特殊四边形专题（较难）
一．选择题
1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．当∠B＝90°时，则EF＝2
B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12
C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍 D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形
2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（ ）
A．4 B．4 C． D．6
4．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，
AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE的最小值是（ ）
A．
B． C． D．
6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（ ）
A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10° C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°
B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30° D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°
7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、
PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题
9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为 ．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为 ； （2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
11．如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是 ．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接
EF，FM，则FM＝ ；线段EF的最大值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，连接BD，把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段
DQ．在BC边上取点P，使BP＝2，连接PQ交DC延长线于点E，则线段DE长为 ．
14．在三角形ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，AH⊥BC于点H，若∠DEF＝50°，则∠
CFH＝ ．
15．如图是一张三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为2
，则该矩形周长的最小值＝ ．
16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形
ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 ．
17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 ．
18．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂
足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为 ．
19．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝ ．
20．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连接CE交BG于F，则∠
BFC等于 ．
三．解答题
21．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝
DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH． （2）若AB＝2
，AE＝2，试求线段PH的长．
的值．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求
22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）． （1）证明：PD＝PE．
（2）连接PC，求PC的最小值．
（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．
23．当k值相同时，我们把正比例函数y＝
x与反比例函数y＝叫做“关联函数”．
（1）如图，若k＞0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）； （2）若k＝1，点P是函数y＝标为（m，
在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐
），其中m＞0且m≠2．作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角
形，请说明理由；
（3）在（2）的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．
（1）求证：CF＝DE． （2）设①若m＝②设
＝m．
，试求∠ABE的度数；
＝k，试求m与k满足的关系．
25．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连接AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足
（1）求证：GE+GF＝AB；
（2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明；
②求当AB＝6，AG＝时，BG的长．
26．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．
（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想； （2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，求AF：CF的值．
27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG． （1）求证：△BEC≌△DGC；
（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；
（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．
28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上． （1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形． （2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
29．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E，点F关于CD对称． （1）若ED∥CF，
①求证：四边形ECFD是菱形．
②若点E为AC的中点，求证：AD＝EF．
（2）连接BD，BE，BF，若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求
的值．
30．（1）如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．
①判断EG与EH是否相等，并说明理由． ②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．
（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变． ①判断EG与EH是否相等，并说明理由．
②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、如图1中，
∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠DAC＝∠CAE， ∴∠ACF＝∠CAF，
∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，
在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2， 解得x＝∴EF＝8﹣
， ＝
，故选项A不符合题意．
B、如图2中，
当BF＝CF时， ∵AF＝CF＝BF， ∴∠BAC＝90°， ∴AC＝
＝
＝2
， ＝12
，故选项B符合题意．
∴S平行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2
C、在折叠过程中，△ABF与△EFC的周长相等，选项C不符合题意． D、如图3中，
当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意． 故选：B．
2．解：如图，AC，BE交于点F，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∵2∠ABE＝3∠ACB， ∴∠ABE＝
＝67.5°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴∠ABE＝∠AFB， ∴AB＝AF， ∵AB∥CE，
∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°， ∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CE＝CF，
