一、选择题：共10题，每题4分，满分40分.每题只有一正确选项，请在答题卡的相应位置填涂.
1．（4分）下列各数属于负整数的是（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣
D．0
2．（4分）2020年中央经济工作会议明确指出：我国二氧化碳排放力争2030年前达到峰值，力争2060年前实现碳中和．据统计，2020年我国人均碳排放量约为6900千克，6900用科学记数法表示为（ ） A．69×102
B．6.9×102
C．6.9×103
D．0.69×104
3．（4分）如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实际的生活垃圾分类处置体系．将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数相同，五次测验的方差如表：
甲
乙
丙
丁
方差 4 2 5 9
如果从四位同学中选出一位状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．（4分）已知一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ） A．12
B．11
C．10
D．9
7．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a4
B．（a+1）（a﹣3）＝a2﹣3 D．（ab）2＝ab2
8．（4分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ） A．C．
B．D．
9．（4分）如图，已知AB是半圆⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CD切半圆⊙O于点E，BD⊥CD于点D，若CD＝8，BD＝6，则半圆⊙O的半径为（ ）
A．3.5
B．4
C．2
D．3.75
10．（4分）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+x3，那么m和n的关系是（ ） A．m＝2n﹣3
B．m＝n2﹣3
C．m＝2n﹣5
D．m＝n2﹣5
二、填空题：共6题，每题4分，满分24分.请将答案填在答题卡的相应位置。 11．（4分）分解因式：a2﹣2a＝ ． 12．（4分）已知
（b≠0），则
的值为 ．
13．（4分）如图，点A（4，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则m＝ ．
14．（4分）已知数据：，
，π，
，0，其中无理数出现的频率为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，连接A′B′，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，菱形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝和y＝第一象限的图象上，则B点的坐标为 ．
三、解答题：共9题，满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，作图或画辅助线需用签字笔描黑. 17．（8分）计算：21﹣（π﹣3.14）0+sin30°．
﹣
18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
19．（8分）先化简，再求值
，其中
．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．
（1）在BC上求作一点D，使得DA＝DB；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若AB＝2，求BD的长．
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DCE．
（1）求证：DE垂直平分BC；
（2）F是DE中点，连接BF，CF，若AC＝2，求四边形ACFB的面积．
22．（10分）某电器商店准备购进甲、乙两种微波炉出售，它们的进价和售价如表．现计划用不超过37500元购进这两种微波炉共100台，其中甲微波炉不少于65台． （1）求甲种微波炉最多购进多少台？
（2）该电器商店对甲种微波炉每台降价a（0＜a＜60）元，乙种微波炉售价不变．如果这100台微波炉都可售完，那么该电器商店如何进货才能获得最大利润？ 微波炉 进价（元/售价（元/
台）
台）
甲 乙
400 300
600 450
23．（10分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.1元/分．已知陈先生的家离上班公司20公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所示： 时间t（分） 次数
10
28
8
4
25≤t＜35 35≤t＜45 45≤t＜55 55≤t＜65
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为25≤t＜65．
（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
（2）若公司每月发放1000元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠ADC＝90°．分别过点B、D作CD、BC的垂线，垂足分别为点E、F，两垂线交于点G． （1）求证：四边形ABGD是平行四边形； （2）若C是优弧
的中点，且sin∠CDF＝，求弦CD的长．
25．（14分）如图，顶点为P（m，m）（m＞0）的二次函数图象与x轴交于点A（2m，0），点B在该图象上，直线OB交二次函数图象对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式（用含m的式子表示）；
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并说明理由． ②求证：∠BNM＝∠ONM．
2021年福建省三明市梅列区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共10题，每题4分，满分40分.每题只有一正确选项，请在答题卡的相应位置填涂.
