7.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.复数的有关概念 (1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1. (2)复数集
全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集. (3)复数的表示方法
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
■名师点拨
对复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是代数形式.
2.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
3.复数的分类
实数(b=0),
纯虚数a=0, (1)复数z=a+bi(a,b∈R)
虚数(b≠0)非纯虚数a≠0W.
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数bi(b∈R)不一定是纯虚数,只有当b≠0时,复数bi(b∈R)才是纯虚数.
典型应用1 复数的概念
下列命题:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2; ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的命题是( ) A.① C.③
B.② D.④
【解析】 对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即①错误;两个虚数不能比较大小,则②错误;对于③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,则③错误;显然,④正确.故选D.
【答案】 D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
(2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.
[提醒] 解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质. 典型应用2 复数的分类
m2+m-62
当实数m为何值时,复数z=+(m-2m)i:(1)为实数?(2)
m
为虚数?(3)为纯虚数?
m2-2m=0,
【解】 (1)当即m=2时,复数z是实数.
m≠0,(2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
m≠0,m2+m-6(3)当=0,即m=-3时,复数z是纯虚数.
mm2-2m≠0,
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R), ①z为实数⇔b=0; ②z为虚数⇔b≠0;
③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. 典型应用3 复数相等
(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-
m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=( )
A.4或0 C.2或0
B.-4或0 D.-2或0
(2)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________. 【解析】 (1)由z1=z2,得n2-3m-1=-3且n2-m-6=-4,解得m=2,n=±2,所以m+n=4或0,故选A.
(2)因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
log2(x2-3x-2)>1,x2-3x-2>2,所以即2解得x=-2. 2
log2(x+2x+1)=0,x+2x+1=1,【答案】 (1)A (2)-2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、
虚部与虚部相等列方程(组)求解.
[注意] 在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.
7.1.2 复数的几何意义
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的两种几何意义
一一对应
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)←――→复平面内的点Z(a,b). 一一对应→. (2)复数z=a+bi(a,b∈R) ←――→平面向量OZ■名师点拨
(1)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.
(2)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写;复平面内的点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.
3.复数的模
→,则OZ→的模叫做复数z的模或绝对复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2.
■名师点拨
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(a的绝对值). 4.共轭复数
(1)一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
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(3)复数z的共轭复数用z表示,即如果z=a+bi,那么z=a-bi. ■名师点拨
复数z=a+bi在复平面内对应的点为(a,b),复数-z=a-bi在复平面内对应的点为(a,-b),所以两个互为共轭复数的复数,它们所对应的点关于x轴对称.
典型应用1
复数与复平面内的点
已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应
的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上; (2)在第三象限.
【解】 (1)若z对应的点在实轴上,则有 12a-1=0,解得a=2.
(2)若z对应的点在第三象限,则有 a2-1<0,1解得-11 故a的取值范围是-1,2. [变条件]本例中复数z不变,若点Z在抛物线y2=4x上,求a的值. 解:若z对应的点(a2-1,2a-1)在抛物线y2=4x上,则有(2a-1)2=4(a25 -1),即4a2-4a+1=4a2-4,解得a=4. 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 典型应用2 复数与复平面内的向量 在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边 形ABCD的顶点D所对应的复数. 【解】 法一:由复数的几何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则AC的3 中点为2,2,由平行四边形的性质知该点也是BD的中点,设D(x,y),则 x+1 2=2,x=3, 即点D的坐标为(3,3),所以点D对应的复数为3+3i. y+03所以 y=3, =,22 →=(0,1),OB→=(1,0),OC→=(4,2), 法二:由已知得OA →=(-1,1),BC→=(3,2), 所以BA →=BA→+BC→=(2,3),所以OD→=OB→+BD→=(3,3), 所以BD 即点D对应的复数为3+3i. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 典型应用3 复数的模 (1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 ( ) A.-11 B.a<-1或a>1 D.a>0 (2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的集合是( ) A.1个圆 C.2个点 B.线段 D.2个圆