高阶非齐次线性微分方程的解

舍肥学院学报（自然科学版）　２０１３年１１月第２３卷第４　高阶非齐次线性微分方程的解　胡秀林　（合肥学院数学与物理系，合肥摘２３０６０１）　要：通过构建高阶非齐次线性微分方程的柯西函数，给出了求解一般形式的高阶非齐次线性微分方程的一　个新方法，并举例说明了所得结果的有效性．　关键词：非齐次线性微分方程；高阶：柯西函数　中图分类号：０１７５．１４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１６２Ｘ（２０１３）０４一Ｏ０Ｏ４—０３　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｔｈｅ　Ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ＬｉＬｌｎｅａｒ　ｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｒ　　Ｅｑｕａｔｉｏｎ￣ｏｆ　Ｈｉｇｈ　ｏｒｄｅｒｈ－ｏｒｄｅｒ　ＨＵ　Ｘｉｕ—ｌｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｆｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ　２３０６０１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ，ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｓ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｓｏｍｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｈ０ｍ０ｇｅｎｅ０ｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ；ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　０　引　言　考虑一般形式的ｎ阶非齐次线性微分方程　Ｌ［ｙ］＝Ｙ‘　＋ｒｚｌ（ｔ）Ｙ　’＋…＋。　（ｔ）ｙ＝ｆｌｔ），　它对应的齐次线性微分方程为　Ｌ［　］＝　．（１）　（２）　＋ｎＩ（ｔ）　¨卜¨＋…＋０　（ｔ）　＝０，　其巾。　（ｔ）（ｉ＝１，２，…，　）及厂（　）都是Ｒ上的连续函数．　首先，给出高阶线性微分方程的通解的结构定理．　引理１　如果　。（　），　（　），…，　（　）是方程（２）的一个基本解组，则方程（２）的通解可表示为　（ｔ）＝ｃｌ　ｌ（ｔ）＋Ｃ２Ｘ２（ｔ）＋…十ＣｎＸ　（ｔ），　（３）　其中ｃ　，ｃ　，…，ｃ　是任意常数，且（３）包括了方程（２）的所有解．　引理２如果　（ｚ），　（ｔ），…，　（ｔ）是方程（２）的一个基本解组，而　（ｔ）是方程（１）的某个解，则方　程（１）的通解可表示为　（ｔ）＝ｃ１　】（ｔ）＋Ｃ２Ｘ２（ｔ）＋…＋ＣｎＸ　（ｔ）＋　（ｔ），　（４）　其中ｃ　，ｃ，，…，ｃ　是任意常数，且（４）包括了方程（１）的所有解．　众所周知，高阶线性微分方程在物理、力学、工程技术、自然科学中有着广泛的应用．