1．（4分）下列各数属于负整数的是（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣
D．0
【分析】根据负整数的定义即可判定选择项．
【解答】解：在2，﹣2，﹣，0中，属于负整数的是﹣2． 故选：B．
2．（4分）2020年中央经济工作会议明确指出：我国二氧化碳排放力争2030年前达到峰值，力争2060年前实现碳中和．据统计，2020年我国人均碳排放量约为6900千克，6900用科学记数法表示为（ ） A．69×102
B．6.9×102
C．6.9×103
D．0.69×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：6900＝6.9×103， 故选：C．
3．（4分）如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定即可．
【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线． 故选：B．
4．（4分）2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实际的生活垃圾分类处置体系．将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数相同，五次测验的方差如表：
方差
甲 4
乙 2
丙 5
丁 9
如果从四位同学中选出一位状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】根据方差的性质判断即可．
【解答】解：∵四位同学五次数学测验成绩的平均数相同，乙的方差最小， ∴乙同学状态稳定， 故选：B．
6．（4分）已知一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ） A．12
B．11
C．10
D．9
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数． 【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是30°，
∴这个多边形的边数是360°÷30°＝12． 故选：A．
7．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a4
B．（a+1）（a﹣3）＝a2﹣3 D．（ab）2＝ab2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意； B、原式＝a2﹣3a+a﹣3＝a2﹣2a﹣3，不符合题意； C、原式＝a4，符合题意； D、原式＝a2b2，不符合题意． 故选：C．
8．（4分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ） A．C．
B．D．
【分析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：根据题意可得：
，
故选：A．
9．（4分）如图，已知AB是半圆⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CD切半圆⊙O于点E，BD⊥CD于点D，若CD＝8，BD＝6，则半圆⊙O的半径为（ ）
A．3.5
B．4
C．2
D．3.75
【分析】连接OE，由勾股定理求出BC＝10，设OE＝r，证明△COE∽△CBD．得出比例线段
，得出方程
，解方程可得出答案．
【解答】解：连接OE，
在Rt△BDC中，CD＝8，BD＝6， ∴BC＝设OE＝r，
∵CD切半圆O于点E， ∴CE⊥OE， ∴∠CEO＝90°， ∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°＝∠CEO， 又∵∠C＝∠C， ∴△COE∽△CBD． ∴∴即
，
，
＝
＝10，
解得：r＝3.75． 故选：D．
10．（4分）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+x3，那么m和n的关系是（ ） A．m＝2n﹣3
B．m＝n2﹣3
C．m＝2n﹣5
D．m＝n2﹣5
【分析】根据题意设在抛物线上的两点A和B，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得x3＝n﹣3，则C（n﹣3，m），代入解析式，即可求得m＝2n﹣5． 【解答】解：∵y＝ax2﹣3ax+c，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在反直线y＝2x+1上， ∴x1+x2＝3， ∵n＝x1+x2+x3， ∴n＝3+x3， ∴x3＝n﹣3， ∴m＝2（n﹣3）+1， ∴m＝2n﹣5， 故选：C．
二、填空题：共6题，每题4分，满分24分.请将答案填在答题卡的相应位置。 11．（4分）分解因式：a2﹣2a＝ a（a﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案． 【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）． 12．（4分）已知
（b≠0），则
的值为
．
【分析】直接利用已知设a＝2x，b＝3x，进而代入求出答案． 【解答】解：∵∴设a＝2x，b＝3x， 则
的值为：
＝． （b≠0），
故答案为：．
13．（4分）如图，点A（4，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则m＝ 6 ．
【分析】作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义求解即可． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴，垂足为M，由于点A（4，m）在第一象限， 则OM＝4，AM＝m， ∵tanα＝＝， ∴m＝6， 故答案为：6．
14．（4分）已知数据：，
，π，
，0，其中无理数出现的频率为 0.4 ．
【分析】直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【解答】解：∵，
，π，
＝2，0，其中无理数有
，π共2个，
故无理数出现的频率为：＝0.4． 故答案为：0.4．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，连接A′B′，则图中阴影部分的面积为 2π﹣
．
【分析】过C作CD⊥AB于D，解直角三角形求出BC和AB根据三角形的面积求出CD，根据旋转得出B′C＝BC＝2
，AC＝A′C＝2，∠BCB′＝60°，求出△ACA′是等边
三角形，根据等边三角形的性质得出AA′＝AC＝2，求出A′B，再根据阴影部分的面积S＝S扇形BCB′+S△BCA′﹣S△A′CB′求出答案即可． 【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝∵S△ABC＝∴CD＝
