北京市海淀区2013年中考一模数学试题(含答案)

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习（一模）

数 学

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．2的相反数是

A. 2 B.2 C.

11 D. 222．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为

A. 5.510 B. 5510 C. 55010 D. 0.5510 3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是

A. 圆柱 B. 正方体 C. 球 D. 圆锥 4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为

A. 5 B.6 C. 7 D. 8

5．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是

A．

887101112 B． C． D． 25356.一副三角板如图放置，若∠1＝90，则∠2的度数为

A．45° B．60° C．75° D．90° 7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示： 场次（场） 得分（分） 1 13 2 4 3 13 4 16 5 6 6 19 7 4 8 4 9 7 10 38 则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是

A.10, 4 B.10，7 C.7，13 D. 13，4

8.（海淀）如图，△ABC是等边三角形，AB6厘米，点P从点B出发,沿BC以

每秒1厘米的速度运动到点C停止；同时点M从点B出发,沿折线BA-AC以每秒3厘米的速度运动到点C停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P的运动时间为t秒，P、M两点之间的距离为y厘米，则表示y与t的函数关系的图象大致是

- 1 -

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A. B. C. D.

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9． 分解因式：a2b6ab29b3 ．

10．若关于x的一元二次方程x3xm0有实数根，则m的取值范围是

．

11．如图,将正方形纸片对折，折痕为EF.展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则ABG的

正切值是 .

12. （海淀）如图1所示，圆上均匀分布着11个点A1,A2,A3,2,A11.从A1起每隔k个点顺次连接，当再次

与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1k8（k为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么A1A2时，k= .

；当AA11 °A1A211900°

图1 图2

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：122cos30(31)() ．

0

181 - 2 -

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x20,14．解不等式组：x1

1x.21x2115．先化简，再求值：1，其中x3． x22x4

16.已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，ACCE，BEDC. 求证：BCDE.

17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y点为A(1,n)．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）若P是x轴上一点，且满足APO45，直接写出点P的坐标．

BADCE2的图象与一次函数ykxk的图象的一个交x - 3 -

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18. 列方程（组）解应用题：

雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点

E,DAB=CDB=90,ABD=45,∠DCA=30,AB6.求AE的长和△ADE的面积．

20.已知：如图，在△ABC中，ABAC．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点

E.

(1)求证：DE与⊙O相切；

(2)延长DE交BA的延长线于点F.若AB6，sinB=

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5,求线段AF的长. 5数学好玩儿！

21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.

为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.

解答下列问题：

（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为 ； （2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；

（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）

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22. （海淀）问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长.

图1 图2

小明的思考过程：

他利用图1中的等距平行线构造了33的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A、B、C、D，就可以画出一个满足题目要求的正方形.

请回答：图2中正方形ABCD的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：

（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60，边长为1）中，画出一个等边△ABC，使它的顶点A、B、C落在格点上，且分别在直线a、b、c上；

（3）如图4，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是

21，l2、l3之间的距离是521，等边△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，直接写出△ABC的边长. 10

图3 图4 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23. （海淀）在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx2mxn与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(2,0)． （1）求B点坐标； （2）直线y=2 1x+4m+n经过点B. 2- 6 -

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①求直线和抛物线的解析式；

②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D(0,d)．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线y= 1x+4m+n2只有两个公共点时，d的取值范围是 ．

24．（海淀）在△ABC中，∠ACB＝90．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E． （1）若ABC45，CD=1（如图），则AE的长为 ； （2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE、AB交于点F， CFEF56，CD=4，求BD的长．

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25. （海淀）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22mxm2m的顶点为C.

(1) 求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

(2) 直线yx2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧. ①若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；

②抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB'

2QB的值最小，则这个最小值为 . 2 - 8 -

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东城区数学参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 答 案 题 号 答 案 1 2 3 4 B 10 5 C 11 6 C 7 A 12 8 D B A D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9 b(a3b)2 m≤9 423 1260；2或7 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：122cos30(31)() ．

0181解：原式232 318 ………………………4分 237．………………………5分

解：由①得 x2．………………………2分 由②得 x1．………………………4分

则不等式组的解集为2x1．………………………5分

1x2115．先化简，再求值：1，其中x3． x22x4解：原式 x212x42 ………………………2分

x2x12(x2)x1 ………………………3分 x2(x1)(x1)2 . ………………………4分 x121当x3时，原式=.………………………5分

x1216.证明：AB∥EC，

∴ADCE. ………………………1分 在△ABC和△CDE中，

EBEDC,ADCE, ACCE,∴△ABC≌△CDE.………………………4分 ∴BCDE. ………………………5分 17.解：（1）∵ 点A(1,n)在反比例函数y

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ABDC2的图象上， x数学好玩儿！

∴ n2. ………………………1分

（1，2）∴ 点A的坐标为. ∵ 点A在一次函数ykxk的图象上， ∴2kk.

