2009年高考题(数列)

第一部分 选择题

1（2009广东文数） 已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a52,a21，则a1（ ）

12A B

22 C 2 D 2

2（2009广东理数）已知等比数列an满足an0,n1,2,，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1 （ ）

A n(2n1) B (n1)2 C n2 D (n1)2

3（2009安徽文数） 已知an为等差数列，a1a3a5105,a2a4a699，则a20等于 （ ）

A 1 B 1 C 3 D 7

4（2009江西文数） 公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于 （ ）

A 18 B 24 C 60 D 90

5（2009湖南文数） 设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23,a611，则S7等于 （ ）

A 13 B 35 C 49 D 63

6（2009福建理数） 等差数列an的前n项和为Sn，且S36,a14，则公差d等于（ ） A 1 B

53 C 2 D 3

7（2009辽宁文数） 已知an为等差数列，且a72a41,a30，则公差d等于 （ ） A 2 B 12 C

12 D 2

S6S3S9S68（2009辽宁理数） 设等比数列an的前n项和为Sn，若

73833，则 （ ）

A 2 B

C D 3

１

9（2009宁夏海南理数）等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等差数列，若

a11，则S4 （ ）

A 7 B 8 C 15 D 16

10（2009四川文数） 等差数列an的公差不为0，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项和为 （ ）

A 90 B 100 C 145 D 190

11（2009湖北文数） 设xR，记不超过x的最大整数为x，令xxx，则

51,251,2512 （ ）

A 是等差数列但不是等比数列 B 是等比数列但不是等差数列

C 既是等差数列又是等比数列 D 既不是等差数列又不是等比数列 12（2009湖北文数） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10,，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16,，这样的数称为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）

A 289 B 1024 C 1225 D 1378

213（2009宁夏海南文数）等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0,

S2m138，则m （ ）

A 38 B 20 C 10 D 9

14（2009重庆文数） 设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则

an的前n项和Sn A

n2 （ ）

47n4 B

n235n3 C

n223n4 D nn

215（2009安徽理数） 已知an为等差数列，a1a3a5105,a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 （ ） A 21 B 20 C 19 D 18

２

16（2009江西理数） 数列an的通项ann2cos2n3sin2n，其前n项和为Sn，3则S30为 （ ）

A 470 B 490 C 495 D 510

第二部分 填空题

17（2009全国卷I理数） 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972，则

a2a4a9______。

18（2009浙江理数） 设等比数列an的公比q12，前n项和为Sn，则

S4a4______。

19（2009浙江文数） 设等差数列an的前n项和为Sn，则S4,S8S4,S12S8,S16S12成

等差数列。类比以上结论有：设等比数列bn的前n项和为Tn，则T4,________,等比数列。

T16T12成

20（2009北京文数） 若数列an满足a11,an12an(nN)，则a5______，前8

项的和S8______。

21（2009北京理数） 已知数列an满足a4n31,aa2009______，a2014______。

)，若数22（2009江苏） 设an是公比为q的等比数列，q1，令bnan1(n1,2,4n10,an2an,nN，则

列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q______。

23（2009山东文数） 在等差数列an中，a37,a5a26，则a6______。 24（2009全国卷II文数） 设等比数列an的前n项和为Sn，若a11,S64S3，则

a4______。

an,an2k，23a1,a2k1nn25（2009湖北理数） 已知数列an满足a1m(m为正整数)，an1(kZ)，若a61，则m所有可能的取值为____________。

３

26（2009全国卷II理数）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3，则

S9S5 _____。

27（2009辽宁理数）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4______。

228（2009宁夏海南理数）等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0,

S2m138，则m______。

29（2009陕西文数）设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则an______。 30（2009陕西理数）设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则limSnn2n ____。

31（2009宁夏海南文数） 等比数列an的公比q0，已知a21，an2an16an，则an的前4项和S4______。

32（2009湖南理数） 将正△ABC分割成n2(n2,nN)个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时），都分别依次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2，

f(3)_______，f(n)________________。

33（2009重庆理数） 设a12，an1项公式bn___________________。

2an1，bnan2an1，nN，则数列bn的通

第三部分 解答题

34（2009广东文数） 已知点1,是函数f(x)a(a0,a1)的图像上一点，等比数

31x４

列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1SnSn1(n2)。

⑴ 求数列an和bn的通项公式；

11000 ⑵ 若数列的前项和为，问的最小正整数n是多少？ TTnnn2009bbnn135（2009全国卷I理数） 在数列an中，a11,an111n1。 annn2 ⑴ 设bnann，求数列bn的通项公式；