＝
＝
＝
， ＝
，
＝2
，
∵△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C， ∴B′C＝BC＝2
，AC＝A′C＝2，∠BCB′＝60°，
∵∠A＝60°，AC＝A′C， ∴△ACA′是等边三角形， ∴AA′＝AC＝2， ∵AB＝4，
∴A′B＝4﹣2＝2＝AA′，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BCB′+S△BCA′﹣S△A′CB′
＝
故答案为：2π﹣
+．
2×﹣2×2＝2π﹣，
16．（4分）如图，菱形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝和y＝第一象限的图象上，则B点的坐标为 （
，
） ．
【分析】连接AC、BD，交于点P，根据菱形和反比例函数的对称性可知A、C在直线y＝x上，即可求得A（1，1），C（2，2），进一步求得P的坐标，根据BD⊥AC，设直线BD为y＝﹣x+b，根据待定系数法即可求得BD的解析式，与y＝联立，解方程组即可求得B的坐标．
【解答】解：连接AC、BD，交于点P，
根据菱形和反比例函数的对称性可知A、C在直线y＝x上， ∴A（1，1），C（2，2）， ∵P是AC的中点， ∴P（，）， ∵BD⊥AC，
∴设直线BD为y＝﹣x+b， 把P（，）代入得＝﹣+b， 解得b＝3，
∴直线BD为y＝﹣x+3，
解得或，
∴B点的坐标为（故答案为（
，
，）．
），
三、解答题：共9题，满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，作图或画辅助线需用签字笔描黑. 17．（8分）计算：21﹣（π﹣3.14）0+sin30°．
﹣
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+ ＝0．
18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【分析】依据等式的性质，即可得到BC＝FE，再根据SSS即可判定△ABC≌△DFE，进而得出∠ABC＝∠DFE，依据AB∥DF，AB＝DF，即可得到四边形ABDF是平行四边形． 【解答】解：∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， ∴BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）， ∴∠ABC＝∠DFE， ∴AB∥DF， 又∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形． 19．（8分）先化简，再求值
，其中
．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（＝＝当x＝原式＝
•， ﹣2时，
＝
＝
．
﹣
）÷
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．
（1）在BC上求作一点D，使得DA＝DB；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若AB＝2，求BD的长．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求作． （2）首先证明AC＝CD＝AB＝2，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求作．
（2）由作图可知，AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠CAB＝180°﹣72°＝108°，
∴∠CAD＝108°﹣36°＝72°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°， ∴∠CAD＝∠CDA， ∴CA＝CD＝AB＝2， ∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C， ∴△BAD∽△BCA， ∴AB：CB＝DB：AB， ∴4＝BD（BD+2）， ∴BD2+2BD﹣4＝0， 解得BD＝
﹣1（负根已经舍弃）．
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DCE．
（1）求证：DE垂直平分BC；
（2）F是DE中点，连接BF，CF，若AC＝2，求四边形ACFB的面积．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝AC，∠A＝∠CDE＝60°，∠ACD＝60°，可证∠ACB＝∠DOB＝90°，由余角的性质和等腰三角形的判定可证CD＝BD，由等腰三角形的性质可得结论；
（2）分别求出△ADC的面积和四边形BDCF的面积，即可求解． 【解答】证明：（1）如图，设BC与DE交于点O，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DCE，
∴CD＝AC，∠A＝∠CDE＝60°，∠ACD＝60°，AB＝DE， ∴△ACD是等边三角形，DE∥AC， ∴∠ACB＝∠DOB＝90°，AD＝CD＝AC， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴CD＝BD， ∴DE垂直平分BC；
（2）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝2， ∴BC＝
AC＝2
，AB＝2AC＝4，
＝2
，
∴S△ACB＝×AC×BC＝×2×2∵AD＝BD，
∴S△ADC＝S△ABC＝×2∵F是DE中点，
∴DF＝EF＝CF＝DE＝AB＝2， ∴S四边形BDCF＝×BC×DF＝2∴四边形ACFB的面积＝2
+
， ＝
，
＝3．
22．（10分）某电器商店准备购进甲、乙两种微波炉出售，它们的进价和售价如表．现计划用不超过37500元购进这两种微波炉共100台，其中甲微波炉不少于65台． （1）求甲种微波炉最多购进多少台？
（2）该电器商店对甲种微波炉每台降价a（0＜a＜60）元，乙种微波炉售价不变．如果这100台微波炉都可售完，那么该电器商店如何进货才能获得最大利润？
微波炉 进价（元/售价（元/
台）
甲 乙
400 300
台） 600 450
【分析】（1）设甲种微波炉购进m台，则乙种微波炉购进（100﹣m）台，然后根据购进这100台微波炉的费用不得超过37500元，列出不等式解答即可；
（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
【解答】解：（1）设甲种微波炉购进m台，则乙种微波炉购进（100﹣m）台， 根据题意，得：解得：65≤m≤75， 答：甲种微波炉购进75台； （2）设总利润为W元，
W＝（600﹣400﹣a）x+（450﹣300）（100﹣x） 即w＝（50﹣a）x+15000．
①当0＜a＜50时，50﹣a＞0，W随x增大而增大，
