八年级上“数学分类讨论试题”汇总及分析

分类讨论又称逻辑划分，是指在解决一个复杂问题时，应将讨论的对象分成若干相对简单的情况，然后对各种情况逐个讨论，最终使整个问题得以解决。分类的一般原则是不重不漏，特别是不能遗漏所讨论问题的各种情形。

数字的解题过程，实质是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论．

在初二的上半学期中，我们接触了许多关于分类讨论的试题，下面我就来举几个例子。

例1

某电信开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需

交15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者每月不交月租费，每通话1分钟，付话费0.6元。若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为y1和y2元。 （1） 分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（2） 根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？ 分析：

第一问很简单，分别是y1=0.3x+15和y2=0.6x。但第二问有问题，虽然题目上没有说要用分类讨论，但你会发现做起来是必须要用的。当y1=y2时，x=50，所以

1. 当通话时间小于50分钟时，选用乙种通信业务更优惠； 2. 当通话时间等于50分钟时，选用甲种与乙种一样贵；

3. 当通话时间大于50分钟时，选用甲种通信业务更优惠。

例2

已知y、z都是质数，且1/x+1/y=3/z. 求；1998x+5y+3z的值. 分析：

由1/x+1/y=3/z得1/x = 3/z - 1/y =(3y-z)/(yz)所以：x=yz/(3y-z),下面讨论y z为何值时，x为整数（若x不为整数，那这个题目就没法做了）

1.若y z 都为奇质数，则yz为奇，（3y-z）为偶，此时x不可能为整数。故y z 中至少有一个为偶质数2。

2.若y=2，z为奇质数或z=2，y为奇质数，则yz为偶，（3y-z）为奇，此时x也不可能为整数。

可知y=z=2，此时x=1，所以1998x+5y+3z =1998+10+6=2014

上面我们据的几道例题都是与算术有关的，其实分类讨论有时不仅仅可以用来解答算术题，还可以用在几何题方面。

例3

在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2BD·DC，求∠BCA的度数。 分析：

因为题目只说了∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且

AD2BD·DC，并没有说明△ABC是一个什么三角形，所以我们要

采取分类讨论的方法。

1.如图1，当△ABC为锐角三角形时，AD在三角形内，则图1 ∠BCA=90°-25°=65°；

2. 如图2，当△ABC为钝角三角形时，AD在三角形外，则∠BCA=90°+25°=115°。

在数形结合的第五章《位置的确定》中也有用到分类讨论的思想，下面是例题。

例4

在直角坐标系中，已知点P（－2，－1）， 点T（t，0）是x轴上的一个动点.

（1）求点P关于原点的对称点P的坐标； （2）当t取何值时，△PTO是等腰三角形？ 分析： （1）点P关于原点的对称点P的坐标为（2，1）。

（2）此题涉及了两个层次的分类讨论，点的位置的分类与等腰三角形的分类。由题意得：OP5.

1.动点T在原点左侧.

当T1OPO5时，△PTO是等腰三角形. ∴点T1(5,0).

2.动点T在原点右侧.

①当T2OT2P时，△PTO是等腰三角形. 得：T2(,0).

② 当T3OPO时，△PTO是等腰三角形. 得：点T3(5,0).

③ 当T4PPO时，△PTO是等腰三角形. 得：点T4(4,0). 所以，

符合条件的t的值为

总而言之，分类讨论即是一种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，常常能起到简化问题、解决问题的作用．

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