2017 年普通高等学校招生全国统一考试
满分 150 分。考试用时
120 分钟。
理科数学
一、选择题：本题共 1．已知集合 A
12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x | x 1 ，B
{ x |3x 1} ，则
A． A I B { x | x 0}
B ．AUB R
C． A U B { x | x 1}
. 正方形内切圆中的黑
D．AI B
2．如图， 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图
色部分关于正方形的中心成中心对称 概率是
色部分和白
. 在正方形内随机取一点，则此点取自
黑色部分的
A．
1
B．
C ．
1
D．
4
8
2 4
3．设有下面四个命题
p1 ：若复数 z 满足
1
R ，则 z
R ；
p2 ：若复数 z 满足 z2 R ，则 z
R ；
z
，则p3 ：若复数 z1, z2 满足 z1 z2
R ，则 z1
z2 ；
p4 ：若复数 z R z
R
.
其中的真命题为
A． p1, p3
B． p1 , p4
C． p2 , p3
D． p2 , p4
4．记 Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和．若 a4
a5 24， S6
48 ，则 { an } 的公差为
A．1
B． 2
C． 4
D． 8
5．函数 f (x) 在 (
,
) 单调递减，且为奇函数．若
f (1) 1，则满足
1 f ( x 2)
1的 x 的取值范围是A． [ 2,2]C．
D．1
B． [ 1,1]
[0,4]
[1,3]
6． (1
)(1 x)6 展开式中 x2 的系数为
x2
A． 15
B． 20
C． 30 D． 35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形
组成，正形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形 . 该多面体的各个面中有若干个是梯形，
这些梯形面积之和为
A．10 B
． 12 C ． 14 D ． 16
方
的
8．右面程序框图是为了求出满足
3n 2n 1000 的最小偶数 n ，那么在
． A
和 两个空白框中，可以分别填入
A．
A 1000 和 n n
1 B
1000 和 n n 2
C． A 1000 和 n n 1 D ． A 1000 和 n n 2
9．已知曲线 C1 : y cos x,C2 : y sin(2 x
2
) ，则下面结论正确的是
3
2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的
π 6
个单位长度， 得到曲线 C2
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度，得到曲线
C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
1 2 1 2
倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度， 得到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度，得到曲线
C2
10．已知 F 为抛物线 C : y2
4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1, l2 ，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l 2 与
C 交于 D、 E 两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为
A． 16
B． 14 C． 12 D．10
11．设 xyz为正数，且 2x
3y
5z ，则
A． 2x
3y 5z B ． 5z 2x 3y C ． 3y 5z 2x D． 3 y 2x 5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题
获取软件激活码”的活动
. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1， 1，2， 1， 2， 4， 1，2， 4，
8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是
20 ，接下来的两项是 20 , 21 ，再接下来的三项是 20 , 21, 22 ，依此类推。
求满足如下条件的最小整数
N : N 100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是
C． 220
D．110
A． 440 B． 330
二、填空题：本题共 13．已知向量 ，
4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 的夹角为 60°， | |=2 ，| |=1 ，则 |
+2 |=
a b
a b
a b
x 2 y 2x y x y 0
y2 b2
1
14．设 x, y 满足约束条件
1，则 z 3x 2 y 的最小值为
15．已知双曲线 C :
x2
1(a 0, b
0) 的右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A与双曲线 C的一条
a2
渐近线交于 M、N两点。若
16．如图，圆形纸片的圆心为
MAN
O
60o ，则 C 的离心率为 ________。
ABC
的中心为
，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形
以
O D E F
。 、 、
为圆 上的点，
O
△ DBC，△ ECA，△ FAB分别是以 折起△
3
BC， CA， AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别
BC， CA，AB为折痕
，△ ，△ ，使得 、 、 重合，得到三棱锥。 当△
的边长变化时， 所得三棱锥体积 （单位：
DBC ECA FAB D E F ABC
cm）的最大值为 _______。
三、解答题：共
70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共
60 分。
17．（12 分）△ ABC的内角 A， B，C的对边分别为
a2
a， b， c，已知△ ABC的面积为
3sin A
（ 1）求 sin B sin C ;
（ 2）若 6cos B cosC
1,a 3 ，求△ ABC的周长 .
