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新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数 知识点汇总及解题规律方法提炼

2021-08-09 来源:乌哈旅游
第七章 复数

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

1.复数的有关概念 (1)复数的定义

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1. (2)复数集

全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集. (3)复数的表示方法

复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.

■名师点拨

对复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

(3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是代数形式.

2.复数相等的充要条件

在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.

3.复数的分类

实数(b=0),

纯虚数a=0, (1)复数z=a+bi(a,b∈R)

虚数(b≠0)非纯虚数a≠0W.

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

■名师点拨

复数bi(b∈R)不一定是纯虚数,只有当b≠0时,复数bi(b∈R)才是纯虚数.

典型应用1 复数的概念

下列命题:

①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;

③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2; ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的命题是( ) A.① C.③

B.② D.④

【解析】 对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即①错误;两个虚数不能比较大小,则②错误;对于③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,则③错误;显然,④正确.故选D.

【答案】 D

判断与复数有关的命题是否正确的方法

(1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.

(2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.

[提醒] 解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质. 典型应用2 复数的分类

m2+m-62

当实数m为何值时,复数z=+(m-2m)i:(1)为实数?(2)

m

为虚数?(3)为纯虚数?

m2-2m=0,

【解】 (1)当即m=2时,复数z是实数.

m≠0,(2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.

m≠0,m2+m-6(3)当=0,即m=-3时,复数z是纯虚数.

mm2-2m≠0,

解决复数分类问题的方法与步骤

(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.

(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.

(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R), ①z为实数⇔b=0; ②z为虚数⇔b≠0;

③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. 典型应用3 复数相等

(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-

m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=( )

A.4或0 C.2或0

B.-4或0 D.-2或0

(2)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________. 【解析】 (1)由z1=z2,得n2-3m-1=-3且n2-m-6=-4,解得m=2,n=±2,所以m+n=4或0,故选A.

(2)因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,

log2(x2-3x-2)>1,x2-3x-2>2,所以即2解得x=-2. 2

log2(x+2x+1)=0,x+2x+1=1,【答案】 (1)A (2)-2

复数相等的充要条件

复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、

虚部与虚部相等列方程(组)求解.

[注意] 在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.

7.1.2 复数的几何意义

1.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的两种几何意义

一一对应

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)←――→复平面内的点Z(a,b). 一一对应→. (2)复数z=a+bi(a,b∈R) ←――→平面向量OZ■名师点拨

(1)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.

(2)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.

(3)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写;复平面内的点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.

3.复数的模

→,则OZ→的模叫做复数z的模或绝对复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2.

■名师点拨

如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(a的绝对值). 4.共轭复数

(1)一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.

(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

--

(3)复数z的共轭复数用z表示,即如果z=a+bi,那么z=a-bi. ■名师点拨

复数z=a+bi在复平面内对应的点为(a,b),复数-z=a-bi在复平面内对应的点为(a,-b),所以两个互为共轭复数的复数,它们所对应的点关于x轴对称.

典型应用1

复数与复平面内的点

已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应

的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).

(1)在实轴上; (2)在第三象限.

【解】 (1)若z对应的点在实轴上,则有 12a-1=0,解得a=2.

(2)若z对应的点在第三象限,则有 a2-1<0,1解得-11

故a的取值范围是-1,2.



[变条件]本例中复数z不变,若点Z在抛物线y2=4x上,求a的值. 解:若z对应的点(a2-1,2a-1)在抛物线y2=4x上,则有(2a-1)2=4(a25

-1),即4a2-4a+1=4a2-4,解得a=4.

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.

(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.

典型应用2

复数与复平面内的向量

在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边

形ABCD的顶点D所对应的复数.

【解】 法一:由复数的几何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则AC的3

中点为2,2,由平行四边形的性质知该点也是BD的中点,设D(x,y),则

x+1

2=2,x=3,

即点D的坐标为(3,3),所以点D对应的复数为3+3i. y+03所以

y=3,

=,22

→=(0,1),OB→=(1,0),OC→=(4,2), 法二:由已知得OA

→=(-1,1),BC→=(3,2), 所以BA

→=BA→+BC→=(2,3),所以OD→=OB→+BD→=(3,3), 所以BD

即点D对应的复数为3+3i.

复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.

典型应用3 复数的模

(1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是

( )

A.-11

B.a<-1或a>1 D.a>0

(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的集合是( )

A.1个圆 C.2个点

B.线段 D.2个圆

【解析】 (1)由题意得a2+22<(-2)2+12,即a2+4<5(a∈R),所以-1(2)由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0, 即|z|=3或|z|=-1, 因为|z|≥0,所以|z|=3,

所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆. 【答案】 (1)A (2)A

求解复数的模的思路

解决复数的模的求解问题,应先把复数表示成标准的代数形式,再根据复数的模的定义求解.

7.2 复数的四则运算

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

1.复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.

