春考数学知识点

春考数学知识点

2016天津春季高考数学知识点

一、解不等式

1、小于零，取中间；大于零，取两边 例如：(x – 2)(x + 3) < 0 è – 3 < x < 2 例如：(x + 1)( x – 4) > 0 è x < – 1或x > 4

2、除法不等式：可以变成“乘法”不等式，前提：要把右侧变成0

例如：3、绝对值不等式

> 1 => > 0 => < 0 =>(x – 1)(x – 3) < 0 =>1 < x < 3

① |x – 1| < 3 => – 3 < x – 1 < 3 => – 2 < x < 4 “小于，取中间” ② |x – 2| > 1 => x – 2 < – 1或 x – 2 > 1 =>x < 1或x > 3 “大于，取两边” 4、不等式的解为R、或解为空集的问题

一般情况下，利用判别式b2 – 4ac < 0 (或≤0)进行处理。 例如：x2 – mx + 1 > 0的解为R，求m的取值范围_____ △= b2 – 4ac = m2 – 4 < 0 = > – 2 < m < 2 二、一元二次方程求根公式

ax2 + bx + c = 0，则求根公式：x1,2 = ①当△= b2 – 4ac > 0时，有两个实根； ②当△= b2 – 4ac = 0时，有两个等根 ③当△= b2 – 4ac < 0时，无实根 三、集合

1、A∩B，表示求A、B的公共元素。

例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∩B = {x | 2 < x < 5 } 2、A∪B，表示将A、B的元素全都合在一起，重复写一遍。

例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∪B = {x | 1 < x < 6 } 3、CuA，表示在全集U中求A的补集。

例如：U = {1，2，3，4，5，6}，A = {2，4，5}，则CuA = { 1，3，6 } 三、一元二次函数

1、f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) 对称轴x0 =

2、x无范围时，f(x)的最大值或最小值，只需将x0代入f(x)可得最大值或最小值： ①a > 0，开口向上，f(x0)为最小值；②a < 0，开口向下，f(x0)为最大值

3、若x有范围，则画出f(x)的示意图，再将x的范围标上，找f(x)的最高和最低值即可

例如：y = x2 – 4x + 5，x∈[ 1,4]，求函数的最大值和最小值。 示意图如右，对称轴为x = 2，标出x的范围，可以看出： ymin = f(2) = 1，ymax = f(4) = 5

四、指数与指数函数 1、运算性质

a0 = 1，am an = am+n，(am)n = amn，(ab)n = anbn，，，

2、单调性

，

f(x) = ax ( a > 0，a≠1) 当0 < a < 1时，f(x)为下降；当a > 1时，f(x)为上升；

例如：解不等式：22x – 1 <

不等式可以化为：22x – 1 < 2–2，因为a = 2为上升的，所以：2x – 1 < – 2，得x < – 1/2五、对数与对数函数 1、运算性质

ab = N < == > logaN = b，当a = 10时，logaN = lgN

logaMN = logaM + logaN，loga loga1 = 0，logaa = 1 2、实用性质：

= logaM - logaN，

logab == >当a、b同时大于1或同时小于1，则logab > 0 logab == >当a、b中一个小于1，另一个大于1，则logab < 0

例如：3、单调性

< 0；> 0等。

f(x) = logax ( a > 0，a≠1) 当0 < a < 1时，f(x)为下降；当a > 1时，f(x)为上升； 六、常用函数

1、正比例函数：y = kx (k可正可负) 例：正比例函数f(x)过点(2，6)，求f(1)

解：设y = kx，代入点(2，6)，得6 = 2k，∴k = 3，∴y = 3x，所以y(1) = 3

2、反比例函数：y = (k可正可负)，同法同上类似。

3、一次函数：y = kx + b

也表示直线，其中k为斜率，当k > 0时，上升；当k < 0时，下降。 七、定义域求法 1、分母不为0

2、偶次根式内要大于等于0 3、对数内的式子要大于0

例如：求y =八、奇函数与偶函数

定义域。根据上面法则得：，即可求出定义域。

1、偶函数：f( – x ) = f( x )

