南宁三中2015届高三第二次月考理科数学

出题人：邹信武 审题人：韦国亮

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的。

1. 设集合S{x|x2},T{x|x3x40},则ðRSA．(－2，1] C．(－∞，1] 2．复数z

B．(－∞，－4] D．[1，＋∞)

2T＝( )

3i1（i为虚数单位）的模是（ ） 1i B.22 C.5 D.8

A.5

3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )

A.5

B.10

C．25

D．10

4．设,为两个不同平面，m、 n为两条不同的直线，且m,n,有两个命题：

P：若m∥n,则∥；q：若m⊥, 则⊥. 那么（ ）

A．“p或q”是假命题

B．“p且q”是真命题

C．“p非p或q”是假命题 D．“p且q”是真命题 5．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如 图，则该几何体的全面积为（ ） A．2+342 B．2+242

C．8+523 D．6+323 6．有两个等差数列{an},{bn}，她们的前n项和分别为Sn,Tn,若

俯视图

正视图 1 1 1 1 2 侧视图

an4n3S，则11（ ） bnn2T11A．

27475752 B． C． D． 8121413

7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )

2A．－1 B.

3

3

C. 2

D．4

8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A．3 B．2 C．

115

D．

3716

9．若函数yf(x)cosx在[3,]上单调递减，则f(x)可以是( ) 44A．1 B．cosx C．sinx D．sinx

10．如图，正方形街道OABC，已知小白从A出发，沿着正方形边缘ABC匀速走动，小白与O连线扫过的正方形内阴影部分面积S是时间t的函数，这个函数的大致图像是（ ）

O A

t O B

t O C

t O D t S S S S x2y211. 设F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点, P是C上一点,若

abPF1PF26a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为( )

A.2 B.22 C.3 D.433

12．小白散步后不慎走丢了，家里很着急，小新和阿呆等6人分配到A,B,C三条街道中寻找，每条街道至少安排1人，其中小新和阿呆同组，且小新不能分配到A街道，则不同的分配方案有（ ）种

A．132 B150． C．80 D．100

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共四小题，每题5分。

13．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于14. 如图, 在ABC中,B45,D是BC边上一点,

S的概率是 ． 4A AD5,AC7,DC3,则AB的长为 .

B

x＋y－1≥0，

15．在平面直角坐标系中，若不等式组x－1≤0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，

ax－y＋1≥0则a的值为

D

（第14题）

C

1x1,x116．已知函数f(x)4，则方程f(x)ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值

lnx,x1范围是

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1a1，

b4S3.

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn111，数列{cn}的前n项和为Tn，证Tn bnbn132

18．（本小题满分12分）

小白被“老大”找到了！小伙伴们喜大普奔啊有木有！为了答谢“老大”，小新他们决定帮

助“老大”做一件事，就是调查双叶幼稚园小朋友在20：00～21：00时间段在做什么？最后小新等做成了下面的数据表： 休闲方式 看电视 看书 合计 性别 男 女 合计 25 10 35 5 10 15 30 20 50 (1)将此样本的频率作为总体的概率估计，随机调查3名男性小朋友，设调查的3名男性小朋友在这一时间段以看电视的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；

(2)根据以上数据，吉永老师能否有99%的把握认为“在20：00～21：00时间段的休闲方式与性别有关系”？

nad－bc2

参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

a＋bc＋da＋cb＋d

参考数据： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90°， 平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

P（1）求证：ABPE；（2）求二面角APBE的大小．

AE D20．（本小题满分12分）

B22C xy已知椭圆C方程为、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆1，已知P（2,3）

1612上位于直线ＰＱ两侧的动点 （1）若直线ＡＢ的斜率为

1 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值； 2（2）当Ａ、B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)xlnx，g(x)2x3 （1）证明：f(x)g(x)

（2）证明：(112)(123)(120142015)e

22．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知a,b,cR,abc220143

3，求证：a2b2c21

南宁三中2015届第二次月考理科数学参考答案

1.C. ∵∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．故选C. 2.A.

3i112i,z5, 1i3.B. ∵a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，2y＋4＝0，则x＝2，y＝－2.∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a

＋b＝(3，－1)．∴a＋b＝4.D. p为假，q为真，故选D

5.A. SS底S侧=（1221）1222232+42

2||

32＋（－1）2＝10.故选B.

12(a1a11)112aS2726.A. 11 6(bb)11T112b68111223

7.D. 根据程序框图计算得S＝4，i＝1；S＝－1，i＝2；S＝，i＝3；S＝，i＝4；S＝4，i32＝5，由此可知S的值呈周期出现，循环周期为4，所以i＝9时与i＝5时输

出的值相同.