(2)加法运算律

对任意z1,z2,z3∈C,有 ①交换律:z1+z2=z2+z1.

②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). ■名师点拨

两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加,虚部与虚部相加.对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.

2.复数加、减法的几何意义

如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)→,OZ→,四边形OZZZ为平行四边形,则对应的向量分别为OZ1212→,与z-z对应的向量是Z→与z1+z2对应的向量是OZ122Z1.

典型应用1

复数的加、减法运算

(1)计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);

(2)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2. 【解】 (1)原式=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i. (2)因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i, 所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,

3+x=5,x=2,所以所以所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-

2-y=-6,y=8,(-8)]i=-1+10i.

解决复数加、减运算的思路

两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算,两个复数相减,也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减).

典型应用2

复数加、减法的几何意义

已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的

复数分别为0,3+2i,-2+4i.

→表示的复数; (1)求AO

→表示的复数. (2)求CA

→=-OA→,

【解】 (1)因为AO

→表示的复数为-(3+2i),即-3-2i. 所以AO

→=OA→-OC→,

(2)因为CA

→表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 所以CA

1.[变问法]若本例条件不变,试求点B所对应的复数.

→=OA→+OC→,所以OB→表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.解:因为OB

所以点B所对应的复数为1+6i.

2.[变问法]若本例条件不变,求对角线AC,BO的交点M对应的复数. 解:由题意知,点M为OB的中点,

1→=1OB→,2,3,则OM由互动探究1中知点B的坐标为(1,6),得点M的坐标为

21

所以点M对应的复数为2+3i.

复数加、减法几何意义的应用技巧

(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算.

(2)复数的加减运算转化为向量运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.

7.2.2 复数的乘、除运算

1.复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有

交换律 结合律 乘法对加法的分配律 ■名师点拨 对复数乘法的两点说明

(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行运算,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).

(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用. 2.复数除法的运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),

z1z2=z2z1 (z1z2)z3=z1(z2z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 z1a+biac+bdbc-ad则z==+i(c+di≠0).

c+dic2+d2c2+d22■名师点拨

对复数除法的两点说明

(1)实数化:分子、分母同时乘以分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.

(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开. 典型应用1 复数的乘法运算

13

(1)(1-i)-+i(1+i)=( )

22A.1+3i C.3+i

B.-1+3i D.-3+i

(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( )

A.5-4i C.3-4i

B.5+4i D.3+4i

(3)把复数z的共轭复数记作-z,已知(1+2i) -z=4+3i,求z. 13

【解】 (1)选B.(1-i)-+i(1+i)

2213

=(1-i)(1+i)-+i

2213

=(1-i2)-+i

2213

=2-+i=-1+3i.

22

(2)选D.因为a-i与2+bi互为共轭复数, 所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. (3)设z=a+bi(a,b∈R),则-z=a-bi,

由已知得,(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复数相等的条件知, 解得a=2,b=1,

所以z=2+i.

复数乘法运算法则的应用

复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将i2换成-1,并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi,(a+bi)3=a3+3a2bi+3ab2i2+b3i3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i.

典型应用2 复数的除法运算

计算:

(1+2i)2+3(1-i)

(1);

2+i(2)

(1-4i)(1+i)+2+4i

.

3+4i

(1+2i)2+3(1-i)-3+4i+3-3i

【解】 (1)=

2+i2+i=

i(2-i)12i

==+i.

5552+i

(1-4i)(1+i)+2+4i5-3i+2+4i7+i

(2)==

3+4i3+4i3+4i(7+i)(3-4i)21-28i+3i+425-25i

===25=1-i.

25(3+4i)(3-4i)

复数除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用,一般将除法写成分式形式,采用分母“实数化”的方法,即将分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母成为实数,再计算.

典型应用3 i的运算性质

(1)复数z=A.1

1-i

,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为( ) 1+i

B.-1

C.i

1+i2 019

(2)等于________. 1-i

D.-i

1-i2

=-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1. 【解析】 (1)z=1+i

2

1+i2 019(1+i)(1+i)2 0192i2 0192 019

(2)==2=i=(i4)504·i3=

1-i(1-i)(1+i)1504·(-i)=-i.

【答案】 (1)B (2)-i

(1)i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*). (2)记住以下结果,可提高运算速度. ①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i. 1-i1+i

②=-i,=i. 1+i1-i1

③i=-i. 典型应用4

在复数范围内解方程

在复数范围内解下列方程. (1)x2+5=0; (2)x2+4x+6=0.

【解】 (1)因为x2+5=0,所以x2=-5, 又因为(5i)2=(-5i)2=-5, 所以x=±5i,

所以方程x2+5=0的根为±5i. (2)法一:因为x2+4x+6=0, 所以(x+2)2=-2,

因为(2i)2=(-2i)2=-2, 所以x+2=2i或x+2=-2i, 即x=-2+2i或x=-2-2i,

所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±2i. 法二:由x2+4x+6=0知Δ=42-4×6=-8<0, 所以方程x2+4x+6=0无实数根.