⑵ 求数列an的前n项和Sn。

36（2009浙江文数） 设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n,nN，其中k是常数。 ⑴ 求a1及an；

⑵ 若对于任意的mN，am,a2m,a4m成等比数列，求k的值。

37（2009北京文数） 设数列an的通项公式anpnq(nN,p0)，数列bn定义

如下，对于正整数m,bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值。 ⑴ 若p12,q13，求b3；

⑵ 若p2,q1，求数列bm的前2m项和公式；

 ⑶ 是否存在p和q，使得bm3m2(mN)？如果存在，求p和q的取值范围；如

果不存在，请说明理由。

38（2009北京理数） 已知数集Aa1,a2,,an(1a1a2an,n2)具有性质P：对任意的i,j(1ijn)，aiaj与

ajai两数中至少又一个属于A。

⑴ 分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由； ⑵ 证明：a11，且

a1a2ana11a12a1nan；

⑶ 证明：当n5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列。

５

222239（2009江苏） 设an是公差不为0的等差数列，满足a2a3a4a5，Sn为其前n项和，

S77。

⑴ 求数列an的通项公式及前n项和Sn； ⑵ 试求所有的正整数m，使得

amam1am2为数列an的中项。

40（2009江苏） 对于正整数n2，用Tn表示关于x的一元二次方程x22axb0有实数根的有序数组a,b的组数，其中a,b1,2,,n(a和b可以相等)；对于随机选取的a,b1,2,,n(a和b可以相等)，记Pn为关于x的一元二次方程x22axb0有实

数根的概率。 ⑴ 求Tn和Tn；

22 ⑵ 求证：对任意正整数n2，有Pn11n。

41（2009山东理数） 等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点n,Sn，均在函数ybxr(b0且b1，b,r均为常数)的图像上。 ⑴ 求r的值；

⑵ 当b2时，记bn2log2an1nN，证明：对任意实数nN，不等式

b1b11b21nb1b2bnn1成立。

42（2009山东文数）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点n,Sn，

x均在函数ybr(b0且b1，b,r均为常数)的图像上。

⑴ 求r的值； ⑵ 当b2时，记bnn14annN，求数列bn的前n项和Tn。

43（2009全国卷II文数） 已知等差数列an中，a3a716,a4a60，求an的前n项和Sn。

６

44（2009广东理数） 已知曲线Cn:x22nxy20(n1,2,)，从点P(1,0)向曲线Cn 引斜率为kn(kn0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)。 ⑴ 求xn和yn的通项公式；

1xn1xnxnyn ⑵ 证明：x1x3x5x2n12sin。

14245（2009安徽理数） 首项为正数的数列an满足an1(an3),nN。

⑴ 证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数； ⑵ 若对一切nN，都有an1an，求a1的取值范围。

46（2009安徽文数） 已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和

Tn2bn。

⑴ 求数列an和bn的通项公式；

2 ⑵ 设cnanbn，证明当且仅当n3时，cn1cn。

47（2009江西文数） 数列an的通项ann2cos2n3sin2n，其前n项和为Sn。 3 ⑴ 求Sn； ⑵ bnS3nn4n，求数列bn的前n项和Tn。

48（2009江西理数） 各项均为正数的数列an，a1a,a2b，且对满足mnpq的正整数m,n,p,q都有

1245aman(1am)(1an)apaq(1ap)(1aq)。

⑴ 当a,b时，求通项an；

1an。

⑵ 证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有

n149（2009天津文数） 已知等差数列an的公差d不为0，设Sna1a2qanq，

Tna1a2q(1)n1anqn1,q0,nN。

 ⑴ 若q1,a11,S315，求数列an的通项公式；

７

⑵ 若a1d，且S1,S2,S3成等比数列，求q的值； ⑶ 若q1，证明(1q)S2n(1q)T2n2dq(1q1q22n),nN。

150（2009湖北理数） 已知数列an的前n项和Snan2n12(n为正整数)。

⑴ 令bn2nan，求证数列an是等差数列，并求an的通项公式； ⑵ 令cnn1nan,Tnc1c2cn，试比较Tn与

5n2n1的大小，并予以证明。

51（2009四川文数） 设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn4an1an(nN)。

 ⑴ 求数列an和数列bn的通项公式；

⑵ 设数列bn的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由。

 ⑶ 记cnb2nb2n1(nN)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都

有Tn32。

52（2009全国卷II理数） 设数列an的前n项和为Sn，已知a11,Sn14an2。 ⑴ 设bnan12an，证明数列bn是等比数列； ⑵ 求数列an的通项公式。

