中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．计算：（﹣）0=（ ）
A． 1
B．﹣
C． 0
D．
考点：零指数幂．
0
根，求出（﹣）0的值是多少即可． 分析： 据零指数幂：a=1（a≠0）
解（﹣）0=1． 解答： ：
故选：A．
点评： 题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1此
（a≠0）；②00≠1．
2．（3分）（2021•陕西）如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：简单组合体的三视图．
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分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）（2021•陕西）下列计算正确的是（ ） A． a 2•a3=a6 C． （a2）3=a5
B． （﹣2ab）2=4a2b2 D．3 a2b2÷a2b2=3ab
考点：整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，即可解答．
解答： ：A、a2•a3=a5，故正确； 解
B、正确；
C、（a2）3=a6，故错误； D、3a2b2÷a2b2=3，故错误；
故选：B．
点评：本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，解决本题的关键是
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熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则．
4．（3分）（2021•陕西）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，
则∠1的度数为（ ）
A． 4 3°30′
53°30′ B．
133°30′ C．
153°30′ D．
考点：平行线的性质．
分析：先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再根据补角的定义即可得出结论．
解答：解：∵AB∥CD，∠1=46°30′，
∴∠EFD=∠1=46°30′， ∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′．
故选C．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．
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5．（3分）（2021•陕西）设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的
增大而减小，则m=（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． 4 D． ﹣4
考点：正比例函数的性质．
分析：直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
解答：解：把x=m，y=4代入y=mx中，
可得：m=±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m=﹣2，
故选B
点评：本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0，图
象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y
值随x的增大而减小．
6．（3分）（2021•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若
在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
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A． 2 个
B． 3个
C． 4个
D． 5个
考点：等腰三角形的判定与性质．
分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数， 再根据等腰三角形的判定即可找出图
中的等腰三角形．
解答：解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
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∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形； ∵BE=BC， ∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°， ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠ADE， ∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定
理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，
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不要遗漏．
7．（3分）（2021•陕西）不等式组的最大整数解为（ ）
A． 8 B． 6 C． 5 D． 4
考点：一元一次不等式组的整数解．
分析：先求出各个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
解答： 解：
∵解不等式①得：x≥﹣8，
解不等式②得：x＜6， ∴不等式组的解集为﹣8≤x＜6， ∴不等式组的最大整数解为5，
故选C．
点评：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据
不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．
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8．（3分）（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：
y=﹣2x+4，则下列平移作法正确的是（ ）
A． 将 l1向右平移3个单位长度 B． 将l1向右平移6个单位长度
C． 将l1向上平移2个单位长度 D．将 l1向上平移4个单位长度
考点：一次函数图象与几何变换．
分析：利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
解答： ：∵将直线l1：y=﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y=﹣2x+4， 解
∴﹣2（x+a）﹣2=﹣2x+4，
解得：a=﹣3，
故将l1向右平移3个单位长度．
故选：A．
点评：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
9．（3分）（2021•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，
若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ）
A． 7 B． 4或10 C． 5或9 D． 6或8
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考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．
专题：分类讨论．
分析：设AE的长为x， 根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，
解方程即可得到AE的长．
解答：解：如图：
设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，
在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，
解得x1=6，x2=8．
故AE的长为6或8．
故选：D．
点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于
AE的方程．
10．（3分）（2021•陕西）下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判
断，正确的是（ ）
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A． 没有交点
B． 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C． 有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D． 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．
解答： ：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0， 解
∵a＞1
∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0， ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，
x=＞0，
故选：D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计12分，其中12、13题为选做题，任选一题作答）
11．（3分）（2021•陕西）将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为 ﹣
6 ．
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考点：实数大小比较．
分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的
反而小，据此判断即可．
解答： ：解≈2.236，π≈3.14，
∵﹣6＜0＜2.236＜3.14， ∴﹣6
．
故答案为：﹣6．
点评：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实
数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12．（3分）（2021•陕西）正八边形一个内角的度数为 135° ．
考点：多边形内角与外角．
分析：首先根据多边形内角和定理： （n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后
再计算一个内角的度数．
解答：解：正八边形的内角和为： （8﹣2）×180°=1080°，
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每一个内角的度数为×1080°=135°．
故答案为：135°．
点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式： （n﹣2）•180 （n≥3）
且n为整数）．
13．（2021•陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，
则∠A的度数约为 27.8° （用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．
解解答： ：∵tan∠A=
∴∠A=27.8°，
=≈0.5283，
故答案为：27.8°．
点评：本题考查了坡度坡角的知识， 解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比
值，难度不大．
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14．（3分）（2021•陕西）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 10 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
设，点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，分析： 点A的坐标为（a，b）
B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．
解答：解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d）， ∵反比例函数y=的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
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∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
∵点M（﹣3，2）， ∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：10．
本点评： 题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC=|ab|=2，
S△BOD=|cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
15．（3分）（2021•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 3
．
考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径
后就可以求得最大值．
解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
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∴MN=AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=6， ∴AD=6
，
∴MN=AD=3
故答案为：3．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键
是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
三、解答题（共11小题，计78分，解答时写出过程）
|+（）3．
﹣
16．（5分）（2021•陕西）计算：×（﹣）+|﹣2
考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．
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专题：计算题．
分析： 据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣根+2+8，然后化
简后合并即可．
解答： ：原式=﹣解+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的
乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
17．（5分）（2021•陕西）解分式方程：﹣=1．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答： ：去分母得：x2﹣5x+6﹣3x﹣9=x2﹣9， 解
解得：x=，
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经检验x=是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（5分）（2021•陕西）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC
分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
考点：作图—复杂作图．
分析：作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
解答：
解：如图，直线AD即为所求：
点评：此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的面积
相等．
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19．（5分）（2021•陕西）某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情
况，让体育老师随机抽查了该年级若干名女生，并严格地对她们进行了1分钟“仰卧起坐”
测试，同时统计了每个人做的个数（假设这个个数为x），现在我们将这些同学的测试结果
分为四个等级：优秀（x≥44）、良好（36≤x≤43）、及格（25≤x≤35）和不及格（x≤24），并将
统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）被测试女生1分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在 良好 等级；
（3）若该年级有650名女生，请你估计该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人
数．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）根据各个等级的百分比得出答案即可；
（2）根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数，由此即可得出答案；
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（3）首先根据扇形图得出优秀人数占的百分比，条形统计图可以求出平均数的最小
值，然后即可求出答案．
解答：
解：（1）
；
（2）∵13+20+12+5=50，
