第四讲 平方差公式

【新知讲解】

1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a—b

平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。

这里a,b可表示一个数、一个单项式或一个多项式。 2.平方差公式的推广： （1）ab22aa2abb2a3b3

223 （2）abaababb3a4b4

（3）abn1an2ban3b2abn2bn1anbn

3．思想方法：

① a、b可以是数，可以是某个式子；

② 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ a2≥0；

⑤ 用公式的变形形式。

【探索新知】

问题导入：ababab成立吗？

221.运算推导：

2.图形理解：

3.平方差公式：abab

a b A组 基础知识

【例题精讲】

例1.利用平方差公式计算：

（1）56x56x （2）x2yx2y （3）mnmn

例2.计算下列各题：

（1）20012001 （2）3x2y3x2y

11 （4）xyzxyz 22（3）2x2x22

（5）59.860.2 （6）2006220052007

例3.用平方差公式进行计算：

（1）204×197 （2）108×112

例4.化简求值： a2b1a2b1其中a598,b987。

例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）ababab22a4b4a8b8

（2）3(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+1 （3）9992

24816

例6. 计算下列各题：（逆用公式）

①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）

②已知 21921可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？

B组 能力提升

1.计算： （1）(-

mnmn

（3）(3x+2y+4)(3x+2y-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)

5542

x-0.7y)( x-0.7y) （2）(a+2)(a+16)(a+4)(a-2) 66

（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)

2.用平方差公式进行计算：

（1）804×796 （2）10007×9993

3.计算（顺用公式）：6(7+1)(7+1)(7+1)(78+1)+1

变式训练1：（1 ：

4.计算（逆用公式）：(x+x+x+1)(x-x+x-1)-(x+x+x+2)(x-x+x-2)

3

2

3

2

3

2

3

2

2411111）（）（）…（）（） 111122421023292

C组 拓展训练

1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²

2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。（希望杯试题）

3.观察下列各式：

x1x1x21 x1x2x1x31 x1x3x2x1x41 x1x4x3x2x1x51

（1）你能否由此归纳出一般性规律x1xn1xn2xn3x2x1 ；

（2）根据（1）求出1222262263的结果.

学校家庭作业

一、 基础闯关

1.计算：

（1）a2a2 （2）3a2b3a2b

（3）x1x1

二、 综合提升

2.计算：

（1）0.2x0.30.2x0.3 （3）14x2y14x2y

三、 真题再现

3.计算：

（1）anbanb

（4）4k34k3 （2）mn3nmn3n （4）x2yxyx （2）a1a1a21

第五讲 完全平方公式

【新知讲解】

1.基本公式：完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b；(a-b)=a-2ab+b. 2222222.完全平方的变形公式：

（1）a2b2ab22ab （2）a2b2ab22ab （3）ab2ab22a22b2

（4）ab2ab24ab 3．思想方法：类同于平方差公式.

【探索新知】

问题导入：ab2a2b2 成立吗？ （一）ab2 1．运算推导：

2．图形理解：

（二）ab2 1. 运算推导：

2. 图形理解：a2b22abbab2

b b

a a

a a b b A组 基础知识

【例题精讲】

例1.利用完全平方公式计算：

（1）a2b （2）mn

22

例2.利用完全平方公式计算

（1）(a+b+c)² （2）(a+b-c)² （3）(a-b-c)²

例3.化简：3x423x43x23x2

22

例4.已知：ab4,ab2.求：（1）a2b2 的值；（2）ab的值。

2

例5．已知x

111=3.（1）求x22的；（2）求x44的值。 xxx

例6.计算下列各题（顺用公式）：

ab

3例7. 计算下列各题（逆用公式）： （1）a26a＿＿= a

2（2）4x21+＿＿=（ )2

（3）已知4x2axy9y2 是一个完全平方式，则a的值为＿＿＿＿。

例8.（变形用公式）：若xz4xyyz0，试探求xz与y的关系。

2B组 能力提升

1.已知：x23x1=0.（1）求:x2114的值；（2）求:的值。 x24xx

2.已知x²+y²-6x-2y+10=0，求

11的值。 xy

3.用完全平方公式进行计算：

（1）2022 （2）2972

4.化简：abcdabcd

22C组 拓展训练

1.配方法：已知：x²+y²+4x-2y+5=0，求x+y的值。

2.若 xy2，x2y24，求 x2002y2002的值。

3.求证：

abcdabcdabcdabcd =4a2b2c2d2

2222

4. 若A＝(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)……(2+1)，则A－1996的末位数字是( )

