陕西高考理科数学试题及答案详解

陕西高考理科数学试题

及答案详解

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2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷) 第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．

1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝1x2的定义域为M，则RM为( )．

A．[－1,1] B．(－1,1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1)∪(1，＋∞)．

2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )．

A．25 B．30 C．31 D．61

3．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．

A．11 B．12 C．13 D．14

5．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．( )．

A．

12ππ14 B．2 ππ2 D．4

C．

6．(2013陕西，理6)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是．( )．

A．若|z1－z2|＝0，则z1z2 B．若z1z2，则z1z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1z1z2z2 D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22

7．(2013陕西，理7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

8．(2013陕西，理8)设函数

61x,x0,则当f(x)＝xx,x0,x＞0时，

f[f(x)]表达式的展开式中常数项为

A．－20 B．20 C．－15 D．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地

2

中，欲建一个面积不小于300 m的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )．

A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]

10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．

A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]

C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]

第二部分(共100分)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．(2013陕西，理

x2y2511)双曲线1的离心率为

16m4，则m等于

__________．

12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．

13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2

所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．

14．(2013陕西，理14)观察下列等式 2

1＝1 22

1－2＝－3 222

1－2＋3＝6 2222

1－2＋3－4＝－10 ……

照此规律，第n个等式可为__________．

15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．

B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.

C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直

22

线的倾斜角θ为参数，则圆x＋y－x＝0的参数方程为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．

16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a＝cosx,1，2b＝(3sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在0,π上的最大值和最小值． 217．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比

数列．

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.

(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；

(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．

19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．

20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝e，x∈R.

(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；

2

(2)设x＞0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx(m＞0)公共点的个数； (3)设a＜b，比较

fafbfbfa与的大小，并说明理由． 2bax

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）

(陕西卷)

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．

答案：D

2

解析：要使函数f(x)＝1x2有意义，则1－x≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．

答案：C

解析：由算法语句可知y0.5x,x50,

250.6x50,x50,所以当x＝60时，y＝25＋×(60－50)＝25＋6＝31. 3．

答案：C

解析：若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ，由|a·b|＝|a||b|得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a∥b.若a∥b，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a·b|＝|a||b|，故“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件． 4．

答案：B

解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋(k－1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋(k－1)·20≤720，得25＋

1l20≤k≤37－

l.由201≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12

个． 5． 答案：A 解析：S矩形ABCD＝1×2＝2，S扇形ADE＝S扇形CBF＝.由几何概型可知该地

π4点无信号的概率为

P＝

S矩形ABCDS扇形ADES扇形CBFS矩形ABCD2π21π24.

6．

答案：D

解析：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1z2，正确；对于

2

选项B，若z1z2，则z1z2z2，正确；对于选项C，z1·z1＝|z1|，

z2·z2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1z1z2z2，正确；对于选项D，如

22

令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z1＝2i，z2＝－2i，故

不正确． 7．

答案：B

解析：∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴A，故△ABC为直角三角形． 8．

答案：A

解析：当x＞0时，f(x)＝6π2x＜0，则

611f[f(x)]＝xxxxr.

3－r＝0，得r＝

6rr1r6rrrrr3r22Tr1C6(x)(1)C6xx(1)C6x.令x3，此时T4＝(－1)C36＝－20. 9．

答案：C

解析：设矩形另一边长为y，如图所示.

x40y40403

，则

x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，

解得10≤x≤30，故选C．

10． 答案：D

解析：对于选项A，取x＝－，则[－x]＝[]＝1，而－[x]＝－[－]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－，y＝－，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋

β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．

第二部分(共100分)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．

11．答案：9

解析：由双曲线方程知a＝4.又ec5，解得c＝5，故

a416＋m＝25，m＝9. 12． 答案：

解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V13．答案：－4 解析：由y＝|x－1|＝x1,x1,及

x1,x11π2π3＝. 几何体

23π3y＝2画出

可行域如图阴影部分所示．

令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．

2222n＋12n答案：1－2＋3－4＋…＋(－1)n＝(－1)

＋1

·

nn1 2n＋122

解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝1)

n＋1

nn1，故有21－2＋3－4＋…＋(－1)

222n＋12

n＝(－

nn1. 215．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A．答案：2

222222

解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm＋(a＋b)mn＋abn＝ab(m＋n)＋

22222222

2(a＋b)≥2abmn＋2(a＋b)＝4ab＋2(a＋b)＝2(a＋2ab＋b)＝

2

2(a＋b)＝2(当且仅当m＝n＝2时等号成立)．

B．

答案：6

解析：∠C与∠A在同一个O中，所对的弧都是BD，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠A＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△

PED∽△PAE，则PEPD，∴PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝

PAPEPD＋DA＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝C．

xcos2,答案：(θysincos6. 为参数)

yx2

2

解析：由三角函数定义知＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，由x＋y－x＝0得，x＋xtanθ－x＝0，x＝

2

2

2

21＝cosθ，则y＝xtan

1tan2θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，又π时，x＝0，y＝0也适合

2

xcos2,题意，故参数方程为(θ为参数)．

ysincos三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)． 16．

1·(3sin x，cos 2x) 21＝3cos xsin x－cos 2x

231＝sin 2x－cos 2x 22ππ＝cossin 2xsincos 2x

66π2x＝sin. 62π2π(1)f(x)的最小正周期为Tπ，

2解：f(x)＝cosx,即函数f(x)的最小正周期为π.

