一元二次方程重难点

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一．一元二次方程的定义

二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 四．含绝对值的一元二次方程 五．根的判别式及韦达定理

①根与系数的关系——对方程根的个数的判别

②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式，证明方程根的个数问题

④利用韦达定理求代数式的值（x1x2,x1x2,x1x2,⑤利用韦达定理求参数的值 五．一元二次方程整数根问题 六．一元二次方程的应用

112,x1x22等） x1x2 基础学习

一．一元二次方程的定义

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 一般形式：ax2bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．

二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）

关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值

【例】已知x是一元二次方程x+3x-1=0的实数根，求代数式：值．

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2

x35(x2)的23x6xx2

a24122

)2【巩固】先化简，再求值：(2，其中a是方程x+3x+1=0的根．

a4a42aa2

2.公共解问题

【思考】已知两个二次方程x+ax+b=0与x+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程

2

2

x2

acbdx0也有一个根为1． 22【例1】一元二次方程x−2x−＝0的某个根，也是一元二次方程x−(k+2)x+

2

2

549＝0的根，4求k的值．

【巩固】当k为何值时，方程x-（k+2）x+12=0和方程2x-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根．

【变式1】若两个不同的关于x的方程x+x+a=0与x+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的值及这两个方程的公共实数根．

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2

2

【变式2】已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x-（a+b）x+ab=0与x-abx+（a+b）=0有没有公共根．请说明理由．

【拓展1】已知：关于x的方程ax+bx+c=0，bx+cx+a=0，cx+ax+b=0有一个相同的实数根，且a•b•c≠0，求a+b+c的值

【拓展2】设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x+2ax+b与x+2cx-b有一个公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．

2

2

2

2

2

2

2

22

三．一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）

【例1】解方程：

（1）2x243x620． （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）

（3）

x1544x22 （4）212x1x1x1x9x3x3 （7）x+2

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x−8＝0 （2）x+x4−6＝0

【巩固】（1）已知关于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5，求a的取值范围．

（2）已知x，y满足方程x+y+2xy-x-y-12=0，求x+y的值．

4

4

2

2

2

2

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2

在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。 【例1】若m、n为有理数，n是无理数，m+n是有理系数方程ax+bx+c=0（a≠0）的一个根，证明：m-n也是这个方程的一个根．

2

【例2】设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围．

x13x32

【例3】当x满足条件1时，求出方程x-2x-4=0的根． 1(x4)(x4)32

【巩固】（1）解方程：x-x-5=0．

2

2x31（2）若不等式组整数解是关于x的方程2x-4=ax的根，求a的值． 1x(x3)2

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四．含绝对值的一元二次方程

【例1】阅读例题，模拟例题解方程．

2

例：解方程x+|x-1|-1=0．

22

解：（1）当x-1≥0即x≥1时，原方程可化为：x+（x-1）-1=0即x+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（x2不合题意，舍去）；

22

（1）当x-1＜0即x＜1时，原方程可化为：x-（x-1）-1=0即x-x=0，解得x3=0，x4=1（x4不合题意，舍去）． 综合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1，x2=0．

2

请模拟以上例题解方程：x+|x+3|-9=0．

【巩固】解方程：（1）x21

【例2】解方程：（1）x-|x-2|-6=0． （2）x-4|x|-5=0．

【巩固】设方程x22x140，求满足该方程的所有根之和．

2

2

192

(x)|x-1| （2）x24x562x 1010 5 / 16

难点突破

五．根的判别式及韦达定理

1根与系数的关系——对方程根的个数的判别 判别式与根的关系

2在实数范围内，一元二次方程axbxc0(a0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是

2否有实数根）由b4ac确定．

22设一元二次方程为axbxc0(a0)，其根的判别式为：b4ac则

2axbxc0(a0)有两个不相等的实数根0①方程

x1,2bb24ac2a．

②0方程axbxc0(a0)有两个相等的实数根

2③0方程axbxc0(a0)没有实数根．

2

2x1x2b2a．

【例1】（1）解方程：x+4x-5=0；

2

（2）求证：无论k取任意值，关于x的一元二次方程x-kx+（k-2）=0一定有两个不相等是实数根．

【巩固1】已知关于x的方程x+ax+a-2=0

（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【巩固2】已知关于x的方程(n1)x2mx10①有两个相等的实数根． 求证：关于y的一元二次方程m2y24mym24n0②必有两个相等的实数根．

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2

【变式】已知关于x的一元二次方程x+2（k-1）x+k-1=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

【巩固】已知关于x的方程x+（2k+1）x+k+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由．

②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程

【例1】关于x的一元二次方程(12k)x22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

【变式】已知关于x的方程x22(m1)xm250有两个不相等的实数根，化简：|1m|m24m4 2

2

22

【例2】关于x的方程a6x28x60有实数根，则整数a的最大值是 ．

2【巩固】若关于x的一元二次方程(k1)x2x10有实数根，则k的最小整数值为_________

【例3】已知：方程mx22m2xm50没有实数根，且m5，求证：m5x22m2xm0 7 / 16

有两个实数根．

【巩固】已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2(7m)x3n0有两个不相等的实数解，x2(4m)xn60有两个相等的实数根，x2(m4)xn10没有实数根，求m、n的值．

③通过判别式，证明方程根的个数问题

【例1】对任意实数m，求证：关于x的方程(m21)x22mxm240无实数根．

【变式】已知方程x22xm10没有实数根，求证：方程x2mx12m1一定有两个不相等的实数根.