∴当x＝75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件； ②当a＝50时，所以按哪种方案进货都可以； ③当50＜a＜60时，W随x增大而减小． ∵甲微波炉不少于65台，
∴当x＝65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．
23．（10分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.1元/分．已知陈先生的家离上班公司20公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所示： 时间t（分）
25≤t＜35 35≤t＜45 45≤t＜55 55≤t＜65
，
次数 10 28 8 4
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为25≤t＜65．
（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
（2）若公司每月发放1000元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
（2）根据表格中的数据，可以计算出陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车的费用，然后与1000比较大小，即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， P（35≤x＜65）＝
＝
＝0.8，
即陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率是0.8；
（2）公司每月发放1000元的交通补助费用，足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车，
理由：由题意可得， 陈先生一个月的租车费用为：
×[（30×0.1+20×1）×10+（40×0.1+20×1）×28+
（50×0.1+20×1）×8+（60×0.1+20×1）×4]×22＝530.64（元）， ∵530.64＜1000，
∴公司每月发放1000元的交通补助费用，足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车．
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠ADC＝90°．分别过点B、D作CD、BC的垂线，垂足分别为点E、F，两垂线交于点G． （1）求证：四边形ABGD是平行四边形； （2）若C是优弧
的中点，且sin∠CDF＝，求弦CD的长．
【分析】（1）证明两组对边分别平行即可．
（2）连接AC．首先证明点G在AC上，在Rt△DEG中，sin∠EDG＝＝a，则DG＝AD＝3a，推出DE＝推出EC＝问题．
【解答】（1）证明：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∵DF⊥BC，BE⊥CD，
∴∠DFC＝∠ABC＝90°，∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴DF∥AB，BE∥AD，
∴四边形ABGD是平行四边形．
（2）解：连接AC． ∵∠ADC＝90°， ∴AC是直径， ∵
＝
，
a，推出CD＝3
＝2
a，由EG∥AD，推出
＝，设EG＝
＝，
a，再根据AD2+CD2＝AC2，构建方程求出a，即可解决
∴∠DAC＝∠BAC，CD＝BC， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC， ∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL）， ∴AD＝AB，∠CAD＝∠CAB， ∵四边形ABGD是平行四边形， ∴四边形ABGD是菱形， ∴AC经过点G，
在Rt△DEG中，∵∠DEG＝90°， ∴sin∠EDG＝
＝，
设EG＝a，则DG＝AD＝3a， ∴DE＝∵EG∥AD， ∴
＝
＝， a， a，
＝2
a，
∴EC＝∴CD＝3
∵AD2+CD2＝AC2， ∴9a2+18a2＝36， ∴a＝∴CD＝3
， ×
＝2
．
25．（14分）如图，顶点为P（m，m）（m＞0）的二次函数图象与x轴交于点A（2m，0），点B在该图象上，直线OB交二次函数图象对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式（用含m的式子表示）；
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并说明理由． ②求证：∠BNM＝∠ONM．
【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，所以设出抛物线的交点式，将点O、A的坐标代入后，再将顶点P的坐标代入即可求得二次函数解析式；
（2）①先根据点P的坐标判断△POC为等腰直角三角形，再根据OP＝MN可得点M、N、O都在以MN为直径的圆上，从而证明∠MON＝90°，再利用△OCN≌△ACN，证明∠ONC＝∠ANC，得到∠ONB＝45°，从而证出△NOB的形状；
②先设定PN＝PM＝d，再依次求出直线BO、AN的解析式，将点B的坐标代入后确定A、B、N三点共线，再利用△OCN≌△CAN得到结论． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0）、A（2m，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0）（x﹣2m）， ∵抛物线顶点为P（m，m）， ∴将点P坐标代入得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣2m）； （2）∵P（m，m），对称轴直线l⊥x轴， ∴OC＝CP＝m，
∴△OPC是等腰直角三角形， ∴OP＝
OC＝
m，∠OPC＝45°，
∵OP＝MN， ∴MN＝2OP＝2
m，
∵M、N关于点P对称， ∴MP＝NP＝MN＝
m＝OP，
∴点O、M、N三点都在以点P为圆心、OP为半径的圆上，如图
∴∠MON＝90°， ∵OC＝CA＝
m，∠OCN＝∠CAN＝90°，CN＝CN，
∴△OCN≌△CAN， ∴∠ONC＝∠ANC，
∵∠ONC＝∠OPC＝22.5°， ∴∠ONB＝2∠OPC＝45°， ∴△NOB是等腰直角三角形； ②设PM＝PN＝d， ∵点P坐标为（m，m）， ∴M的坐标为（m，m﹣d）， ∴直线OM的解析式为y＝
，
联立抛物线解析式得：x1＝0，x2＝m+d， ∴点B坐标为（m+d，
），
，
同理点N（m，m+d）可得直线AN的解析式为y＝﹣令x＝m+d代入直线AN解析式得y＝∴点B在AN上，即点A、B、N三点共线， 由（2）得△OCN≌△CAN， ∴∠ONM＝∠CAN＝∠BNM．
，
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