2021年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（4分）计算1﹣3的结果是（ ） A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
2．（4分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算2a2•3a4的结果是（ ） A．5a6 4．（4分）无理数A．2和3之间
B．5a8 在（ ） B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
C．6a6
D．6a8
5．（4分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是（ ） A．中位数
B．众数
C．平均数
D．方差
6．（4分）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（1，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
7．（4分）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧
交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
8．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A．由②推出③，由③推出① C．由③推出①，由①推出②
B．由①推出②，由②推出③ D．由①推出③，由③推出②
9．（4分）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（ ）
A．7+3
B．7+4
C．8+3
D．8+4
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）因式分解：x2﹣9＝ ．
12．（5分）计算的结果是 ．
13．（5分）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
14．（5分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2 S
乙
2
．（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）
15．（5分）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为 ．
16．（5分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分） 17．（8分）计算：|﹣3|18．（8分）解方程组：
．
19．（8分）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
20．（8分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2
﹣y3）的大小：y1﹣y2 y2﹣y3．
21．（10分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
22．（12分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 人数 方式 录播 直播 4 2 16 10 12 16 8 12 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．
（1）求证：△BEF是直角三角形； （2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
24．（14分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
2021年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（4分）计算1﹣3的结果是（ ） A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【解答】解：1﹣3＝1+（﹣3）＝﹣2． 故选：B．
2．（4分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据主视图的意义可知，选项A符合题意， 故选：A．
3．（4分）计算2a2•3a4的结果是（ ） A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
【解答】解：2a2•3a4＝6a6． 故选：C． 4．（4分）无理数A．2和3之间 【解答】解：∵3故选：B．
5．（4分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是（ ） A．中位数
在（ ） B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
B．众数 C．平均数 D．方差
【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数， 故选：A．
6．（4分）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（1，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C（0，﹣1）， ∴C（0+3，﹣1+2）， 即C（3，1）， 故选：D．
7．（4分）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD， ∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD， 故选：D．
8．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A．由②推出③，由③推出① C．由③推出①，由①推出②
B．由①推出②，由②推出③ D．由①推出③，由③推出②
【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形， 故①→②，①→③错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A．
9．（4分）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，
在右侧上升时，情形与左侧相反， 故选：C．
10．（4分）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的
长AD（单位：cm）为（ ）
A．7+3
B．7+4
C．8+3
D．8+4
【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝2∵四边形EMHK是矩形，
∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2， ∵△RMH是等腰直角三角形， ∴RH＝MH＝1，RM
，同法可证NW
，
，
由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4， ∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）．
√_
，
12．（5分）计算的结果是 ．
【解答】解：故答案为：
．
．
13．（5分）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过
点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 6 ．
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点， ∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC， ∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6． 故答案为：6．
14．（5分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2 ＜ S乙
2
．（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）
【解答】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大， 所以s甲2＜S乙2． 故答案为：＜．
15．（5分）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为 55° ．
【解答】解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°， ∴∠ADE+∠DAE＝90°； ∵⊙O与BC相切， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠DAE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∵∠ADE＝55°， ∴∠C＝55°． 故答案为：55°．
16．（5分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 a+b ．（用含a，b的代数式表示）
【解答】解：如图，正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a．故正方形ABCD的面积＝a+b．
故答案为a+b．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分） 17．（8分）计算：|﹣3|
．
【解答】解：原式＝3+2＝3
．
18．（8分）解方程组：
【解答】解：①+②得：4x＝8， 解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1， 则该方程组的解为
，
19．（8分）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE， ∴∠BDE＝∠BAF， ∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠BDE＝∠BAF＝20°，
∴DE＝BD•cos20°≈140×0.94＝131.6（cm）．
答：点D离地面的高度DE约为131.6cm．
20．（8分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2﹣y3）的大小：y1﹣y2 ＞ y2﹣y3．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y
，
把（3，400）代入y解得：k＝1200，
得，400，
∴y与x之间的函数关系式为y；
（2）把x＝6，8，10分别代入y
得，y1 /_D /_D /
∵y1﹣y2＝200﹣150＝50，y2﹣y3＝150﹣120＝30， ∵50＞30， ∴y1﹣y2＞y2﹣y3，
故答案为：＞．
21．（10分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
22．（12分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 人数 方式 录播 直播
0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 4 2 16 10 12 16 8 12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
【解答】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高：
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数， 所以“直播”教学方式学生的参与度更高；
（2）12÷40＝0.3＝30%，
答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%；
（3）“录播”总学生数为800 /()_____________ /___
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200 /_D
“直播”参与度在0.4以下的学生数为600 /_D
所以参与度在0.4以下的学生共有20+30＝50（人）．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF． （1）求证：△BEF是直角三角形； （2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
【解答】（1）证明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF， ∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∴△BEF是直角三角形．
（2）证明：∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠EFB＝∠EDB， ∴∠EFB＝∠BCD， ∵AC＝AD，BC＝BD， ∴AB⊥CD， ∴∠AMC＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠BCD＝∠CAB， ∴∠BFE＝∠CAB， ∵∠ACB＝∠FEB＝90°， ∴△BEF∽△BCA．
（3）解：设EF交AB于J．连接AE． ∵EF与AB互相平分， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD， ∵BD⊥AD，
∴EF∥BD， ∵AJ＝JB， ∴AF＝DF， ∴FJ
BD
，
∴EF＝m，
∵△ABC∽△CBM， ∴BC：MB＝AB：BC，
∴BM，
∵△BEJ∽△BME， ∴BE：BM＝BJ：BE，
∴BE，
∵△BEF∽△BCA，
∴，
即解得m＝2
，
（负根已经舍弃）．
24．（14分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400， ∴当h＝10时，s2有最大值400， ∴当h＝10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； （2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a（20﹣a）＝4b（20﹣b）， ∴20a﹣a2＝20b﹣b2， ∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b）， ∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0， ∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4
()/__
∴当h
时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16，此时h_D20
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
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