在复数范围内,设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0), 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0, 所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0, 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0, a2-b2+4a+6=0,所以

2ab+4b=0,又因为b≠0,

a2-b2+4a+6=0,所以

2a+4=0,解得a=-2,b=±2. 所以x=-2±2i,

即方程x2+4x+6=0的根为x=-2±2i.

在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法

-b±b2-4ac

①当Δ≥0时,x=.

2a-b±-(b2-4ac)i

②当Δ<0时,x=.

2a(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.

7.3* 复数的三角表示

1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式,→所在射线(射线OZ→)

其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量OZ为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角,我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ

的值为辐角的主值,通常记作argz.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.

■名师点拨

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍. (2)复数0的辐角是任意的.

(3)在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,且0≤argz<2π.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 2.复数三角形式的乘、除运算

若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,则 (1)z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2) =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. z1r1(cos θ1+isin θ1)(2)z=

2r2(cos θ2+isin θ2)r1=r[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].

2

即:两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.

两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

典型应用1

复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式

把下列复数的代数形式化成三角形式: (1)3+i; (2)2-2i.

【解】 (1)r=3+1=2,因为3+i对应的点在第一象限, π3

所以cos θ=2,即θ=6, ππ

所以3+i=2cos+isin.

66

2

(2)r=2+2=2,cos θ=2,

又因为2-2i对应的点位于第四象限, 7π

所以θ=4.

7π7π

. 所以2-2i=2cos+isin

44

复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)先求复数的模. (2)决定辐角所在的象限. (3)根据象限求出辐角. (4)求出复数的三角形式.

[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角,常取它的主值这既使表达式简便,又便于运算,但三角形式辐角不一定取主值.

角度二 三角形式化为代数形式

分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示成代数形式. ππ

(1)4cos +isin ;

663

(2)2(cos 60°+isin 60°); ππ

(3)2cos -isin .

33

πππ

【解】 (1)复数4cos +isin 的模r=4,辐角的主值为θ=6.

66ππππ

4cos +isin =4cos 6+4isin 6

66

31=4×2+4×2i =23+2i.

33

(2)2(cos 60°+isin 60°)的模r=2,辐角的主值为θ=60°. 33133(cos 60°+isin 60°)=×+×22222i

33=4+4i.

ππ

(3)2cos -isin 

33

ππ

=2cos2π-+isin2π-

3355

=2cos3π+isin 3π.



5所以复数的模r=2,辐角的主值为3π. 5555

2cos 3π+isin 3π=2cos 3π+2isin 3π 13=2×2+2×-i

2=1-3i.

复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)必须满足“模非负、余正弦、+相连、角统一、i跟sin”,否则就不是三角形式,只有化为三角形式才能确定其模和辐角,如本例(3).

典型应用2

复数三角形式的乘、除运算

计算:

4455

(1)8cos 3π+isin3π×4cos 6π+isin6π;



(2)3(cos 225°+isin 225°)÷[2(cos 150°+isin 150°)]; ππ(3)4÷cos +isin .

44

4455

cos π+isinπcos π+isin【解】 (1)8 33×466π5544

=32cos3π+6π+isin3π+6π

1313

=32cos 6π+isin 6π

ππ

=32cos +isin 

66

31=32+i

22=163+16i.

(2)3(cos 225°+isin 225°)÷[2(cos 150°+isin 150°)] 3=[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]

26=2(cos 75°+isin 75°) 66-26+2=2+i

446-236+23=8+8i =

3-33+34+4i.

ππ

(3)4÷cos +isin 

44

ππ

=4(cos 0+isin 0)÷cos +isin 

44ππ

=4cos-+isin-

44=22-22i.

(1)乘法法则:模相乘,辐角相加. (2)除法法则:模相除,辐角相减.

(3)复数的n次幂,等于模的n次幂,辐角的n倍. 典型应用3

复数三角形式乘、除运算的几何意义

在复平面内,把复数3-3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向

π

旋转3,求所得向量对应的复数.

31

【解】 因为3-3i=23-i

221111

=23cos 6π+isin 6π



1111ππ

所以23cos 6π+isin 6π×cos +isin 

33ππ1111

=23cosπ++isinπ+

33661313

cos π+isin =23 66πππ

=23cos +isin 

66=3+3i,

1111ππ

23cos 6π+isin 6π×cos-+isin-

33ππ1111=23cosπ-+isinπ-

336633

cos π+isin =23 22π=-23i.

π

故把复数3-3i对应的向量按逆时针旋转3得到的复数为3+3i,按顺时π

针旋转得到的复数为-23i.

3

→,OZ→,然后把

两个复数z1,z2相乘时,先分别画出与z1,z2对应的向量OZ12→绕点O按逆时针方向旋转角θ(如果θ<0,就要把OZ→绕点O按顺时针向量OZ1221→,OZ→表示的复数就方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量OZ是积z1z2.

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