18. （12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB//CD，且 BAP
CDP
90o .
（ 1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（ 2）若
===，
o
，求二面角
- - 的余弦值 .
PA PD AB DC
APD 90
A PBC
19．（ 12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件， 并测量其尺寸 （单
位： cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N ( , 2 ) ．
3 ) 之外的零件数，求
（ 1）假设生产状态正常，记
X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( 3 ,
P( X 1) 及 X 的数学期望；
（ 2）一天内抽检零件中， 如果出现了尺寸在
( 3 , 3 ) 之外的零件， 就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
9.95
16 个零件的尺寸： 9.96 10.13
16
10.12 9.91
9.96 10.02
10.01 9.22
9.92 10.04
16
9.98 10.05
10.04 9.95
10.26
经计算得 x
1
16
xi 9.97 ， s
16 i 1
1,2, ,16 ．
1( xi x )2 16 i 1
1 (
xi2 16x 2 )2 0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个
16 i 1
零件的尺寸， i
用样本平均数
x 作为
的估计值
? ，用样本标准差 s 作为 的估计值
?，利用估计值判断是否需对当天的生
产过程进行检查？剔除
? ? ? ( 3 , ? 之外的数据，用剩下的数据估计 3 )
N( , 2)，则 P( 0.09
和
（精确到 0.01 ）．
附：若随机变量
Z 服从正态分布
，
3
Z
3 ) 0.997 4 ，
0.997 4 16 0.959 2 20. （ 12 分）
．
0.008
已知椭圆 ：
C
x2
2
y2 b
2 =1
（ >
a b
>0），四点 1（ 1,1 ）， 2（ 0,1 ）， 3（– 1，
P
P
P
32
）， 4（1，
P
3 ）中恰有三点在椭
a
2
圆 C上 .
（ 1）求 C的方程；
（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为– 1，证明： l 过定点 . 21. （ 12 分）
已知函数
f (x)
ae2x (a 2) ex x
（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；
（ 2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22． [ 选修 4―4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为
x y
3cos sin
, ,
（ θ 为参数），直线 l 的参数方程为
x a 4t , y 1 t ,
（t 为参数） .
（ 1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标； （ 2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （ 10 分）
已知函数 f ( x)x2
17 ，求 a.
ax 4, g(x) | x 1| | x 1|
（ 1）当 （ x）≥ g（ x）的解集；
a 1 时，求不等式 f（ 2）若不等式 f （ x）≥ g（ x）的解集包含 [ – 1， 1] ，求
a 的取值范围 .
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1A , 2B, 3B, 4C, 5D, 6C, 7B, 二、填空题：本题共 13．23
8D, 9D, 10A,
5 分，共 20 分。
11D,
12A.
4 小题，每小题 14． -5
15．
2 3
3
16． 4 15cm3
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
作答。第
22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
60 分。
的内角 ， ，
A B C
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
（一）必考题：共 17．（12 分）△
ABC
的对边分别为 a ， b ， c ，已知△
ABC
的面积为
a2
3sin A
（ 1）求 sin Bsin C;
（ 2）若 6cosBcos C=1， a=3，求△ ABC的周长 .
解：（ 1）由题设得 ac sin B
1
由正弦定理得 sin C sin B
1
2 2
a ，即 c sin B a 3sin A 2 3sin A sin A ，故 sin B sin C 3sin A
2 。
3
2
1
（ 2）由题设及（
1）得2 3
cos B cosC sin B sin C
1
2
，即 cos(B
C )
1 2
所以B C
，故 A
. 由题设得
1 2
bc sin A
a2
，即 bc
8
3
c2
3sin A
3bc 9 ，得 b c
由余弦定理得 b2
bc 9 ，即 (b c)2 33
33
故 ABC 的周长为 3
18.（ 12 分）解：（ 1）由已知 BAP
由于 AB / /CD ，故 AB
CDP
90o ，得 AB
AP ，
CD PD
PD，从而AB 平面 PAD
又 AB 平面 PAB ，所以平面 PAB
（ 2）在平面 PAD 内作 PF 故AB PF，
可得 PF 直角坐标系
平面 PAD
AD ，垂足为 F . 由（ 1）可知， AB
平面 PAD ，
uuur uuur
平面 ABCD . 以 F 为坐标原点， FA 的方向为 x 轴正方向， | AB | 为单位长，建立如图所示的空间 F xyz .