①偶函数的图像关于y轴对称；

②偶函数求参数问题，可以取x = 1进行求解参数。 例如：已知f(x) = ( x – m )( x + 3 )为偶函数，求m

解：可以取x = 1，利用f(– 1) = f(1)求m，f(–1) = 2(–1 – m) = – 2 – 2m，f(1) = 4(1 – m) 由f(– 1) = f(1)，可得m = 3

③常见的偶函数：y = x2，y = cosx，y = | x | 2、奇函数：f( – x ) = – f( x )

①奇函数的图像关于原点对称（即斜对称）； ②若f(0)有意义，则f(0) = 0

③奇函数求参数问题：可利用f(0) = 0求解参数；若f(0) = 0求解失效，可取x = 1求解参数。

例如：已知f(x) =为奇函数，求m

解：取x = 0，利用f(0) = 0求m，f(0) = m – 2 = 0，可得m = 2

④常见的奇函数：y = x，y =九、向量

，y = x3，y = sinx，y = tanx

1、设向量a，则| a |表示向量a的模，即向量a的长度。 2、向量平行于垂直定理： ①若a、b平行，则a = kb ②若a⊥b，则ab = 0 3、a2 = | a |2 4、向量夹角公式：

，其中θ为两向量的夹角。

说明：只要题目中牵涉到角的问题，则必须用上面的公式。 5、向量的坐标运算：设a = (x1，y1)，b = (x2，y2) ① a±b = (x1±x2，y1±y2 ) ② ab = x1x2 + y1y2 ③ | a | =

=(x2 – x1，y2 – y1)

④ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量

④若a // b，则：x1y2 = x2y1，若a⊥b，则：ab = x1x2 + y1y2 = 0 例1：a = (m + 1，3)，b = ( - 2m，8)，若a⊥b，求m。

解：因为垂直，所以ab= 0，∴- 2m(m + 1) + 24 = 0，解得m = 3或m = - 4 十、数列 1、等差数列

①通项公式：an = a1 + (n – 1)d

②前n项和公式：Sn =，一般情况下，均利用第1个公式。

③等差中项：若a、b、c为等差数列，则a + c = 2b，b称为等差中项。

说明：做等差题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和d，即可求解。 2、等比数列

①通项公式：an = a1 qn - 1

②前n项和公式：Sn =，一般情况下，均利用第1个公式。

③等比中项：若a、b、c为等比数列，则ac = b2，b称为等比中项。

说明：做等比题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和q，再利用除法运算可求解。 十一、排列、组合 1、排列：

= n(n – 1)…(n – m + 1)，即从n开始向下乘，共乘m个数。

2、组合：=，其中分子是从n开始向下乘，共乘m个数。

说明：如果顺序变化，结果不相同，则为排列；若结果与顺序无关，则为组合。 3、常见排列：站队、排值日、组成3位数字、选课代表、选班长等。 4、常见组合：任取几个球、任取几个人、任取几件产品等均为组合。 5、排列组合的常见模型

①捆绑法：例如6个人站队，甲、乙需要相邻，有多少种站法？ 可以将甲、乙捆绑为1人进行处理，相等于5人，共有种站法。

②插空法：例如5男3女站队，要求女生不相邻，求排法？ 先排男生

，产生6个空位，再从6个空位选择3个给女生，所以为

种站法，其中甲、乙两人之间还可以排列，所以共

③骰子题目：只需列出36种可能，再按照题目要求进行排查即可。

④住房问题：例如：4人住3个不同房间，每个房间至少一人，共有多少种住法？ 同一个房间的二人无顺序，因此，先要绑定二人十二、概率、统计 1、概率

①排列组合算概率：概率p = 相关数 / 总数 ②概率算概率：这类题目一般不需要排列。

例如：甲投篮命中率为0.9，乙命中率为0.8，两人各投一次，求至少一人命中的概率。 所求为：甲命中·乙未命中 + 甲未命中·乙命中 + 甲乙均命中 = 0.9×0.2 + 0.1×0.8 + 0.9×0.8 = 0.98

