《最短路径问题》教案

北 京 市 第 七 中 学 教 案 课题名称 授课教师 13.4最短路径问题 刘学弟 授课时间 授课地点 2014年12月4日 三层演播室 教 学 目 标 知 识 与 能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题 技 能 过 程 在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、与 解决问题的能力 方 法 情 感 态 度 在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验 与 价值观 利用轴对称变换解决线段和的最小值问题. 教学重点 教学难点 最短路径问题中位置的确定及说理 引导发现法 诊断p57、书P93-15 教学方法 作业 教 学 环 节 活动一：引入课题 教学媒体 多媒体 师 生 活 动 教 学 意 图 课间操，我们要从2号门出教学楼，从3号门进入操场，利用生活实例（如图）只考虑距离的长短，你会选择那条路？为什么？（如图）测量跳远成绩，运用的是我们学过的什么数学知识？我们称这类问题为最短路径的问题（书写课题），现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，我们先看问题1. 引入课题，激发学生的学习兴趣 活动二：新课讲授 问题1：如图，某天然气公司分别要向两个新建住宅小区提供天然气，需要在主天然气管道上修建一个供气站，问供气站修在主管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 让学生将实际问题抽象成数学问题，为学生搭建台阶，为学AL B生探究问题2提供“脚手架”. 生：将两个小区抽象为两个点A、B，将主天然气管道抽 象为直线l，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小。 师：你的做法是什么？为什么？ 生：连接AB与直线l交于点P,两点之间线段最短。 师：为什么直线l上的其他点不符合要求呢？（几何画板） 生：三角形中两边之和大于第三边。 师：非常好，这个问题我们利用“两点之间线段最短”轻 而易举地解决了。 （随着房地产的不断开发，新建小区层出不穷，天然气公 司又遇到了新的问题） 让学生重温解问题2：如图所示，问供气站修在主管道的什么地方，可决实际问题的使所用的输气管线最短？ 步骤 A 并将“同侧”难B L于解决的问题师：要解决这个实际问题，我们应该先怎么做？ 转化为“异侧”生：先将实际问题转化为数学问题。 容易解决的问师：让有想法的同学上黑板画图，之后小组讨论那种方法题，渗透转化思正确，并请同学上来说明理由。 想 师：教师点评，并提问，能转化另一个点解决问题吗？追 师：你能将这个实际问题抽象为数学问题吗？ 活动三：巩固练习 问：得到的是同一个点吗？ 你能用所学的知识证明你的结论吗？ 教师引导在直线l上任取一点P’，师生共同分析，并给出证明过程 证明：如图，在直线l上任取一点P′（与点P不重合），连接AP′，BP′，B′P′． 由轴对称的性质知，BP =B′P，BP′=B′P′． 在△AB′C′中， AP′+B′P′>AB′， 让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力 ∴AP′+BP′> AP+BP． 即AP+BP最短． 教师追问：为什么任取一点P′（与点P不重合），意义 是什么？ 师生达成共识：若直线l上任意一点（与点P不重合）与 A、B的距离之和都大于AP+BP，就说明AP+BP最小。 师生共同小结： 我们利用做对称点（轴对称变换）将直线同侧两点的情况 转化为较为简单的直线异侧两点的情况，利用“两点之间线段最短”可以将“折”的线转化为“直”的线。 练习1、如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） QQPLLMMPLMQPLQ让学生在反思的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验 PMABCD 活动四：小结 板书设计

练习2：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径． 思考1：已知如图，点A和两条直线m和n，你能在直线让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法 两道思考题是m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小吗？ 课堂备用题 A一方面检测学m生是否真正领悟了本节课所学的知识和方法，另一方面让思考2:已知如图，点A、点B和两条直线m和L，你还n能在直线m、L上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+BQ的值最小吗？ A BmL学有余力的孩子的课堂更充实 本节课你学到了什么？用到了什么数学思想？ 13.4最短路径问题 基本图形 A

PABPB'ABPA'aBaa原理：两点之间，线段最短. 方法： 同侧—〉异侧 “折”—〉“直”