由（ 1）及已知可得 A( ,0,0), P(0,0,
22
2
),B(
2
2
,1,0), C (
2
,1,0) .
2 2
uuur
所以 PC
2 (,1, 2 2 uuur uuur
),CB ( 2,0,0), PA ( 2
2 2
,0,
2 uuur
), AB (0,1,0) 2
设 n
(x, y, z) 是平面 PCB 的法向量，则
uuur
2 x n PC 0,
uuur 即 2 n CB 0
y 0
y
2
z 0,
2
可取 n
(0, 1,
2)
设 m ( x, y, z) 是平面 PAB 的法向量，则
uuur
2 x m PA 0,
uuur 即 2 m AB 0
y 0
2
2 z 0,
可取 m
(1,0,1)
则 cos
n, m
n m | n ||m |
3
3
. 所以二面角 A
PB C 的余弦值为
3 3
.
19．（ 12 分）解：（1）抽取的一个零件的尺寸在
尺寸在 (
( 3 , 3 ) 之内的概率为 0.9974 ，从而零件的
3 ,
P( X
3 ) 之外的概率为 0.0026 ，故 X ~ B(16,0.0026) ，因此
1) 1 P( X
0)
1 0.997416
0.0408
X 的数学期望为 EX 16 0.0026 0.0416
(
3 ,
（ 2）（ i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
中，出现尺寸在
3 ) 之外的概率只有 0.0026 ，一天内抽取的 16 个零件
( 3 , 3 ) 之外的零件的概率只有
0.0408 ，发生的概率很小。因此一旦发生这种
情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检
查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。
（ ii ）由 x 9.97, s 0.212 ，得 的估计值为 ?
9.97, 的估计值为 ? 0.212 ，由样本数据可以看出有一
个零件的尺寸在 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查。
?
剔除 (
? ? 3 ,
1
?
3 ) 之外的数据 9.22 ，剩下数据的平均数为 (16 9.97
15
16
9.22) 10.02 , 因此
的估计值为 10.02.
xi2 16 0.2122
i 1
16 9.97 2
1591.134
?
剔除 (
? ? 3 , ?
3 ) 之外的数据 9.22 ，剩下数据的样本方差为
0.008 .
1 (1591.134 9.222 15 10.022 ) 15
0.09 .
因此
的估计值为 0.008
20. （ 12 分）解：（ 1）由于 P3 , P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知
又由
C经过 P3,P4两点.
1 a
2
1 b2
1 a2
2 知， C 不经过点 P1 ，所以点 P2 在 C 上 4b
3
1
b2 1,
a2 b
4
x2
2
因此
3 1
2 2 a 4b
解得
1
2
1
故 C 的方程为
4
y
1.
（ 2）设直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率分别为 k1 , k2
如果 l 与 x 轴垂直，设 l : x
t ，由题设知 t 0 ，且 | t | 2 ，可得 A, B 的坐标分别为 (t,
4 t 2 ),( t , 4 t 2 )
2
则 k1
4 t 2 2
4 t 2
2
k2
1 ，得 t
2 ，不符合题设 .