也是研究非线性　微分方程的基础．因此，研究高阶线性微分方程显得十分重要，而其核心内容就是如何求解的问题．通解的　结构定理告诉我们，方程（１）的通解由（２）的通解及其本身的某个特解所构成．而关于高阶非齐次线性微　分方程的某个特解的求法，教材中大多数采用比较系数法，但该方法仅限于非齐次项厂（ｔ）所具有的某　收稿日期：２０１３—０９—１７　作者简介：胡秀林（１９８１一），女，安徽太湖人，合肥学院数学与物理系讲师　第４期　胡秀林：高阶非齐次线性微分方程的解　５　些特殊形式，而且当方程的阶数比较高时此方法较为烦琐．除此之外，还可以借助常数变易法、拉普拉斯变　换法、微分算子法等求解高阶线性微分方程．　卜。　本文通过构造一个特殊函数，给出求解方程（１）的某个特　解的一个新方法．　１　主要结论　‘　设　（　），Ｘ２（ｆ），…，　（　）是　阶齐次线性微分方程（２）的一个基本解组，则由引理１知，方程（２）的所　有解可表示为　（　）＝ｃ　（　）＋Ｃ２Ｘ：（ｔ）＋…＋ＣｎＸ　（　）．由此，对某个固定的ｔ。，可以得到方程（２）的一个解　（ｔ）＝　（ｔ，ｔ。），且它满足如下初始条件：　（ｔｏ）＝　（ｔｏ，ｔｏ）＝０，…，　‘　（ｔｏ）＝　（ｔｏ，ｔｏ）＝０，　‘　（ｔｏ）＝　（ｔ０，ｔ０）＝１，　其中　（ｔ。，ｔｏ）表示函数　（　，ｔ。）在点ｔ＝ｔ。处关于第一个变元的　阶导数，下文类同．　这样得到的函数　（ｔ，ｓ）称为　阶非齐次线性微分方程（１）的柯西函数．由ｔ。的任意性知，方程（１）的　柯西函数　（ｔ，ｓ）具有如下性质：　（ｉ）Ｌ［　（ｔ，　）］＝０；　（ｉｉ）　（ｔ，ｔ）＝０，　（　，ｔ）＝０，…，　‘　。’（ｔ，ｔ）＝０，　‘　（ｔ，ｔ）：１．　定理∞　．　若　阶非齐次线性微分方程（１）的柯西函数砂（　，　）及砂　（　，　）（ｋ＝１，２，…，ｎ）均连续，函数　一∞　），（　）＝Ｉ　（ｆ，　）　ｓ）ｄｓ及Ｊ　’（　，ｓ）　ｓ）ｄｓ（ｋ＝１，２，…，ｎ）都是一致收敛的，则函数　一ｒ￡　ｙ（ｔ）＝ｆ　（ｔ，５）　ｓ）ｄｓ　一（５）　∞　是方程（１）的一个解．　证明　由定理的条件。直接计算可得　ｒｔ　ｒ　Ｙ　（ｔ）：Ｉ　（ｔ，ｓ）　）ｄｓ＋　（ｔ，￡），（ｔ）＝ｆ　（ｚ，ｓ），（ｓ）ｄｓ，　＿ｙ（　（　）：ｔ　‘　（ｔｓ）　ｓ）ｄｓ＋ｔｆｒ‘　（ｆ，ｆ）　）：ｔ（ｎ－１　（ｔｓ）　ｓ）　，　，，Ｙ　（　）＝ｆ　～∞　（　，　ｓ）ｄｓ＋砂　（　，　）　）＝ｆ　’（　，　ｓ）ｄｓ＋　），　一∞　故　Ｌ［Ｚ］＝Ｙ‘　（￡）＋口ｉ（　）　‘　一　（ｚ）＋…＋ａｎ（　），，（　）＝Ｊ　［　（　，　）Ｉｆ（ｓ）ｄｓ＋／（　）．　而　（　，ｓ）］＝０，故由　。的任意性知，　［ｙ：ｊ＝，（　），即Ｙ（　）＝Ｊ　（￡，ｓ）Ａ　ｓ）ｄｓ是方程（１）的一个解．　２　应　用　例１考虑二阶非齐次线性微分方程　ｄ２ｘｄ￡　ｄ２警一３　～　　＝ｅ４ｔ　一（、　６）　的通解．　解由欧拉特定指数函数法易知方程（６）对应的齐次方程　ｄ　ｄ２警　＝０　Ｊ　一ｕ　一的一个基本解组为　（ｔ）＝ｅ　，　：（ｔ）＝ｅ～．　令Ｙ（ｔ）＝Ｃ１ｅ。　＋ｃ２ｅ～＝　（ｔ，ｔ０），使得　ｆｙ（ｔｏ）：Ｏ（ｔｏ，ｔ０）＝Ｃ１ｅ　幻＋Ｃ２ｅ　。＝０，　ｌｙ　（ｔ０）＝　（ｔ０，ｔｏ）＝３ｃ１ｅ　。一Ｃ２ｅ　。＝０．　