设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝∴x+1＝解得x＝故选：B．
3．解：设点M（a，0），N（0，b） ∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝∴点A的坐标为（a，
），
（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，
， +1，
，
BN⊥y轴，同理可得：B（，b）
则点C（a，b）
s△CMN＝
∴ab＝2 ∵AC＝
＝ab＝1
，BC＝
＝
＝4
即
（k﹣2）2＝16
，且ab＝2
解得：k＝6，k＝﹣2（舍去） 故选：D．
4．解：连接FC，如图所示： ∵∠ACB＝90°，F为AB的中点， ∴FA＝FB＝FC， ∵△ACE是等边三角形， ∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°． ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC， ∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形； ∵四边形ADFE为平行四边形， ∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG； 在△DBF和△EFA中，∴△DBF≌△EFA（SAS）； 综上所述：①③④正确， 故选：C．
，
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点A和点C关于BD对称，BC＝AB＝4， ∵E为边BC的中点， ∴BE＝
BC＝2，
连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，
PC+PE的最小值＝AE，
∵AE＝
＝
，
＝2
，
∴PC+PE的最小值是2故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，
∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①， △DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②， 由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°， 即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°， 故选：D．
7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝
×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题） 故选：C．
8．解：延长GH交AD于M点，如图所示： ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG， ∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG， ∵AF的中点H， ∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，∴△AMH≌△FGH（ASA）． ∴AM＝FG＝1，MH＝GH， ∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2， 在Rt△MDG中，GM＝∴GH＝
＝
＝2
，
，
GM＝，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
9．解：连接AC、DE、BD，如图： ∵E为AB中点， ∴S△BCE＝
S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8，
同理可得：S△CDF＝8， ∵F为AD中点， ∴SAEF＝
S△AED＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝4，
∴S△CEF＝S平行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12； 故答案为：12．
10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°， ∵BE＝5， ∴AE＝
＝
＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1， ∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17， ∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17． 故答案为17．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝∵S△DEC+S△DFG＝∴S△DFG＝
，
S正方形ECGF，
×x×4＝
（x2+16）﹣x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6． 故答案为6．
11．解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2， ∴△ABD和△BCD都为正三角形， ∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC， ∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2， ∴DE＝CF，
∴△BDE≌△BCF（SAS）； ∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF， ∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°， ∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°， ∴△BEF为正三角形； 设BE＝BF＝EF＝x， 则S＝
•x•x•sin60°＝
x2，
，
当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝∴S最小＝
×（
）2＝
，
当BE与AB重合时，x最大＝2，
∴S最大＝∴
≤S≤
×22＝． ≤S≤
，
故答案为：．
12．解：连接EM，
∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点， ∴FM＝
，EM＝
，
当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4， 故答案为：1；4．
13．解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7， ∵BP＝2， ∴CP＝5，
∵把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ， ∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，
∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°， ∴△BDC≌△DQH（AAS） ∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7， ∴CH＝DH﹣CD＝2，
∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE， ∴△PCE≌△QHE（AAS） ∴CE＝EH，且CH＝2， ∴CE＝EH＝1，
∴DE＝DC+CE＝5+1＝6， 故答案为：6．
14．解：∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点， ∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位线的性质） 又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，
∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线平行，同位角相等）， 又∵AH⊥BC，
∴△AHC是直角三角形， ∵HF是斜边上的中线， ∴HF＝
AC＝FC，
∴∠FHC＝∠FCH＝50°．
∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
15．解：①当矩形的其中一边在AC上时，如图1所示： 设CE＝x，则BE＝3﹣x， ∵∠A＝30°，∠C＝90°， ∴DE＝
（3﹣x），
∴S矩形DECF＝CE•DE＝
x（3﹣x）＝2，
整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2， 当x＝1时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2当x＝2时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2∵（4
+2）﹣（2
+4）＝2
+4；
﹣2＝2（
）×2＝4
+2，
+4， ﹣1）＞0，
∴矩形的周长最小值为2
②当矩形的其中一边在AB上时，如图2所示： 设CF＝x，则BF＝3﹣x， ∵∠A＝30°，∠C＝90°， ∴FG＝2x，EF＝
（3﹣x），
（3﹣x）＝2
，
∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•
整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2， 所以和（1）的结果一致， 综上所述：矩形周长的最小值为2故答案为：2
+4．
+4．
16．解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示： ∵△ABM和△ACN是等边三角形，
∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°， ∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC， 即∠CAM＝∠NAB， 在△CAM和△NAB中，∴△CAM≌△NAB（SAS）， ∴CM＝NB，
∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，
∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线， ∴DG∥BN，DG＝
，
BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，
∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE， ∴四边形DEFG是平行四边形， 又∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形， ∴DE＝DG＝EF＝FG＝
BN，
∵∠BAC＝60°，
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°， ∵NP⊥BC，
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°， ∴PC＝
CN＝，PN＝
＝＝
PC＝
，
，
∴BP＝BC+PC＝5+∴BN＝
＝7，
∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，
＝14，
∴四边形DEFG的周长＝4×故答案为：14．
17．解：
∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°， 故答案为：40°．
18．解：∵直线y＝a分别与直线y＝∴A（
，a），D（2a，a），
x和双曲线y＝交于点D、A，
当直线在x轴的正半轴时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，即2a﹣
＝a，解得a＝﹣1或a＝1．
当直线在x轴的负半轴时， 同理可得，2a﹣
＝﹣a，解得a＝±
．
．
故答案为：±1或±
19．解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．
由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x， ∵∠APC＝120°，PH⊥AC， ∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°， ∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴CD＝AB＝∴
＝
＝：1．
，
＝
＝
x，
x，
故答案为
20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形， ∴∠BCE＝∠BEC＝45°， ∵GE⊥CG，
∴∠AGE+∠CGD＝90°， ∵∠DCG+∠CGD＝90°， ∴∠AGE＝∠DCG， 又∵∠A＝∠D＝90°， ∴△AGE∽△DCG， ∴
，
∵G是AD的中点， ∴AG＝DG， ∴
，
∵∠D＝∠CGE＝90°， ∴△CDG∽△CGE， ∴∠DCG＝∠GCE＝∵G是AD的中点，
∴由矩形的对称性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，
由三角形的外角性质得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°． 故答案为：67.5°． 三．解答题（共10小题）
21．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°， 又∵AE＝DF，
（90°﹣45°）＝22.5°，
∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°， ∴∠ABE+∠FAB＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴AF⊥BE， 又∵CH⊥BE， ∴AF∥CH；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2∴BE＝∵S△ABE＝∴AP＝
＝
＝4，
，AE＝2，
AB•AE＝BE•AP，
＝
，
＝
＝3，
在Rt△ABP中，BP＝∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°， ∴∠ABP＝∠HCB， ∵CH⊥BE， ∴∠HCB＝90°， 又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS）， ∴BH＝AP＝
，
．
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC， ∵CH⊥BP，PH＝BH， ∴CP＝BC， ∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP， ∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA， ∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b， 则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b， ∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2， ∴b2＝4ab， 即b＝4a， ∴
＝4．
22．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝90°， ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠EAP＝45°， 在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE；
（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′， 则P′C最小， ∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠EAP， ∵∠DAP＝∠EAP， ∴∠DAP＝∠DFA＝45°，
∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°， ∴P′C＝FC×
＝
， ；
∴PC的最小值为
（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC， ∴OF∥AD，
∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，
∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H， ∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB， ∴PG＝PH， 设PG＝PH＝a，
由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5， 当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5， 解得，a1＝2（舍去），a2＝当a＝
时，AP＝
，
，
＝2
，
综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．
23．解：（1）∵两个函数图象的交点分别为A，B， ∴
，
∴x2＝k2， ∴x＝±k，
∴点A坐标为（﹣k，﹣1），点B坐标（k，1）， （2）∵k＝1，
∴点A坐标为（﹣1，﹣1），点B坐标（1，1）， ∵点P的坐标为（m，
），
+
，
∴直线PA解析式为：y＝当y＝0时，x＝m﹣1， ∴点C（m﹣1，0）
同理可求直线PB解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝m+1， ∴点D（m+1，0） ∴PD＝
＝
，
PC＝
∴PC＝PD，
∴△PCD是等腰三角形；
＝，
（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，
∵△PCD为直角三角形，PH⊥CD， ∴CD＝2PH，
∴m+1﹣（m﹣1）＝2×∴m＝1， ∴点P（1，1），
∵点B（1，1），且点P是函数y＝
在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），
∴不存在点P使△PCD为直角三角形．
24．（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF， ∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED， ∴∠BEF＝∠EBC， ∴BC＝CE，
∵∠BFC＝∠D＝90°， ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴CF＝DE．
（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°， 在Rt△BFC中，sin∠BCF＝∴∠BCF＝60°， ∴∠CBF＝30°， ∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°， ∵∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝ ②∵
＝k，
＝m， ∠ABF＝30°．
＝
＝
＝
，
∴AE＝kAD，AB＝mAD， ∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），
在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2， 整理得，m2＝2k﹣k2．
25．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝
BD，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形， ∴GE＝
DG，GF＝BG，
BD，
∴GE+GF＝（DG+BG）＝
