决赛四年级试题
共12题，每题10分
1、计算：110+111+112+……+126=（ ）。
2、在一个3×3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余每格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子。去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中仍有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。
3、下图是一座迷宫，请画出任意一条从A到B的通道。
61
4、沿格线把右图分成形状大小都一样的四块。用不同的阴影表示。
5、有一道关于蜗牛爬墙的题：“日升六尺六，夜降三尺三。墙高一丈九，几日到顶端”。蜗牛第（ ）天产首次到顶端。
6、每只完整的螃蟹有2只螯、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只螯，120只脚。其中可能有一些缺螯少脚的，但每只螃蟹至少保留1只螯、4只脚。这批螃蟹至多有（ ）只，至少有（ ）只。
7、如图，长方形ABCD中有一个正方形EFGH，且AF=16厘米，HC=13厘米，长方形ABCD的周长为（ ）厘米。
8、下图是常见的正方体，我们可以看到三面，共有3×9=27个边长为1的正方形。在这三面上有三条“蛇”。每条由5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上。每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点）。请将这三条蛇画出来。（用阴影将蛇所在的正方形画出来）
62
9、如图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表。每个格子中填入1～9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3×3的小方格表中也只出现一次。10个“☆”处所填数的总和是（ ）。
10、奶糖每千克24元，水果糖每千克18元。买两种糖果花了同样多的钱，但水果糖比奶糖多4千克。水果糖（ ）千克，奶糖（ ）千克。
11、如图：请在右图每个方框中填入一个不是8的数字，使乘法版式成立。
12、30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳（ ）次才能落在黑珠子上。
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答案：1、2006 2、如图：
3、只要走出来就行 4、如图：
5、5 6、25， 15 7、58 8、如下图：
9、46 10、16， 12 11、978×85=83130 12、7
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第五届“走进美妙数学花园”决赛四年级试题
填空题（共12题，第1～4题每题8分） 1、计算：2007-7×11×13×2=（ ）。
2、有7个数：5，17，19，37，39，46，66，从中挑选几个，和为100，至少挑选（ ）个。
3、下图中，从第二层（从下往上数）起，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填的数的和。最上面的方框中填的数是（ ）。
4、王芳大学毕业找工作，她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加300元，以五年计算，王芳应聘（ ）公司工作收入更高。
（第5～8题每题10分）
5、如图所示，大长方形恰被分割为九个互不重叠的正方形。已知最小的两个正方形的边长分别是2厘米和5厘米。那么，大长方形的周长是（ ）厘米。
6、电脑按照指示进行运算：如果数据是偶数，就将它除以2；如果数据是奇数，就将它加3。这样继续进行了三次得出结果为27。原来的数据可能是（填出所有可能）：（ ）。
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7、如图，在“贪吃豆”游戏中，开始时积分为10分。当贪吃豆走到某个宝箱处，就要吃掉那个宝箱，并将积分按照宝箱宝上的要求进行运算。贪吃豆吃掉所有宝箱后才能过关。例如，贪吃豆可以依次吃掉“×2”、“+2”、“÷2”、“+3”、“-2”、“×3”，过关时的积分为36。贪吃豆过关时，积分最多可以为：（ ）。
8、冬季里的一天早上，天下着雪。小明从家出发去上学，由于下雪的缘故，小明留在雪地里的脚印会慢慢消失。小明出发12分钟后，爸爸发现小明忘记带作业本了，便去追小明。又过了5分钟，爸爸开始在路上发现小明留下的脚印；再过了7分钟，爸爸追上了小明。小明的脚印从刚踩下到消失需要（ ）分钟。
（第9～12题每题12分）
9、“美妙的数学花园”这7个字各代表1～7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。如果“学”比“美”大，“美”比“园”大，那么，“园”表示（ ）。
10、如图，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J表示10个各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”。请将表中其它的数全部填好。
11、18个数（可以有相同的）按从小到大的顺序排成一排。前10个数的平均数是28.5,后10个数的平均数是31.2。18个数的平均数为30。第五个数是（ ）。
12、在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为个相邻的。下左图中A有3个相邻的方格，而B有8个相邻的方格。图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如3表示相邻的方格中有3个偶数），每个偶数表示它相邻的方格中，奇数的个数（如4表示相邻的方格中有4 个奇数）。请在下右图的4×4的棋盘中填数（至少有一个奇数），满足上面的要求。
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答案：1、5 2、3 3、2008 4、乙 5、260 6、216，105，102
7、43 8、7 9、2 10、如图
11、285 12、如图（只有这两种答案，旋转翻转算同一种）
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