53（2009湖南文数） 对于数列un，若存在常数M0，对任意的nN，恒有un1ununun1u2u1M，则称数列un为B数列。

⑴ 首项为1，公比为12的等比数列是否为B数列？请说明理由；

⑵ 设Sn是数列xn的前n项和，给出下列两组判断：

A组：①数列xn是B数列 ②数列xn不是B数列 B组：③数列Sn是B数列 ④数列Sn不是B数列

８

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论。

2⑶ 若数列an是B数列，证明：数列an也是B数列。

54（2009辽宁文数） 等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,S3,S2成等差数列。 ⑴ 求an的公比q； ⑵ 求a1a33，求Sn。

55（2009陕西文数） 已知数列an满足a11,a22,an2 ⑴ 令bnan1an，证明：bn是等比数列； ⑵ 求an的通项公式。

56（2009陕西理数） 已知数列xn满足x112,xn111xn,nN。

anan12,nN。

 ⑴ 猜想数列xn的单调性，并证明你的结论；

12xn65n1 ⑵ 证明：xn1。

57（2009湖北文数） 已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655，

a2a716。

⑴ 求数列an的通项公式； ⑵ 若数列an和数列bn满足an的前n项和Sn。

58（2009湖南理数）对于数列un，若存在常数M0，对任意的nN，恒有un1ununun1u2u1M，则称数列un为B数列。

b12b222b323bn2n(n为正整数)，求数列bn ⑴ 首项为1，公比为qq1的等比数列是否为B数列？请说明理由。 ⑵ 设Sn是数列xn的前n项和，给出下列两组判断：

A组：①数列xn是B数列 ②数列xn不是B数列

９

B组：③数列Sn是B数列 ④数列Sn不是B数列

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论。

⑶ 若数列an，bn都是B数列，证明：数列anbn也是B数列。

59（2009天津理数） 已知等差数列an的公差为d(d0)，等比数列bn的公比为q

(q1)，设Sna1b1a2b2anbn,Tna1b1a2b2(1)n1anbn,nN。

 ⑴ 若a1b11,d2,q3，求S3的值； ⑵ 若b11，证明(1q)S2n(1q)T2n2dq(1q1q22n),nN；

 ⑶ 若正数n满足2nq，设k1,k2,,kn和l1,l2,,ln是1,2,,n的两个不同的数列，

c1ak1b1ak2b2aknbn,c2al1b1al2b2alnbn，证明c1c2。

60（2009四川理数）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn4an1an(nN)。

 ⑴ 求数列bn的通项公式；

 ⑵ 记cnb2nb2n1(nN)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都

有Tn32。

⑶ 设数列bn的前n项和为Rn，已知正实数满足对任意正整数n，Rnn恒成立，求的最小值。

61（2009福建文数） 等比数列an中，已知a12,a416。 ⑴ 求数列an的通项公式；

⑵ 若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn。

１０

62（2009上海理数） 已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。 ⑴ 若an3n1，是否存在m,kN，有amam1ak？说明理由； ⑵ 找出所有数列an和bn，使对一切nN，

an1anbn，并说明理由；

⑶ 若a15,d4,b1q3，试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和是数列bn中的一项，请证明。

63（2009上海文数）已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。 ⑴ 若an3n1，是否存在m,kN，有amam1ak？说明理由；

⑵ 若bnaqn(a,q为常数，且aq0)对任意m存在k，有bmbm1bk，试求a,q满足的充要条件；

n ⑶ 若an2n1,bn3，试确定所有的p，使数列bn中存在某个连续p项的和是数

列an中的一项，请证明。

64（2009重庆理数） 设m个不全相等的正数，a1,a2,,am(m7)依次围成一个圆圈。、 ⑴ 若m2009，且a1,a2,,a1005是公差为d的等差数列，a1,a2009,a2008,,a1006是公比为qd的等比数列；数列a1,a2,,am的前n项和Sn(nm)满足S315，

S2009S200712a1，求通项an(nm)；

⑵ 若每个数an(nm)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

a1a6a7amma1a2am。

2265（2009重庆文数） 已知a11,a24,an24an1an,bnan1an,nN。

 ⑴ 求b1,b2,b3的值；

⑵ 设cnbnbn1，Sn为数列cn的前n项和，求证：Sn17n； ⑶ 求证：b2nbn11n26417。

１１