24864

A.0 B.1 C.7 D.9

5. 若S＝1-2+3-4+……+99-100+101，则S被103除得到的余数是

6.已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值。（天津市竞赛）

2

2

2

2

2

2

2

学校家庭作业

一、 基础闯关

1.计算：

（1）2x3 （2）4x5y

22

12（3）mna （4）2xyx

5

2二、 综合提升

2.用完全平方公式进行计算：

（1）832 （2）9992

（3）x6x2 （4）x3x2x3

22

三、 真题再现

3.已知x²+y²+6x+8y+25=0，求x²-y²的值。

第六讲 整式的综合训练

一．知识点清单

1.幂的性质：（1）aa= a

mmnmn （2） a÷a= a

mnmn （3）(ab)= ab

mmmammnmna （4）m （5）(a)= a

bb2.基本运算：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b

（2）完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b

222222223.整式的乘法：

单项式单项式单项式多项式多项式多项式

二、基本方法：整体代换思想 、公式逆用。 1．代换思想：

232例1 已知：mm20，求：m3m2000的值。

3432xx9x12x3x7x+1999的值是多少？ 变式练习：1. 已知3=1，则

例2 已知：

ab3,bc4，求：a2b2c2abbcca的值。

2abccb的值。

变式练习：已知：ab2,ac1，求：

22

2． 整体代入、逆用公式：

12121xxyy22的值。 例3 已知xy1，求2

22xy12,xy6,求x,y的值。例4 若

abcdabcd例5 计算①

②

22

2x23x122x23x12x23x32x23x322

《整式》A组题专项训练

1.单项式1x2y的系数为 , 3x2y2x1是 次 项式。

22.x2x3 ； (x)x 。 3.(2xy)(2xy) __ ； (2xy) 。 4. 计算：41055106= _； 12(。30)______ _5.若2ab6.若am2223n1与am1b2是同类项，则mn 。

3,an2，则amn 。

7.若x2mx1是一个完全平方式，则m 。 8.若A3ab22212ab,则A= 。 29.已知xy12,xy2，则xy 。

10．若mn10，mn24，则m2n2 . 11．下列各式的计算中正确是 . 110010110 21042701000；

1 30182031 410 1104412.如图，一块半圆形钢板，从中挖去直径分别为x、y的两个半圆：

（1）求剩下钢板的面积：（2）若当x4，y2时，剩下钢板的面积是多少？（取3.14）

《整式》B组题专项训练

221、已知x－(2m+1)xy + 9y是一个完全平方式,则m22m1的值是 2、若a2b225,ab7，且ab，则:

ab

3、已知x23x10，求下列各式的值 （1）x2x2； （2）x4x4； （3）x47x2

14、已知y1x2，求x22xy3y23的值

33

5、已知ab1,b3c2,ca3，求a2b25c2ab3bcca的值

26、已知a,b满足(8a)2452b21b，9a（1）求a2b2的值 （2）计算

3bba27

abababab ab99ab100ab1ababab1ab1ab2

x4x2117、已知x3，求的值 2xx

8、已知：n满足n20042005n1,求n的值

9、已知a,b,c满足a22b7,b22c1,c26a17,则acb的值是多少？

2210、设x2z3y，试判断x9y4z4xz的值是否是定值？（即式子的取值与字母无关）说明你的理由

11、利用完全平方公式解方程：4x212x160

12、一个自然数减去45后是自然数M的平方，这个自然数加上44后是自然数N的平方， （1）求M2N2的值

（2）你能求出这个自然数吗？

13、已知xab,yabab, 且19x2143xy19y22005

abab222求：（1）xy （2）若a2kb2，求k

2214、设ab1,ab2，求a3b3的值

学校家庭作业

校区： 教室： 科目： 学生姓名：_________作业等级：______ 1. （2012浙江省绍兴）下列运算正确的是( )

