2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第
Ⅱ卷3至6页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。 (1) 设复数z满足
1zi,则z 1z(A)1 (B)2 (C)3 (D)2 (2)sin20cos10cos160sin10
(A)1133 (B) (C) (D)
2222(3)设命题p:nN,n22n,则p为
(A)nN,n22n (B)nN,n2„2n (C)nN,n2„2n (D)nN,n22n
(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的
概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
x2(5)已知Mx0,y0是双曲线C:y21上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若
2MF1MF20,则y0的取值范围是
222223233333(A)3,3(B)6,6(C)3,3(D)3,3
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学 名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有 (A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛
(7)设D为△ABC所在平面内一点,BC3CD,则 (A)AD1414ABAC (B)ADABAC 3333(C)AD4141ABAC (D)ADABAC 3333(8)函数fxcosx的部分图像如图所示,则fx的单调递减区间为
(A)ky113,k,kZ 4413,2k,kZ 44(B)2kO1454x13k,k(C),kZ
44(D)2k13,2k,kZ 44开始(9)执行右面的程序框图,如果输入的t0.01,则输出的 n
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
是输入t12S=1,n=0,m=S=S-mm=m2,m=n+1S>t否输出n结束
(10)x2xy的展开式中,x5y2的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620,则r
(A)1 (B)2
正视图52rr(C)4 (D)8
(12)设函数fxexr2r俯视图2x1axa,其中a1,若存在唯一的整数x0使得
fx00,则a的取值范围是
(A)333333,1 (B), (C), (D),1 2e2e42e42e第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~第(21)题为必考题,每个试题考生都
必须做答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若函数fxxlnxax2为偶函数,则a .
x2y2(14)一个圆经过椭圆1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准
164方程为 .
x1…0y(15)若x,y满足约束条件xy„0,则的最大值为 .
xxy4„0(16)在平面四边形ABCD中,ABC75,BC2,则AB的取值范围是 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分)
2Sn为数列an的前n项和,已知an0,an2an4Sn3.
(Ⅰ)求
an的通项公式;
1,求数列bn的前n项和. anan1(Ⅱ)设bn(18)(本小题满分12分)
如图所示,四边形ABCD为菱形,ABC120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE2DF,AEEC. A(Ⅰ)求证:平面AEC平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. (19)(本小题满分12分)
某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yii1,2,,8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
年销售量/t620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元nEFDBC
x y w xi1ix2 wwii1n2 xxyy wwyy iiiinni1i146.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 1n表中wixi,wwi,
8i1(Ⅰ)根据散点图判断,yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由)?
(Ⅱ)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x,y的关系式为z0.2yx,根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费x49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据
u1,v1u2,v2,,un,vn,其回归直线vu的斜率和
ˆ截距的最小二乘估计分别为ui1nniuviviui1u2ˆu. ˆv,(20)(本小题满分12分)
2x 在直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykxaa0交于M,N两点.
4(Ⅰ)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?说明理由. (21)(本小题满分12分)
2已知函数fxxax1,gxlnx 4(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y(Ⅱ)用min讨论hfx的切线;
m,n表示m,n中的最小值,设函数hxminfx,gxx0,
x零点的个数.
请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图所示,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.
(Ⅰ)若D为AC的中点,求证:DE是O的切线; (Ⅱ)若OA3CE,求ACB的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
CEDABO
在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:x1y21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程; (Ⅱ)若直线C3的极坐标为的面积.
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数
22R,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN4fxx12xa,a0.
(Ⅰ)当a1时,求不等式(Ⅱ)若
fx1的解集;
fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
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