50÷2=25，25+1=26， ∴中位数落在良好等级，
故答案为：良好；
（3）650×26%=169（人），
即该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数是169．
点评：本题难度中等，主要考查统计图表的识别；解本题要懂得频率分布直分图的意义．同
时考查了平均数和中位数的定义．
20．（7分）（2021•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，
作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．
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考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB， 再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出
AD=CE．
解答：证明：∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠ACB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE， ∴AD=CE．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平
行线的性质，关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE．
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21．（7分）（2021•陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”
小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于
是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）
时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，
其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身
高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE
的长．（结果精确到0.01米）
考点：相似三角形的应用．
分析：先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～
△MFN，即可解答．
解答：解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，
∴△CAD～△MND，
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∴∴
，
，
∴MN=9.6，
又∵∠EBF=∠MNF=90°， ∠EFB=∠MFN， ∴△EFB～△MFN， ∴∴
，
∴EB≈1.75，
∴小军身高约为1.75米．
点评：本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定．
22．（7分）（2021•陕西）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有
甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日
游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每
人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅
行社两日游的人数均为x人．
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（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数
关系式；
（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助
胡老师选择收取总费用较少的一家．
考点：一次函数的应用．
专题：应用题．
分析： 1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得y甲=640×0.85x，对于乙两家旅行（
社的总费用，分类讨论：当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x；当x＞20时，y乙
=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）；
（2）把x=32分别代入（1）中对应得函数关系计算y甲和y乙的值，然后比较大小即
可．
解答： ：解（1）甲两家旅行社的总费用：y甲=640×0.85x=544x；
乙两家旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x=576x；当x＞20时，y乙
=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；
（2）当x=32时，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，
因为y甲＞y乙，
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所以胡老师选择乙旅行社．
点评：本题考查了一次函数的应用：利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系，特别对
乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题．
23．（7分）（2021•陕西）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求
每班选一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在
他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛
（胜者参赛）．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇
数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上
述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，
2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）
考点：游戏公平性；列表法与树状图法．
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分析：（1）首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮
掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可．
（2）首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的
概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可．
解答：解： （1）∵向上一面的点数为奇数有3种情况，
∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是：
．
（2）填表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果． ∴P（小亮胜）=
，P（小丽胜）=
=，
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∴游戏是公平的．
点评：（1）此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个事件的概率，
然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）此题主要考查了列举法（树形图法）求概率问题，解答此类问题的关键在于列
举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重
不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
24．（8分）（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线
DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；
（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．
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解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，
∴∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠E=90°， ∵∠DAE=90°， ∴∠BAD+∠BAE=90°， ∴∠BAD=∠E；
（2）解：连接BC，如图：
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=8，AB=2×5=10， ∴BC=
，
∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E， ∴△ABC∽△EAB， ∴∴
， ，
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∴BE=．
点评：本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形
的性质分析．
25．（10分）（2021•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交
于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以
A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不
是菱形的平行四边形的面积．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；
（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），
再代入解析式，即可解答；
（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可
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知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又
知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据
，即可解答．
解答： ：解（1）令y=0，得x2+5x+4=0，
∴x1=﹣4，x2=﹣1，
令x=0，得y=4，
∴A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，4）．
（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），
∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx﹣4，
将（4，0），（1，0）代入上式，得
解得：，
∴y=﹣x2+5x﹣4．
（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，
由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′， ∴四边形AMA′M′为平行四边形，
又知AA′与MM′不垂直， ∴平行四边形AMA′M′不是菱形，
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过点M作MD⊥x轴于点D，
∵y=∴M（
），
，
又∵A（﹣4，0），A′（4，0） ∴AA′=8，MD=， ∴
=
点评：本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综
合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意
菱形的判定与数形结合思想的应用．
26．（12分）（2021•陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为 24 ；
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（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？
若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题．
专题：综合题．
分析：（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC
﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形
BMC面积即可；
（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，
连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C
的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；
（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC
于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于
点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根
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据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，
连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC
最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．
解答：解： （1）如图①，过A作AE⊥BC，
∴四边形AECD为矩形，
∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4， ∴AB=2BE=8，AE=
=4
，
则S△BMC=BC•AE=24；
故答案为：24；
（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，
连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，
∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC， ∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°， ∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8， ∴BE=4，AE=BE•tan60°=4∴CC′=2CD=2AE=8
，
，
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∵BC=12， ∴BC′=
=4
，
∴△BNC周长的最小值为4+12；
（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，
作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆
O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上， ∵AD∥BC，
∴圆O与AD相切于点P， ∵PQ=DC=4∴PQ＞BQ，
∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，
＞6，
在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC， ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，
∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，
连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，
∵OB=OP=4﹣OQ，
﹣OQ）2，
在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4
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解得：OQ=∴OB=
，
，
∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，
则此时cos∠BPC的值为．
点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，
圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关
键．
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