2t
2t
从而可设 l : y
kx m(m
1) ，将 y
kx
m 代入 x2
y2 1得
4
(4 k 2 1)x2 8kmx 4m2 4 0 . 由题设可知
16(4 k 2 m2
1) 0
设 A(xx 8km
, x4m24
1, y1 ), B( x2, y2 ) ，则 x1
2 1x2
4k 2 1
4k
2
1
而
k1 k2
y1 1 y2 1 kx1 m 1 kx2 m 1 2kx1x2 (m 1)(xx2 )
1
.
x1 x2 x1 x2 x1 x2
由题设 k1 k2
1 ，故 (2 k 1)x1 x2 (m 1)( x1 x2 ) 0 ,
即 (2 k4m2
4
(m8km
解得 k
m 1
1)
1)
0 .
4k 2 1 4k2 1
2
当且仅当 m
1时，
0，于是 l : ym 1
x m ，所以 l 过定点 (2,
1)
2
2
21. （ 12 分）解：（ 1） f (x) 的定义域为 (
（ i ）若 a （ ii ）若 a
当 x (
,
) ， f ( x) 2ae2 x
,
(a 2)ex
1 ( aex 1)(2ex 1)
0 ，则 f ( x) 0 ，所以 f (x) 在 ( 0 ，则由 f ( x)
0 的 x
) 单调递减
ln a .
, ln a) 时， f ( x) 0 ；当 x ( ln a, ) 时， f ( x) ) 单调递增。
0
所以 f (x) 在 ( , ln a) 单调递减，在 ( ln a,
（ 2）（ i ）若 a 0 ，由（ 1）知， f ( x) 至多有一个零点
（ii ）若 a
0，由（ 1）知，当 x
ln a 时， f (x) 取得最小值，最小值为
f ( ln a) 1
1 a
ln a
① 当 a ② 当 a
1 时，由于 f ( ln a)
(1,
0 ，故 f (x) 只有一个零点；
ln a
) 时，由于 1
1 a
0 ，即 f ( ln a) 0 ，故 f (x) 没有零点；
③ 当 a
(0,1) 时， 1 a ln a
1
0 ，即 f ( ln a)
0 又
又 f ( 2)
ae 4 (a 2)e 2
ln(
2 1) ，
2e 2 2
0
0 ，故 f ( x) 在 (
0
, ln a) 有一个零点。
设正整数 n0 满足 n0
3
a
则 f (n0 ) en0 (aen0 由于 ln( 3a 2) n0
en
n0
2n
n0 0 .
1)
ln a ，因此 f ( x) 在 ( ln a,
) 有一个零点 .
a
综上， a 的取值范围为 (0,1) .
22．解：（ 1）曲线 C 的普通方程为
x2
y 2
1 ，
9
当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x 4y
3 0 21 25
x 4 y 3 0,
由
2
x 9
y 2
1
解得
x 3,
y
x
或 0
24 y
25
从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0),(
21 24
, )
25 25
（ 2）直线 l 的普通方程为 x
4 y a 4
|3cos d
0 ，故 C 上的点 (3cos ,sin ) 到 l 的距离为 4sin
a 4 |
17
当 a
4 时， d 的最大值为
a9
，由题设得
a
17
9 17
17 ，所以 a 8 ；
当 a 4 时， d 的最大值为
a 1
，由题设得 a 1
17 ，所以 a 16 .
17
17
综上， a 8 或 a 16
23．解：
（ 1）当 a 1时，不等式 f ( x) g(x) 等价于
x2
x | x 1| | x 1| 4 0
①
当 x 1 时，①式化为 x2
3x
4 0 ，无解；
当 1
x 1 时，①式化为 x2 0 ，从而 x 2
1 x 1 ；
当 x
1 时，①式化为 x2
x 4
0 ，从而 1 x
1 17
2
所以 f (x)
g (x) 的解集为 { x |
1 x
1 17}
2
（ 2）当 x [ 1,1]时， g( x) 2
所以 f (x) g (x) 的解集包含 [ 1,1]，等价于当 x [ 1,1] 时 f ( x)又 f (x) 在 [
1,1]的最小值必为 f ( 1) 与 f (1)之一，所以
f ( 1)
所以 a 的取值范围为 [ 1,1]
2
2 且 f (1) 2 ，得
1 a 1
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