常系数时滞微分方程的解析

２０１３年６月　江苏教育学院学报（自然科学）　Ｊｕｎ．．２０１３　第２９卷第３期　Ｊｏｕｒｎ￣ｏｆ　Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　ＶｏＩ．２９　Ｎｏ．３　常系数时滞微分方程的解析　程　胜　袁玩贵　（１．安徽省池州市第一中学，安徽池州　２４７１００；　２．江南大学理学院，江苏无锡　２１４０００）　［摘要］　本文针对常系数时滞微分方程所描述的时滞微分系统进行深入研究，在非齐次项为某些特殊函数　时．得到了这类系统的显式解析表达．　［关键词］微分方程；　时滞微分方程；　时滞微分系统．　［中图分类号］　ｏ１７５．１　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１６７１—１６９６（２０１３）０３—００１７—０２　称为微分方程（１）的齐次方程．　一、问题提出　代数方程　考虑系统　ｋ　ｆ　ｋ　Ｉ　∑ａｉＡ　ｅ　＝∑　，　（３）　∑ａｉ　（　＋　）＝∑　＋　）＋ｇ（　），（１）　称为微分方程（１）的特征方程，方程（３）的解Ａ称为　其中０　，　（ｉ＝１，２，…，ｋ），ｂｊ，　（　＝１，２，…，ｆ）为常　微分方程（１）的特征值．　数，ｇ（　）为已知函数（系统输入或控制函数），当ｇ　（　）≠０时称之为方程（１）的非齐次项，ｆ（　）为待求　二、主要结论　的函数（系统输出或系统状态），　¨为函数ｆ（　）的ｉ　定理１　函数　阶导数．　＿厂（　）＝Ｃｅ肌　（４）　称微分方程（１）为常系数时滞微分方程．　是齐次微分方程（２）的解．其中Ａ为微分方程（２）的　在控制科学中，这是一类重要的系统．本文将这　特征值，Ｃ为任意常数．　类系统定义为时滞微分系统．它描述的是系统在不　只需将（４）式代人微分方程（２）即可证明定理　同时间点的状态信息（或输出）及其变化率之间的线　１．　性组合关系．迄今为止，对于这类重要的系统，它的　例如，微分方程　代数形式解（显式解）未有人给出．文献［１］中仅仅得　厂（　＋１）＝，（　）．　（５）　到了这类二阶系统的显式表达，文献［２］利用离散化　特征方程　方法计算出相应系统特征值的近似值，遗憾的是未　Ａｅ　＝１．　（６）　给出这类常系数时滞微分方程的显式解．本文针对　利用ｍａｔｌａｂ软件求解方程（６），可解得方程（５）　非齐次项为常数、指数函数等形式时得到了这类系　的特征根Ａ　０．５６７１．由定理１可得方程（５）的解为　统的显式表达．　）＝Ｃｅ　５６７１ｘ．　（７）　若ｇ（　）＝０，即　１　定理２　若ｇ（　）＝ｃ（ｃ为常数），且记Ｂ＝∑６　Ｚ．ａ　”（　＋　）＝￣ｂｉｆ（　＋卢ｆ），　（２）　非零，则函数　［收稿日期］２０１３—０３—１５　－　［作者简介］程胜（１９７３一），安徽池州人，池州第一中学高级教师，研究方向：中学数学教学与函数论　～１７～　一）＝ｃｅ从一言　（８）　２ａｘ一（０＋２ｂ）　＝ｅ　（０＋１）　＋ｅ　（ｂ＋１）．　为非齐次微分方程（１）的解．其中ｃ为任意常数，Ａ　为方程（１）的特征值．　将（８）式代人（１）式，由定理１易证明定理２．　如非齐次递推微分方程　厂（　＋１）＝厂（　）＋１　的解为　厂（　）：Ｃｅ　５６７１ｘ一１．　再如，微分方程　Ｚ　’（　＋３）一　（　＋２）＋厂（　＋１）＝４ｆ（　＋３）　一３ｆ（ｘ＋２）＋２ｆ（ｘ＋１）＋厂（　）＋３，　（９）　方程（９）特征方程为　２入　ｅ　＾一３Ａ　ｅ　＾＋Ａｅ＾：４ｅ　＾一３ｅ　Ａ＋２ｅ＾＋１．　（１０）　由ｍａｔｌａｂ软件计算的方程（１０）的解Ａ一　１．３２６８．由定理２可得微分方程（９）的解为　）＝Ｃｅ　一÷．叶　　定理３对于微分方程（１），若ｇ（　）＝Ｐ　（　）　（其中Ｐ　（　）为ｍ次多项式，　为常数），则函数　厂（　）＝Ｃｅ　＋Ｑ　（　）　（１１）　为微分方程（１）的解．其中人为（１）的特征值，Ｑ　（ｘ）　为ｍ次多项式，其系数可按下述方法确定．　设ｆ　（　）＝ｑ　（　）　为（１）的特解，代人（１）得　ｋ　ｌ　。　（Ｑ　（　）　）“　Ｑｍ（　＋　）　“　ｘ＝ｘ＋ｃｔｉ　＋Ｐ　（　）　．　（１２）　（１２）式两边同除以　，然后根据等式两边多项　式系数对应相等，可解出Ｑ　（　）中的系数．　如微分方程　厂（　＋１）＝　）＋（　＋１）ｅ一　，　（１３）　令ｆ　（　）＝（ａ　＋ｂ）ｅ　为（１３）的一个特解，代入　（１３）式，整理得　一１８一　（１４）　根据对应项系数相等得　一２ａ＝ｅ　（ｔ／，＋１），　（１５）　一（０＋２ｂ）＝ｅ　（ｂ＋１），　（１６）　联立（１５），（１６）式，解得　一　一　故微分方程（１３）的通解为　ｆｉｘ）：Ｃｅ０．５６７ｈ一　（　＋　）ｅ　＿（１７）　定理４若常系数时滞微分方程　∑Ｏ，ｉ　（　＋Ｏｔｉ）＝∑ｂ￣ｆ（ｘ＋　）＋ｇ　（　）　（１８）　∑６，／ｉ　（　＋Ｏｔｉ）＝∑ｂｉｆ（ｘ＋　）＋ｇ２（　）　（１９）　的特解分别为　（　）　（　），则函数　）＝／　（　）＋／　（　）　（２０）　为常系数时滞微分方程　∑Ｏ；ｉ　Ｄ（　＋％）＝∑６』　＋　）＋ｇｔ（　）＋ｇ２（　）　（２１）　的解．　证明是显而易见的．这个定理表明，常系数时滞　微分方程的解满足叠加原理．　［参考文献］　［１］张学元．一类时滞微分方程的解析解［Ｊ］．纺织高校　基础科学学报，１９９７，（３）．　［２］徐鉴，刘隆．时滞微分方程特征值的近似求解方法　［Ｊ］．振动与冲击，２０１０，（５）．　（责任编辑章飞）