６　合肥学院学报（自然科学版）　第２３卷　取　。＝０，则ｃ。＝÷，ｃ　＝一＿４１，故　（　，０）＝　１（ｅ　—ｅ一　）．为此，选取　（　，ｓ）＝÷（ｅ　一ｅ　）．　知，方程（６）有一特解为　ｓ　（　）：　　ｓ）＝　ｙ（　）：Ｊ　（ｔ，ｓ（　）ｌ厂（ｓ）　＝ｊ　。（７）　容易验证，Ｌ［　（ｔ，　）］＝０，且砂（ｔ，ｔ）＝０，　（ｔ，ｔ）＝ｌ，从而（７）是方程（６）的柯西函数．从而由定理１　ｄ１叶　ＯＣ　。。　。。（ｅ３　２　）一ｅ＿（ｆｆ　）ｅ４ｓｄｓ＝　ｅ　（ｅ　一ｅ　）　＝÷ｅ　，　４『，　Ｊ　进而南引理２知，方程（６）的通解为　），（￡）＝ｅｌ　ｅ　＋ｃ２ｅ　十÷ｅ　．　例２考虑ｎ阶非齐次线性微分方程　Ｙ　（ｔ）：ｌ厂（ｔ）　（８）　的某一解，其中厂（ｔ）连续．　．解易知，方程（８）对应的齐次方程　（ｔ）：０　寥　１，／Ｌ　２　　一．　１ｌ　　一的一个基本解组为：１，ｔ，…，ｔ　，则齐次方程的通解可表示为　（　）＝ｃｌ＋Ｃ２ｔ＋ｃ３ｔ。＋・・・＋ｃｎｔ　．　ｌｌ　Ｃ　一，．　　—记　（￡　ｔ）＝　（ｔ）＝ｃｌ＋Ｃ２ｔ＋Ｃ３ｔ　＋…＋Ｃｎｔ　’，且满足初始条件　（ｔ０）＝ｃｌ＋Ｃ２ｔ０＋Ｃ３ｔ　＋…＋ｃ　￡０ｎ　＝０，　（￡０）＝ｃ２＋２ｃ３￡（）＋…＋（ｎ一１）ｃ　￡　一　＝０，　‘　一　’（ｔ（））＝（凡一２）！ｃ，　ｌ＋（ｎ一１）！ｃ　ｔｏ＝０，　一’（ｔ（））：（ｎ一１）！ｃ　＝１，　直接计算可得．　ｌ　。ｎ　１　２ｎ一３　可’。　可　。￣Ｃｎ－２　ｔ　’．为此．选取　（９）　容易验证，Ｌ［　（ｔ，　）］＝０，且　（ｔ，ｔ）＝０，　（ｔ，ｔ）＝０，…，　（ｔ，ｔ）＝０，　（ｔ，ｔ）＝１，　从而（９）是方程（８）的柯西函数．从而南定理１知，方程（８）的某一解可表示为　ｙ（ｔ）　参考文献：　　。。　ｓ）　Ｊ（￡一ｓ）ｌ　１］壬高椎．常微分方程［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００６：４８—５２．　（２ｌ＿￡华，黄俊杰，阿拉坦仓．二阶常系数非齐次线性常微分方程通解的分离变量法［ｊ］．数学的实践与认识，２０１０，２４（５）：　２６０—２６３．　［３］陈华喜．ｎ阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法［Ｊ］．湖南丁业大学学报，２０１０，３２（１２）：４２—４４．　［４］陈华喜．高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法［Ｊ］宜春学院学报，２０１０，３２（１２）：ｌ３一ｌ４．　【５　１　Ｇｏｈｓｅｒ　Ｙａｋｏｖ，Ｄｏｍｏｓｈｎｉｔｓｋｙ　Ａｌｅｘａｎｄｅｒ．Ａｂｏｕｔ　Ｒｅｄｕｅｉｎｇ　ｌｎｔｅｇｒｏ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｆｉｎｉｔｅ　Ｌｉｍｉｔｓ　ｏｆ　ｌｎｔｅｒｇｒａｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｔ）ｆ．Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ＥｑｕａｔｉＯＩｌＳ，２０１３（１）：ｌ８７．　［责任编校：张永军］