【巩固】已知：方程mx22m2xm50没有实数根，且m5，求证：m5x22m2xm0

有两个实数根．

【拔高1】已知关于x的二次方程x2p1xq10与x2p2xq20，求证：当p1p22(q1q2)时，这两个方程中至少有一个方程有实数．

【拔高2】已知实数a、b、c、r、p满足pr2，pc2bra0，求证：一元二次方程ax22bxc0

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必有实根．

④利用韦达定理求代数式的值（x1x2,x1x2,x1x2,112,x1x22等） x1x2【例1】已知关于x的一元二次方程x2-22x+m=0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的最大整数值；

（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22-x1x2的值．

【巩固】已知x1，x2是一元二次方程（m-3）x+2mx+m=0的两个实数根．

（1）是否存在实数m，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；

（2）若|x1-x2|=3，求m的值和此时方程的两根．

⑤利用韦达定理求参数的值

【例1】一元二次方程mx-2mx+m-2=0． （1）若方程有两实数根，求m的范围．

（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1-x2|=1，求m．

22

【巩固1】已知关于x的一元二次方程x+2（m+1）x+m-1=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

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2

2

（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1-x2）=16-x1x2，求实数m的值．

2

【巩固2】已知：关于x的一元二次方程kx-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1-2，写出y关于变量k的函数表达式．

2

【练习】已知关于x的方程mx+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m＞0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若y＝

2

x21，求y与m的函数关系3x1式；

（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤-m成立的m的取值范围．

2

【变式1】关于x的一元二次方程x+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值．

【巩固】已知关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k+2k=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围；

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2

（2）是否存在实数k使得x1•x2-x1-x2≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

【变式2】已知关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

【巩固】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x-2（m+1）x+m+5=0的两实数根． （1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；

（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

【变式3】设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x+2（m-2）x+m-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）若

2

2

2

2

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2

22

111的值； 1，求

x1x232mmx1mx2m2的最大值． 1x11x2（2）求

五．一元二次方程整数根问题

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1.有理数根问题

方程ax2bxc0（a0，a、b、c均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数 2.整数根问题

一元二次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简，分子部分不能有字母，再讨论整数根， 并考虑根为正（负、非正、非负）数。

一元二次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时，如x=a-39-4a，a9-k2要利用换元法，设9-4ak，得出a=，将x中的a全部替换，得出两个不含根号的解，再讨

4论整数根问题，方法同上；若△=4a-9且a为整数，则设4a-9=k

2

2

2，

4a- k=9，可得（2a-k）(2a+k)=9,

22

则讨论整数X整数=9，讨论出所有满足情况的整数即可，注意k≥0

注意：若方程至少有一实数根，那么通过x1,x2推出的相关字母的值，应该取全部情况；若方程有两个实数根（已经确定方程为一元二次方程），那么通过x1,x2推出的相关字母的值，应该取公共解。 1.有理数根问题

131【例1】已知关于x的一元二次方程x2mx(k1)mk2k0有有理根，求k的值。

444

【巩固】设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2(m1)x10有有理根，求m的值．

【例2】设m为整数，且4m40，方程x222m3x4m214m80有两个整数根，求m的值及方程的根．

22【变式】b为何值时，方程 xbx20和x2xb(b1)0有相同的整数根？并且求出它们的整

数根？

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【巩固】当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx24x40与x24mx4m24m50的根都是整数．

六．一元二次方程的应用

一元二次方程的应用类问题大致可以分为五种情况：1.增长率问题；2.商品利润问题；3.图形面积问题；4.传播问题；5.动点问题 1.增长率问题

【例】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？

【变式】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？

【巩固】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升10%，而2004年和2005 年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ ） A.降低了2% B. 没有变化 C.上升了2% D.降低了1.99%

2.商品利润问题

【例】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润，

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尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？

【巩固】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？

【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求， 为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增 加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元 ⑴能使公司的日租金总收入达到19380元？ ⑵使公司的日租金总收入最高？最高是多少？

3.图形面积问题

【例】如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是

500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

【巩固】在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，道路的宽应为多少？

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4.传播问题

【例1】（1）有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有 人得流感．

（2）有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有 人得流感．

【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染电脑会不会超过700台？

5.动点问题

【例1】如图，ABC中，B90，AB6cm，BC8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（点Q到达点C运动停止）．如果点

P，Q分别从点A，B同时出发t秒（t0）

（1）t为何值时，PQ6cm？

（2）t为何值时，可使得PBQ的面积等于8cm2？

C

Q

APB

【巩固】如图所示，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向

200海里处有一重要目标小岛C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发，经

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B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海

A

B 16 / 16

北东D

EC里（结果保留根号）