2

8.B 易知直线l2：x＝－1为抛物线y＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2

的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物

2

线y＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．

|4－0＋6|

因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝2＝2. 24＋（－3）9.C. 根据y=cosx的图像，A、B显然不成立，C答案， ysinxcosx在[2k2sin(x3)，43],kZ上递减，故选C。

44110.A. 设小白速度为v，则在OB段时，t时刻的面积S|OA|vt，面积成匀速变化，故导数

2,2k图像为线段，同理，BC段也是线段。

11.C. 设|PF1|m,|PF2|n,mn6a，不妨设mn，故mn2a,m4a,n2a，

又由假设得PF1F2是最小角，故

m2|F1F2|2n216a24c24a2322，即c23ac3a0 cosPF1F22m|F1F2|24a2c2e223e30，则e3 12.D 小新和阿呆同组，可将他们看成1个单位，故总体个数为5，则可分为3-1-1，2-2-1两

3111C5C2C1C52C32C112种情况，则()AA2100 222A2A2D E C

A F B

13.

1S. 如图，在当点落在EF线段上时，PBC，故P落在 24阴影部分时符合条件。

5652327212.cosADC,ADC,ADB由正弦定理： 14.2253233ABAD56,AB

sinADBsinABD215. 3. 如图可得阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域，

而直线ax－y＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转， 若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为△ABC的点A和B的坐标分别为A(0，1)和B(1，

1

0)，且S△ABC＝2，设点C的坐标为C(1，y)，则×1×y＝2⇒ y＝4，

2

将点C(1，4)代入ax－y＋1＝0得a＝3.

111，设yax与lnx的切点为(m,lnm)，则x4e1lnm1111k,me,k，而f(x)图像如图，故a[,)

mme44e17. （1）∵an是Sn和1的等差中项， ∴Sn2an1 当n1时，a1S12a11，∴a11 16. [,)依题意得，如图，当x1时，f(x)当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1， ∴an2an1 ，即 an2 an1∴数列{an}是以a11为首项，2为公比的等比数列， n1n∴an2，Sn21 设{bn}的公差为d，b1a11，b413d7，∴d2 ∴bn1(n1)22n1 11111() bnbn1(2n1)(2n1)22n12n1111111111 ∴Tn(1...)(1) 23352n12n122n12nn11当n2,TnTn10 2n12n12n12n1（2）cn∴数列{Tn}是一个递增数列 ∴TnT118. (1)依题意，随机变量X的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方5

式的概率为p＝.

6

111. 综上所述，Tn ……………12分 332150131125

方法一：P(X＝0)＝C3()＝，P(X＝1)＝C3()()＝，

62166672

15225125353

P(X＝2)＝C2，P(X＝3)＝C3()＝. 3()()＝

66726216

∴X的分布列为： X 0 1 2 3 1525125P 216727221615251255∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 21672722162

5k13－k5k方法二：根据题意可得X～B(3，)，∴P(X＝k)＝C3()()，k＝0,1,2,3.

666

55

∴E(X)＝np＝3×＝.

62

(2)提出假设H0：休闲方式与性别无关系，

50(2510105)26.346.635，故没有99%的根据样本提供的2×2列联表得k35153020把握认为“在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别有关系”

19、（1）连结PD， PA=PB，

 PD  AB． DE//BC，BC  AB，

DE AB．

又PDDED ，

AB平面PDE PE平面PDE，

 ABPE ．

（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC． 则DE PD,又ED AB， PD平面AB=D  DE平面PAB,

 过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF  PB  ∠DFE为所求二面角的平面角

33DE3，故二面角的APBE大小为60 ，DF=，则tanDFE22DF平面PAB平面ABC，平面PAB平面法二：z ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．

则：DE=

如图，以D为原点建立空间直角坐标系 B(1，0，0)，P(0，0，3)，E(0，3，0) ，

2_ PPB=(1，0，3 )，PE=(0，

3， 3）． 2_ A_ D_ B_E C_ y 设平面PBE的法向量n1(x,y,z)，

x x3z0,令z3 3y3z0,2DE平面PAB，

得n1(3,2,3)．

平面PAB的法向量为n2(0,1,0)．

设二面角的APBE大小为， 由图知，coscosn1,n2|n1n2|n1n21，所以60,即二面角的APBE大小为60 21x2y2（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为yxt，代入120、

21612

222中整理得xtxt120，△＞0－4＜t＜4，x1+x2=t，x1x2=t12

1四边形APBQ的面积S6x1x2=3483t2，当t0时Smax123

2（2）当APQ＝BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为x2y21中整理得 －k，PA的直线方程为y3k(x2)，代入

16128(2k3)k(34k2)x2+8(32k)kx4(32k)248=0，2+x1=，

34k216k2128(2k3)k48kxxxx同理2+x2=，+=，－=， 112222234k34k34kyy1k(x1x2)4k1，即直线AB的斜率为定值. 从而kAB2=

x2x1x1x2221. （1）令F(x)f(x)g(x)xlnx2x3,(x0) F(x)lnx12lnx1， （1分） 令F(x)0,xe，

x(0,e),F(x)0;，x(e,),F(x)0 （4分） F(x)minF(e)elne2e33e0， （5分） 故f(x)g(x)。 （6分）

2x33（2）由（1）xlnx2x3，得lnx2 （7分）

xx332令x1n(n1)，故ln[1n(n1)]2 （9分）

1n(n1)n(n1)ln(112)ln(123)ln(120142015)220143[111]1223201420151]220143 （11分） 2015即ln[(112)(123)(120142015)]220143

220143则(112)(123)(120142015)e成立。 （12分） 220143[1