22222426

A.x+x=x B. x÷x=x C. x·x= x D.（2x）2=6x 2. （2012连云港，3，3分）下列格式计算正确的是

22235826 22

A. （a+1）=a+1 B. a+ a= a C. a÷ a= a D. 3a－2 a= 1 3. (2012山东德州中考)化简：6a63a3= ．

4.（2012南京市）计算（a）（a）的结果是（ ） A.a B.a C.a D.a

5.（2011.苏州中考）若m·23=26,则m=____________;

6.(2012.山东东营)若3x=4，9y=7，则3x-2y=______________.

1.已知2m=8，2n=4，求：

(1). 2m-n的值； (2). 2m+2n的值；

7.若3x=4，3y=6，求92x-y+27x-y的值；

8. 某农科所要在一块长为1.2×105cm,宽为2.4×104cm的实验基地上培养新品种粮食,现培育每种新品种需边长为1.2×104cm的正方形实验田，问这块实验基地最多能培育几种新品种粮食？

xy

9.已知x-2y+1=0，则2÷4 ×8=__________

|x|－1

10.解关于x的方程(x－1)=1.

2

3

4

2

3

2

2

第七讲 整式的乘除检测题

(时间：40分钟 总分：100分) 姓名____________

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在①（－1）0=1； ②（－1）3=－1； ③3a2=

－

1； ④（－x）5÷（－x）3=－x2中，23a正确的式子有（ ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④

2．下列运算错误的是( )

A．x22x23x2 B．2x(x)2x C．(x)x D．6x22x23x2

3．下列各式中，计算结果为81－x2的是（ ）

A．（x+9）（x－9） B．（x+9）（－x－9） C．（－x+9）（－x－9） D．（－x－9）（x－9）

4．计算a5·（－a）3－a8的结果等于（ ）

A．0 B．－2a8 C．－a16 D．－2a16

5．下列式子成立的是（ ）

A．（2a－1）2=4a2－1 B．（a+3b）2=a2+9b2 C．（a+b）（－a－b）=a2－b2 D．（－a－b）2=a2－2ab+b2

6．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ） A．22 B．－22 C．±22 D．0

7．一个长方形的面积为4a2－6ab+2a，它的长为2a，则宽为（ ） A．2a－3b B．4a－6b C．2a－3b+1 D．4a－6b+2

325235

9．应用（a+b）（a－b）=a2－b2的公式计算（x+2y－1）（x－2y+1），则下列变形正确的是（ ） A．[x－（2y+1）] 2 B．[x+（2y+1）] 2

C．[x－（2y－1）][x+（2y－1）] D．[（x－2y）+1][（x－2y）－1]

10．已知m+n=2，mn=－2，则（1－m）（1－n）的值为（ ） A．－3 B．－1 C．1 D．5

二、填空（每小题3分，共30分） 11．计算：（a2b3）2=________．

12．计算：（4m+3）（4m－3）=_________． 13．a2－3a+_______=（a－_______）2．

14．澳洲科学家称他们发现了迄今全世界最小、最轻的鱼．据说这种小型鱼类仅有7毫米长，1毫克重，没有发育出鳍牙齿，寿命仅为两个月，那么600条这种鱼的总质量为___________________千克（用科学记数法表示）． 15．若am=3，an=2，则am+n=_________．

17．有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为______． 18．若x+y=5，x－y=1，则xy=________． 19．计算（－0.25）2006×42006=________．

20．研究下列算式，你能发现什么规律？请运用你发现的规律完成下列填空： 1×3+1=4=22； 2×4+1=9=32； 3×5+1=16=42； 4×6+1=25=52；

第100个等式为：_________________； 三、计算（共40分）

21．计算（每小题6分，共12分）： （1）（－1）2006+（－

1－2

）－（3.14－）0; 2

（2）（2x－3）2－（2x+3）（2x－3）

22．（7分）运用乘法公式进行简便计算：2005-2004×2006

24．（8分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，•规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？•并求出当a=3，b=2时的绿化面积．

2