湖南省醴陵、攸县、浏阳一中2013届高三第五次月考数学文

文科数学

时量：120分钟 分值：150分 命题：钟兴明 审题：胡四一

一．选择题：(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合P{xx(x3)0}，Q{xx2}，则PQ（ ）

A.(-2,0) B. (0,2) C.(2,3) D. (-2,3)

2. 复数=( )

12iA.2i B.12i C.2i D.12i

3. 在△ABC中，“sinAsinB”是“AB”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知二次函数fx的图象如图1所示 , 则其导函数f'5ix的图象大致形状是 （ ）

5. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽样，

已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）

A. 6 B. 10 C. 8 D .9

6．公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且 a3a11=16，则a5=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

y17.若实数x，y满足y2x1，如果目标函数zxy的最小值为2，则实数m=( )

xym A. 8 B. 0 C. 4 D. -8 x2y2

8．双曲线6－3＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝（ ）

A．3 B．2 C．3 D．6

9．设集合Ax,y||x||y|1,Bx,y(yx)(yx)0，MAB，若动点P(x,y)M，则

25,] 221210] 2x2(y1)2的取值范围是（ ）

A．[210,] 22B．[C．[,D．[,]

1522二、填空题：（本题6个小题，每小题5分，满分30分，把答案填在答题卡的相应位置）

10．在空间直角坐标系中，点(1,b,2)关于y轴的对称点是(a,1,c2)，则点P (a,b,c)到坐标原点O的距离

|PO|_____________．

x3t(t为参数)的距离为 。 11、圆C:4Sin的圆心C到直线l:y3t12. 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________________.

13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图所示，则该几何体的

8正(主)视

侧面积为 cm

侧(左)视8

14． 点P在双曲线

，且上•，是这条双曲线的两个焦点，

俯视8

的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

x22,x0,若fxax在x1,1上恒成立，则实数a的取值范围是 . 15. 已知fx3x2,x0三、解答题：（本大题满分75分）

16. （本小题满分12分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，

得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. （1）求出第4组的频率;

（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”

的概率是多少？

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O

频率/组距 75 80 85 90 分数 95 100

17．（本小题满分12分）

 向量m(a1,sinx),n(1,4cos(x)),设函数g(x)mn(aR,且a为常数).

6 （1）若a为任意实数，求g(x)的最小正周期； （2）若g(x)在[o，

）上的最大值与最小值之和为7，求a的值， 3

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，AD＝2，AB=1．SP与平

面ABCD所成角为

． 4（1）求证：平面SPD⊥平面SAP; （2）求三棱锥S－APD的体积，

19. (本小题满分12分)

已知等差数列an满足：a25，a4a622.an的前n项和为Sn. （1）求an 及Sn； （2）若f(x)

1*nN ,（），求数列bn的前n项和Tn. bf(a)nn2x1x2y220．（本小题满分13分）已知点F1,F2分别为椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，点P为椭圆上任

ab意一点，P到焦点F2(1,0)的距离的最大值为21. (1）求椭圆C的方程。

5 (2）点M的坐标为(,0)，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点。对于任意的

4kR,MAMB是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

21．（本小题满分14分）对定义域分别是F、G的函数yf(x)、yg(x)，

fxgx,当xF且xG,当xF且xG, 规定：函数hxfx,当xF且xG.gx,已知函数fxx2，gxalnxaR． ⑴求函数hx的解析式；

⑵对于实数a，函数hx是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．

数学答案（文科）

一．1-9 BCCBCAAAD

二．10.2 11. 22 12. y4x3 13. 80 14. 5 15. [-1,0] 三．解答题

16.解：（Ⅰ）其它组的频率为 （0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0. 8， 所以第四组的频率为0.2，

„5分

（Ⅱ）依题意良好的人数为400.416人，优秀的人数为400.624人

优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人,记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M, 将考试成绩优秀的三名学生记为A,B，C， 考试成绩良好的两名学生记为a,b 从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab共10个基本事件 事件M含的情况是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9个 所以P(M)9 „„„„„12分 10π

17．[解析] g（x）＝m·n＝a＋1＋4sinxcos（x＋）

6

π

＝3sin2x－2sin2x＋a＋1＝3sin2x＋cos2x＋a＝2sin（2x＋）＋a （4分）

6

π

（1）g（x）＝2sin（2x＋）＋a，T＝π． （6分）

6πππ5π

（2）∵0≤x<，∴≤2x＋< 3666

πππ

当2x＋＝，即x＝时，ymax＝2＋a． （8分）

626ππ

当2x＋＝，即x＝0时，ymin＝1＋a， （10分）

66故a＋1＋2＋a＝7，即a＝2． （12分） 18．【答案】

19．解. （1）设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d

∵ a25，a4a622 ∴ a1d5,2a18d22 ∴ an2n1Snn22n, „„„„„„6分

（2）∵ f(x)1x21,bnf(an) ∴ b1na2 „„„„„„7分 n1 ∵a2n2n1 ∴ an14n(n1)

∴ bn14n(n1)14(1n1n1) Tnb1b2b3bn

=

111n4(1- 2+ 2- 13+„+1n-1n1) =14(1-1n1) =4(n1)

所以数列bnn的前n项和Tn=

4(n1) . „„12分

20．【答案】 (1)由题意可知：a+c=2 +1 ，c=1

2∴a=2,b2a2c21 ∴所求椭圆的方程为：x2y21 (2）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x5

1，y1) ,B(x2，y2)，M(4

,0)联立

解得 a13,d2 4k2x1x212k2x22y122222k22 消去y得：（12k）x-4kx2k-20 则2x1x2y=kx-1󰀀12k20

21．解：（1）因为函数f2xalnx,hx2x,xx2的定义域F,，函数gxalnx的定义域G0,，所以

x0,x≤0. „„„„„„4分

（2）当x≤0时，函数hxx单调递减，

2所以函数hx在,0上的最小值为h00．当x0时，hxxalnx．

2若a0，函数hxx．此时，函数hx存在最小值h(0)=0．

2a2x2a0， 若a0，因为hx2xxx所以函数hxxalnx在0,上单调递增．此时，函数hx不存在最小值．

2aa2xx2222xa若a0，因为hx，

xxaa2hxxalnx所以函数在0,上单调递减，在,上单调递增．此时，函数hx的最小值为

22ah． 2因为haaaaaaaaalnln1ln， 22222222aa所以当2e≤a0时，h≥0，当a2e时，h0．

22

综上可知，当a0时，函数hx没有最小值；当2e≤a≤0时，函数hx的最小值为h00；当a2e时，

aaa函数hx的最小值为h1ln．„„„„„„„„„„„„„„14分

222