π2ππ5π∴2x.由正弦函数的性质，

666πππ当2x，即x时，f(x)取得最大值

623ππ1当2x，即x＝0时，f(0)＝，

266π1π5π当2xπ，即x时，f， 26622(2)∵0≤x≤，

1.

∴f(x)的最小值为1.

2因此，f(x)在0,π上最大值是21，最小值是1.

217．

(1)解：设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

2n－1

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q＋…＋a1q，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

n①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1q，

na1,q1,∴Sna11q，∴Sn a11qn,q1.1q1qn(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，

2

(ak＋1＋1)＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

ak12＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

a12q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

kk－1k＋1

∵a1≠0，∴2q＝q＋q.

2

∵q≠0，∴q－2q＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列． 18．

(1)证法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图． ∵AB＝AA1＝2， ∴OA＝OB＝OA1＝1，

∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)． 由A1B1＝AB，易得B1(－1,1,1)． ∵AC＝(－1,0，－1)，BD＝(0，－12,0)，

BB1＝(－1,0,1)， ∴AC1·BD＝0，AC1·BB1＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， ∴A1C⊥平面BB1D1D．

证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．

又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．

22

又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC＝AA1＋

A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C． 又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D． (2)解：设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)，

∵OC＝(－1,0,0)，OB1＝(－1,1,1)，

x0,nOCx0,∴∴

yz.nOB1xyz0,取n＝(0,1，－1)，

由(1)知，AC1＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量， ∴cos θ＝|cos〈n，AC1〉|＝又∵0≤θ≤，∴.

19．

解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”， 则

C1C22324P(A)＝2，P(B)＝3.

C33C55π2π3

11. 222∵事件A与B相互独立，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝

3C12242C4P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝.或PAB234.

3515C3C515C234(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝3，

C55∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为

P(X＝0)＝P(ABC)1224，

35575P(X＝1)＝P(ABC)P(ABC)P(ABC) 22213212320＝， 35535535575P(X＝2)＝P(ABC)＋23222313333， 35535535575P(X＝3)＝P(ABC)＝23318，

35575P(ABC)＋P(

ABC)＝

∴X的分布列为 X 0 P ∴X的数学期望EX＝0

1 2 3 420331814028123. 757575757515

20．

(1)解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，

过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点， ∴|O1M|x242，又|O1A|x42y2， ∴x42y2x242，

2

化简得y＝8x(x≠0)．

2

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y＝8x，

2

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y＝8x.

(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

2

将y＝kx＋b代入y＝8x中，

222

得kx＋(2bk－8)x＋b＝0， 其中Δ＝－32kb＋64＞0. 由求根公式得，x1＋x2＝

b2x1x2＝2k82bkk2，①

，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线， 所以

y1y2， x11x21即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，

(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③

22

将①，②代入③得2kb＋(k＋b)(8－2bk)＋2kb＝0， ∴k＝－b，此时Δ＞0，

∴直线l的方程为y＝k(x－1)， 即直线l过定点(1,0)． 21．

解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.

设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x0，y0)处相切， 则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝解得x0＝e，k

2

1x0，

1e2.

(2)曲线y＝e与y＝mx点个数．

ex令x2xx2

ex的公共点个数等于曲线y2x与y＝m的公共

exx2，则(x)， 3x∴φ′(2)＝0.

当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0,2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，

e2∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为(2).

4e2ex当0＜m＜时，曲线y2与y＝m无公共点；

4xe2ex当m时，曲线y2与y＝m恰有一个公共点；

4xe21当m时，在区间(0,2)内存在x1，使得φ(x1)＞m，在(2，＋

4m∞)内存在x2＝me，使得φ(x2)＞m.由φ(x)的单调性知，曲线

exy2x2

与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点．

综上所述，当x＞0时，

e22

若0＜m＜，曲线y＝f(x)与y＝mx没有公共点；

4e22

若m，曲线y＝f(x)与y＝mx有一个公共点；

4e22

若m，曲线y＝f(x)与y＝mx有两个公共点．

4fafbfbfa(3)解法一：可以证明. 2baeaebebeafafbfbfa事实上， 2ba2babaebeaba2eaba2ba1ba1ba(b＞a)．(*) 2ee2ee2e1x2令(x)x1(x≥0)，

2e112exex124exex120(仅当x＝0时等号成立)， 则(x)x22e12ex122ex12∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.

令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．

fafbfbfaebeaebea解法二：

2ba2babebbeaaebaea2eb2ea＝

2ba

b－ab－aea＝[(b－a)e＋(b－a)－2e＋2]， 2ba设函数u(x)＝xe＋x－2e＋2(x≥0)，

xxx则u′(x)＝e＋xe＋1－2e，

xxxxx令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝e＋e＋xe－2e＝xe≥0(仅当x＝0时等号成立)，

∴u′(x)单调递增，

∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0， ∴u(x)单调递增．

当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.

b－ab－a令x＝b－a，则得(b－a)e＋(b－a)－2e＋2＞0，

ebeaebea>0， ∴2bafafbfbfa因此，. 2baxx