2006年河南省新乡市高三第三次调研考试理科

2006年河南省新乡市高三第三次调研考试理科数学试卷

参考答案

2006年2月

一、选择题： C D

C A

B A

B C

A B

B D

二、填空题： 13. 15

14. x2y226x250 15. 7 16. （2，2） 三、解答题：

17. 本题考查解三角形、两角和与差的三角函数的有关重要知识及正弦定理应用，考查分析问题的能力。 解：（1）∵tanA ∴0BA ∴

11，tanB 232

2C

tanCtan((AB))tan(AB)tanAtanB1tanAtanB

1123111123

∵

2CC3………………………………5分 4 （2）又∵1tan2A cos2A1 2cosA425310，cosA及cosB 5510

从而sinA510……………………………………7分 ，sinB510ab2R得 sinAsinB 根据正弦定理 a2RsinA2510………………………………9分 ，b2RsinB5511251021absinC………………………12225525 由面积公式得SABC分

18. 本题考查二项式定理、计数原理、等可能事件的概率，数学期望的知识，考查

分析问题的能力及运算能力。

解：（1）由于每个人可以进入任一房间，进入那个房间有5种等可能的方法。根据乘法原理，5人进入5个房间共有55种等可能方法。每个房间恰好进去一人，相当于对5个人进行一个全排列，其排法的种数是5！，故每个房间恰好进去一人的概率

5!24为：P15……………………………………5分

6255 （2）进入一号房间的人数随机变量的取值可以是0，1，2，3，4，5。则

45P(0)P（五人全部进入其他房间）55423C1C5454P(2)5 P(1)555324C54C54P(3)5P(4)555

C5P(5)55…………9分5 Cnn!n(n1)!n1Crn1

r!(nr)!r(r1)!(nr)!r423324C1C54C54C54C54554 E0515253545555

555555432C0C1C2C3C44444444455555555554555554132234C044C44C44C44C4  45(41)41……………………11分54 答：（1）每个房间恰好进去一人的概率为

24； 625 （2）进入1号房间的人数随机变量的数学期望为E1。………………12分 19. 本题考查立体几何中空间线面的位置关系的判断与论证和计算，考查空间想象能力、逻辑思维能力。

解：（1）平面BCC1B1//平面ADD1A1，平面BED1F平面BCC1B1BE 平面BED1F平面ADD1A1D1F ∴BE//D1F

 平面BED1F平面ABB1A1BFBF//D1E

平面BED1F平面CDD1C1D1E平面ABB1A1//平面CDD1C1 ∴四边形BED1F为平行四边形……………………………………3分 设正方体棱长为1，AFx（0x1）， 则BF1x2，D1F1(1x)2，BD13 在△BFD1中有余弦定理得

22(1x2)2(1(1x)2)2(3)2BF2FD1BD1 cos∠BFD1

222BFFD121x1(1x) 2x(x1)2(1x)(1(1x))220

∴∠BFD1>90°

四边形BED1F为平行四边形但不是正方形……………………………………6分

（2）当E为棱CC1、F为棱AA1的中点时，EF//AC 而AC⊥BD，AC⊥BB1 ∴AC⊥平面BB1D1D ∴EF⊥平面BB1D1D

∴平面BED1F⊥平面BB1D1D…………………………………………8分

（3）平面BED1F平面BB1D1DBD1，在BB1D1中过B1作B1G⊥BD1于G，则

B1G⊥平面BED1F

∴∠B1BG就是直线B1B和平面BED1F所成的角，∠B1BG=∠B1BD1 cos∠B1BD1BB1BB13 BD133BB1

 ∵∠B1BD1(0，)

2 ∴∠B1BD1arccos3 33…………………………12分 3 BB1和平面BED1F所成的角的大小为arccos 20. 本题考查导数的几何意义、应用和解析几何的有关知识，考查灵活运用知识的能力。

解答：（1）∵f(x)ex1x

g(x)f(lnx)elnx1lnxexlnx

g'(x)e 当x1x11 时，g'(x)0；当x0时，f'(x)0ee11故g(x)在区间(，)上是增函数，在区间(0，)上是减函数ee1111时，函数g(x)取得最小值gmin(x)g()eln2 eeee 即当且仅当x

………………………………………………6分

11，b ee （2）由g(x)的单调区间知，若0ba kABe…………………………………………9分

111，令y'e则x。这说明曲线y=ln x在点（，1）xee1处的切线与割线AB平行，故所求的切线方程为：y1e(x)，即yex2。

e ylnxy'(lnx)' ………………………………………………………………12分

21. 本题综合考查导数的几何意义、解决解析几何问题的基本方法及向量的基础知识的应用。

解：（1）抛物线yx2的焦点为F（0，

2 A(x1，x1)，又y'(x2)'2x，

11），准线l为：y 44 故A点处切线AP的斜率为：k12x1

22 ∴切线AP的方程为：yx1 2x(xx1)，即y2x1xx1

x11xy2x1xxP28x1 解方程组 1y4y1P421 P(x111，) 28x1411代入抛物线的方程得kxx2x2kx 44 把直线AB的方程为：ykx1x24x1110，设B点的坐标为A（x2，y2），由韦达定理得x1x2 414y2216x1 ∴B(11，) 24x116x11124y2yP16x11，而B点处切线的斜率为： x11x2xP2x1(1)4x128x1 kPB k22x21 2x1 ∴k2kBP故直线BP恰为该抛物线的切线。…………………………7分 （2）P在y轴上时 ∴P(x1x111112，)P(0，)1x1 28x14428x141111 不妨设A(，)，则B(，)，则F恰为线段AB的中点

2424 ∴1

11111 又PF(0，)，PA(，)，PB(，)

22222111111 PF(PAPB)PF(PAPB)(0，)((，)(，))……12分

222222 22. 本题综合考查数列、函数、导数和解含参数的不等式的解法的重要知识，考查

分析问题、解决问题和灵活运用知识解决问题的能力。 解：（1）当n≥2时，x2Sn(nx1)an11 n1

x2Sn1[(n1)x1]an1nana(nx1)n1nn1

x2(SnSn1)x2an[(n1)x1]

2anx(n1)x1)an(nx1)n1nn1a(nx1)(x1)an(nx1)n1nn1( 而0an1(1x)ann1na(1x)(n1)n1………………………………4分n an

又a11计算得a22(1x)a22(1x)a11an1(1x)(n1) ann 故对一切nN， ananan1an2a……2a1 an1an2an3a1(1x)n(1x)(n1)(1x)(n2)2(1x)……(1) n1n2n31n(1x)n1………………………………7分an1(n1)(1x)n(1x)n，则f(1x)xn （2）f(x)n1n1g(x)f(x)f(1x)(1x)nxn，其中0x1g'(x)n(1x)n1nxn1n[(1x)n1xn1] 0x1又n1时(1x)n1、xn10g'(x)0 即n>1时g(x)在（0，1）是增函数……………………………………9分 于是g(logax1)0

11 由于g()0得g(logax1)0g(logax1)g()

22

1logax1logax213logax2 1logax11322logax1logax22

当0a1时，axa，当a1时，axa2 综上所述不等式的解集为：

当0323223232