∴k1.………………………2分

∴ 一次函数的解析式为yx1．………………………3分 （2）点P的坐标为（－3,0）或（1,0）．………………………5分 （写对一个给1分）

18.解：设原计划每天加工x顶帐篷. ………………………1分

150030015003004.………………………3分 x2x解得x150. ………………………4分 经检验，x150是原方程的解，且符合题意. 答：原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 解：过点A作AF⊥BD于F. ∵∠CDB=90°,∠1=30°, ∴∠2=∠3=60°. ………………………1分 在△AFB中，∠AFB=90°. ∵∠4=45°，AB6,

∴AF=BF=3.………………………2分 在△AFE中，∠AFE=90°.

∴EF1,AE2.………………………3分 在△ABD中，∠DAB=90°. ∴DB23. ∴DEDBBFEF31.………………………4分

∴SADE1133.………………………5分 DEAF(31)322220.(1)证明：连接OD. ………………………1分

∵AB=AC, ∴BC. 又∵OBOD, ∴B1. ∴C1. ∴OD∥AC.

∵DE⊥AC于E, ∴DE⊥OD.

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∵点D在⊙O上，

∴DE与⊙O相切. ………………………2分 (2)解：连接AD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°. ∵AB=6，sinB=

5， 565.………………3分 5∴ADABsinB=

∵123290， ∴13. ∴B3.

在△AED中，∠AED=90°. ∵sin3AE5， AD5∴AE55656AD. ………………………4分 5555又∵OD∥AE，

∴△FAE∽△FOD.

FAAE. FOOD∵AB6,

∴ODAO3.

FA2. ∴FA35∴AF2. ………………………5分

121.（1）.………………………1分

3∴（2）∵(3318)80%30，

∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分

………………………3分

（3）设去年同期销售x万箱烟花爆竹.

(135%)x37.

解得x56

12.………………………4分 13- 11 -

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∴561212371920. 1313答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分 22.（1）5.………………………2分 （2）①如图：

(答案不唯一) ………………………4分

②721.………………………5分

5五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为x2m1.………………………1分 2m∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(2,0)， ∴点B的坐标为 (4,0)．………………………2分

（2）∵点B在直线y= 1x+4m+n上， 2∴024mn①.

∵点A在二次函数ymx-2mxn的图象上， ∴04m4mn②. ………………………3分 由①、②可得m21n4. ………………………4分 ，211∴ 抛物线的解析式为y＝x2x4，直线的解析式为y＝x2． ……………5分

22（3）5d0． ………………………7分 224．（1）AE2.………………………1分

（2）线段AE、CD之间的数量关系为AE2CD.………………………2分 证明：如图1，延长AC与直线l交于点G． 依题意，可得∠1＝∠2． ∵∠ACB＝90， ∴∠3=∠4. ∴BABG.

∴CA＝CG．………………………3分

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∵AE⊥l，CD⊥l， ∴CD∥AE． ∴△GCD∽△GAE． ∴

CDAE＝GC1GA2． ∴AE2CD．………………………4分 （3）解：当点F在线段AB上时，如图2， 过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G． ∴∠2＝∠HCB． ∵∠1=∠2， ∴∠1＝∠HCB． ∴CHBH． ∵∠ACB＝90，

∴∠3+∠1＝∠HCB+∠4 =90． ∴∠3＝∠4．

∴CHAHBH． ∵CG∥l，

∴△FCH∽△FEB．

∴

CFEF＝CHEB56． 设CH5x,BE6x，则AB10x． ∴在△AEB中，∠AEB＝90，AE8x． 由（2）得，AE2CD． ∵CD4, ∴AE8. ∴x1.

∴AB10,BE6,CH5． ∵CG∥l，

∴△AGH∽△AEB．

∴HGBEAH1AB2． HG3．………………………5分 CGCHHG8． CG∥l，CD∥AE, 四边形CDEG为平行四边形. DECG8.

BDDEBE2．……………………6分

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图2

图3

∴∴∵∴∴∴

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当点F在线段BA的延长线上时，如图3， 同理可得CH5,GH3,BE6. ∴DE=CGCHHG2． ∴ BDDEBE8．

∴BD2或8．……………………7分 25.解：（1）

yx22mxm2mxmm，……………………1分

2∴顶点坐标为C(m,m).……………………2分

（2）①yx2与抛物线yx22mxm2m交于A、B两点， ∴x2x2mxmm.

解方程，得x1m1,x2m2.……………………4分

22点A在点B的左侧，

∴A(m1,m1),B(m2,m4). ∴AB32.……………………5分

直线OC的解析式为yx，直线AB的解析式为yx2， ∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h=∴SAPB2. 11ABh3223.………………………6分 22②最小值为10. ……………………8分

(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)

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