处理这类题目，一定将过程弄清楚，过程清楚了，式子自然就出来了。 ③伯努力公式：

设单次试验发生的概率为p，则重复做n次试验，恰好发生k次的概率：特点：连续试验，恰好发生k次。

例如：投篮命中率为0.9，现连续投篮3次，则恰好投中两次的概率是多少？ 解：此题为伯努力题型，n = 3，k = 2，p = 0.9 所以：p =

= 0.243

，相当于3人，再安排到每个房间，所以共有住法

3、概率分布 例如：设随机变量ξ的分布列为： ξ P 1 0.2 2 0.2 3 0.3 4 0.3 ①分布列的特点：所有概率之和为1 ②均值或期望Eξ的计算公式：上下相乘，再加起来：1×0.2 + 2×0.2 + 3×0.3 + 4×0.3 = 2.7 ③方差Dξ的计算公式：Dξ = E(ξ2) – [ E(ξ) ]2 其中E(ξ2) = 12×0.2 + 22×0.2 + 32×0.3 + 42×0.3 = 8.5 即用ξ 的平方×对应的概率值，再求和即可。 所以，对于本例，Dξ = E(ξ2) – [ E(ξ) ]2 = 8.5 – (2.7)2 = 0.71 ④求P(2≤ξ≤3)，只需将ξ = 2或ξ = 3的概率相加即可。P(2≤ξ≤3) = 0.2 + 0.3 = 0.5 3、分层抽样 按比例计算即可。 4、频率直方图 ①样本容量：所研究的元素的个数。例如从全校1000名学生中抽取50人进行测试，则50为样本容量。 ②频率：相当于概率，或百分比 ③频数：元素个数 例如：从全校1000名学生中取50（50即为容量，不是1000）人测试，测试结果如下： 分数范围 人数 频率 10-60分 10 0.2 60-90分 35 0.7 90分以上 5 0.1 其中各组人数即为频数。频率也是百分比，或概率。 ④频率直方图 频率直方图左侧的y轴数据，是利用频率除以组距得到的，因此，若要利用左侧的数据计算频率(或百分比)，就用“左侧的数×组距”即可。 注意：左侧的所有数之和×组距 = 1

十三、三角 1、特殊角的三角函数值 Α sinα 0° 0 30° 45° 60° 90° 1 120° 135° 150° 180° 0 270° - 1

2、cosα 1 0 - -1 - - 0 任意角的三角函数：设角tanα 0 1 × - -1 - 0 × α终边上一点P(x，y)，r =，则：

sinα = cosα = tanα =

3、各三角函数的正负情况：

sinα：①②正，③④负； cosα：①④正，②③负 tanα：①③正，②④负 4、同角三角函数关闭

sin2α + cos2α = 1 tanα =5、诱导公式：纵变横不变，正负看象限

纵变横不变：若角为纵角，如，等，诱导时就需要变，sinα，cosα之间变。

若角为恒角如π等，则函数不需要变。 正负看象限：看原始函数所在象限的正负情况。

例1：sin(π + α)，因为π为横角，所以不变仍为sinα，又因为π + α表示第三象限，正弦在第三象限为负的，因此，诱导结果为：sin(π + α) = - sinα

例2：cos(+ α)，因为π/2为纵角，所以需要变为sinα，又因为π/2 + α表示第二象限，余弦在第二象限为负的，

因此，诱导结果为：cos(6、加法公式

+ α) = - sinα

①sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ ②cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ

③tan(α + β) =7、二倍角公式

①sin2α = 2sinα cosα

tan(α – β) =

②cos2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α = cos2α – sin2α

③tan2α =