将军饮马

【摘要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题，是较多学生解题的“障碍”问题，现在通过举例说明“将军饮马问题”在三角形，四边形，圆，抛物线，坐标轴中的综合运用，希望能为初中学生的中考复习和教师的备课提供良好的素材． 【关键词】轴对称 最小值 问题探究 问题启示 【正文】

一、问题背景

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．如图1，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

BABAllA'

图1

分析：在河边l饮马的地点有很多点，问题就是在河边l上找一个点，使得这个点到A，B两点的距离之和最小，那么如何找到这一个点呢？

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置. 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结A C′，B C′， B′C′，因为直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′， C′B= C′B′，∴AC+CB=AC+C B′=A B′ . 在△A C′B′中，∵A B′＜A C′+ C′B′，∴AC+CB＜A C′+ C′B′即AC+CB最小.

反思：本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在A B′与l的交点上，即A、C 、B′三点共线）。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型。

二、问题探讨

1

1、在三角形（或四边形）中的运用：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点。则DN+MN的最小值为多少？

分析：要求DN+MN的最小值，联想“将军饮马问题”，作点M关于AC的对称点E，且易知点E应该在线段BC上，这样MN=NE，那么题目就转化成求DN+NE的最小值了，由于点N在AC上移动且D、N、E可能构成一个三角形，因为“两点之间线段最短”，所以，当点N移动到DE与AC交点处，即点D、N、E共线时，DN+NE=DE=10，达到最小值。

反思：若引导学生把题中的D、M看着是基本问题中的A、B两点，把AC看着是基本问题中的燃气管道l，本问题即为基本问题，学生可通过基本问题的联想和迁移解决本问题。

2、在平面直角坐标系中的运用：（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为X=－1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A3， 2．0、C0，（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，

若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

分析：（本题只对第2问作详细分析）（1）抛物线的解析式为

y224xx2.（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，要使△PBC周长最小，就是使33PCPB最小。B点关于对称轴的对称点是A点，通过A3，0、C(0，-2)可求AC的解析式34。m1为y2x2．AC与对称轴x1的交点即为所求的点P（3）当时， S1，最大433反思：本题对第2问的解答是转化为“求定直线x1上一动点与直线外两定点B、C的距离和的最小值”，它的原型就是“将军饮马问题”的基本问题，由于和函数结合一起，增加了命题的想象空间，这里，蕴含了丰富的“数”与“形”相互转化的数学思想。

3、在代数式中的运用：已知a 、b均为正数，且 a+b=8，求代数式

a24b216的最小值。

分析：由a 、b均为正数，且 a+b=8，得

a24b216=

a24(8a)216，构造合适图形可将其转化为求两条线段和的最

小值问题。如图，取AC=2，BD=4，AB=8，作C关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于

2

P，连接CP，设PA=a，则PB=8－a，CP=

2，DP=(8a)16。此时C′、P、D三

点共线，C′D=CP+DP=8262=10为最小值。

反思：正是由于a 、b均为正数，可以把此题构造“将军饮马问题”的基本图形，顺利地求出a24b29的最小值为13，想法新奇但又顺理成章。

三、问题推广

1、由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题：义务教育课程标准实验教科书八年级上册P47第9题，如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。 分析：作A关于MN的对称点G，B关于直线l的对称点H，连接GH交MN于I，交直线l于L，连接AI、BL，即可得出答案； G反思：根据对称点推出AI=GI，BL=HL，HK=BK，AJ=GJ，则四点G、I、L、H在同一直线上

（基本问题中三点共线的推广），根据两点之间线段最短即可求出答案。

2、从用“三角形周长最短”证明推广到用“一边为定值的四边形周长最短”的证明：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

分析：由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小．

反思：此题主要考查轴对称——最短路线问题（将军饮马问题），它是在基本图形证明线段和（一边为定值的三角形周长）最短的基础上增加了平移的线段（GE）和（两边为定值的四边形周长）最短的问题，只要学生充分体会“将军饮马”的问题，通过对基本问题知识的类比与迁移，可以解决此问题．

四、问题启示

基于对“将军饮马问题”的探索，笔者认为对数学教育工作者有两方面的启示：

1、对习题设计者（试卷命题者）的启示：对习题的变式题的设计要“从学生发展的内在需要出发，从教学内容的发生、发展过程的角度出发”，能融数学的教与学为一体，重视知识的形成过程，重视知识的“内化”；对试题的设计要立足于教材，对例题或基本图形进行深入的挖掘，

3

MA河N草地JIKLHlB以教材的例题或基本图形为起点，结合学生的生活经历，难度视本题型在试卷所处的位置而定。

2、对教师教学的启示：从本文的解法反思中可以看出，即使是比较复杂的问题，所用到的知识也是简单的基础问题，这就要求教师在日常的教学中，特别是单元复习和中考复习时，不仅要从不同角度去分析问题，还原知识的发生、发展及形成的过程，教给学生解题的方法，而且要与学生共同探究基本问题与解题的联系，使学生能够说出“为什么这样想”、“用到哪些知识”等，增强学生解答综合题的信心，提高学生解答综合题的成功率。

参考文献：

1、金建荣. 趣谈将军饮马问题[J]. 中学生数学(初中版).2005(2)

2、刘金英、张义民、王立明. 中考数学试题分类解析(二)[ J]。中国数学教育(初中版).2011(1-2)

4