∴GE+GF＝AB；
（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下： 连接CG，如图所示：
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CE＝GF， ∴GE2+CE2＝CG2， ∴GE2+GF2＝AG2；
设GE＝x＝CF，则GF＝6﹣x＝BF， 由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（∴x＝1或x＝5 当x＝1时， ∴BF＝GF＝5， ∴BG＝当x＝5时， ∴BF＝GF＝1， ∴BG＝
＝
＝
，
＝
＝5
， ）2，
26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
过点E作直线MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，
∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形， ∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN， ∴AM＝EN， ∵EF⊥AE，
∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，
∴∠EAM＝∠FEN， 在△AME和△ENF中，∴△AME≌△ENF（ASA）， ∴AE＝EF， ∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如图2所示： 由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN， ∵∠AME＝∠ENF＝90°， 在△AME和△ENF中，∴△AME≌△ENF（ASA）； ∴AE＝EF， ∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形； （3）分两种情况：
①△ADE的面积：△ABE的面积＝1：2时，如图1所示： 则BE＝2DE，
设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3
， ，
a，
由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形， ∴AF＝
AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，
∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a， ∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝∴AF＝∴
＝
＝
＝
a，
AE＝
＝
a，
；
②△ADE的面积：△ABE的面积＝2：1时，如图2所示： 则DE＝2BE，
设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3同（1）得：AF＝
a， a，DE＝
ME＝2
a，
AE，BE＝BN＝
∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a， ∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝∴AF＝∴
＝
＝
＝
a，
AE＝
＝
a，
；
综上所述，若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分， 则AF：CF的值为
或
．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC， ∵点E与点G关于直线CD对称，
∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD， ∴∠BCE＝∠DCG， 在△BEC和△DGC中，∴△BEC≌△DGC（SAS）；
（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC， ∴EG∥DF∥BC，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°， ∴∠DGE＝∠DGC﹣45°， ∵BE⊥EF，
∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC， ∵△BEC≌△DGC， ∴∠DGC＝∠BEC，
∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°， ∴EF∥DG，
，
∴四边形FEGD为平行四边形；
（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示： 则∠EBM+∠BEM＝90°， ∵EF⊥BE，
∴∠BEM+∠FEN＝90°， ∴∠EBM＝∠FEN， ∵BM＝AN，AN＝EN， ∴BM＝EN， 在△BME和△ENF中，∴△BME≌△ENF（ASA）， ∴BE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴BE＝DE， ∴DE＝EF，
当四边形GD为菱形时，DF＝EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴∠EBM＝∠FEN＝
∠FED＝30°，
设CM＝x，则EM＝x， ∵∠EBM＝30°， ∴BM＝
x，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
，∴BC＝BM+EM＝（解得：x＝2（∴CE＝
+1）x＝4，
﹣1）， ﹣2
．
x＝2
28．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°， ∴∠EAM＝∠FCN，AC＝
∵M，N分别是AD，BC的中点， ∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN， ∴四边形ABNM是平行四边形， 又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝3， 在△AME和△CNF中，
， ＝
＝5，
∴△AME≌△CNF（SAS）， ∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN， ∴∠MEF＝∠NFE， ∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形， 又∵AE＝CF＝1， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3， ∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形， ∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x， ∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x， ∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5， ∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42， 解得：x＝2±∵0＜x＜2，
，
∴x＝2﹣．
29．（1）证明：①如解图1， ∵点E，点F关于CD对称．
∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF， ∴∠ECO＝∠FCO， ∵ED∥CF， ∴∠FCO＝∠EDO， ∴∠ECO＝∠EDO， ∴DE＝EC，
∴DE＝DE＝EC＝CF， ∴四边形ECFD是菱形．
②由得①得四边形ECFD是菱形， ∴EO＝OF＝又∵AE＝EC， ∴OF＝∴AD＝EF
（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况： Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即Ⅱ．第二种情况：若∠BDF＝90°时，如解2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE， ∴∠FDC＝45°，
．
．
，OD＝OC，
∵E，点F关于CD对称，
∴∠EDC＝45°，即E为AC与BD的交点，EF⊥CD， ∴EF∥BC，
∴∠DEF＝∠BDC＝45°， ∴△EFD为等腰直角三角形， ∴DF＝DE＝BE， 在Rt△BDF中，BF＝∴即
＝
．
＝
，
Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．
综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，
的值为1或
．
30．解：（1）①EG＝EH， 理由如下： 如图，
∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC
∴AF∥BE，且GH∥EF ∴四边形GHEF是平行四边形 ∴∠GHE＝∠GFE
∵将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠， ∴∠1＝∠GEF ∵AF∥BE，GH∥EF
∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF ∴∠GEF＝∠HGE ∴∠GHE＝∠HGE ∴HE＝GE ②GH平分∠AGE 理由如下： ∵AF∥BE
∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE ∴∠AGH＝∠HGE
∴GH平分∠AGE （2）①EG＝GH 理由如下， 如图，
∵将△ABC沿EF折叠 ∴∠CEF＝∠C'EF，∠C＝∠C' ∵GH∥EF
∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC'＝∠GHE ∴∠GHE＝∠HGE ∴EG＝EH
②∠AGH＝∠HGE+∠C 理由如下：
∵∠AGH＝∠GHE+∠C' ∴∠AGH＝∠HGE+∠C
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