勾股定理知识点+对应类型(整理)4.5

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是

勾股数组。）

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三

角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 6.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 7.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则c2

2

2

a2b2，

bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解

决一些实际问题

1

8.记住常见的勾股数可以提高解题速度：（黑色为必背熟悉勾股数） 3 、4 、5 9、40、41 14 、48 、50 18、80 、82 24 、45、51 30、72、78 36、48 、60 42 、56 、70 57 、76 、95 5、12、13 10 、24、26 15、20 、25 20 、21 、29 24 、70 、74 60、80、100 36、77 、85 45、60 、75 60、63 、87 6、8 、10 11、60 、61 15、36 、39 20、48 、52 25 、60 、65 32 、60 、68 39 、52 、65 48、55、73 65、72 、97 7、24 、25 12、16、20 16 、30 、34 21、28 、35 27、36 、45 33 、44 、55 39、80 、89 48、64、80 8、15、17 12 、35、37 16 、3 、65 21 、72、75 28、45、53 33、56 、65 40、42 、58 51 、68、85 9 、12、15 13 、84、85 18 、24 、30 24、32 、40 30 、40、50 35、84、91 40、75 、85 54 、72、90 用含字母的代数式表示n组勾股数： n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

9、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题那么另一个叫做它的逆命题

常见辅助线的作法有以下几种：（构造直角三角形）

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

2

针对训练

（一）基础练习

1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)(bc)0，则ABC为 三角形 2.在ABC中，若a=（b+c）（b-c），则ABC是 三角形，且 90 3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

1.已知x12xy25 与z10z25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。 2.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n1，b=2n，c=n1（n>1）试说明：C=90。

3.若ABC的三边a、b、c满足条件a2bc33810a24b26c，试判断ABC的形状。

4.已知a62b8(c10)0,则以a、b、c为边的三角形是

（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）

A. xy B. xy C. xy D. 不能确定

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

222222222A8B

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ） A. abb B. ab2h C.

22226C

111111 D. 222 abhabh变：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。 求证：（1）

C111（2）abch 222abh（3）以ab，h，ch为三边的三角形是直角三角形

3

ADB

3. 爬行距离最短问题：

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b，假设昆虫甲从点C1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

D1A1B1C1A1D1B1C1DCA图aBADCB图b

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？ 4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ） A.

3a B. 12a C. 3a D.5a

QAMCDBPNAEB

4.折叠问题：

1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） A.

252275 B. C. D. 4343综合实际问题考题

1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。

4

3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。

求边长问题：

1. （1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90 ①已知：a=6，c=10，求b； ②已知：a=40，b=9，求c；

2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

M A B N

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米． ⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

C

利用三角形面积相等：

B1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ） A.

AA33345 D. 2 B. 5 C. 5 52105P'PBC旋转问题：

1.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△

P'AB，则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB= 2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，将ABH绕点A逆时针旋转到ACH处，若AH=3㎝，试求出H、H两点之间的距离。

5

3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积

4、已知直角三角形ABC中，ACB=90，CA=CB，圆心角为45，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MNAMBN的理由。

222CA

MENFB5、如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证：BDCD2AD。

折叠问题：

1. 如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，

那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

AD222EBFC

4.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6 （1）△ACD是什么三角形？为什么？

（2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4， （3）求D'E的长。

DA C'EB

6

C