第7讲 带电粒子在电磁场中的运动
冲刺提分作业A
一、单项选择题
1.(2019辽宁大连模拟)如图所示为研究某种带电粒子的装置示意图,粒子源射出的粒子束以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的O点,出现一个光斑。在垂直于纸面向里的方向上加一磁感应强度为B的匀强磁场后,粒子束发生偏转,沿半径为r的圆弧运动,打在荧光屏上的P点,然后在磁场区域再加一竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场,光斑从P点又回到O点,关于该粒子束(不计重力),下列说法正确的是( )
A.粒子带负电 B.初速度v=𝐸
𝑞𝐵2r
C.比荷𝑚=𝐸
𝐵
D.比荷𝑚=
𝑞𝐸
𝐵2r
答案 D 只存在磁场时,粒子束打在P点,由左手定则知粒子带正电,选项A错误;因为
𝑚𝑣2𝑞𝑣
qvB=𝑟,所以𝑚=𝐵𝑟,加匀强电场后满足
Eq=qvB,即v=𝐵,代入上式得𝑚=
𝐸𝑞𝐸
𝐵2r
,选项
D正确,B、C错误。
2.如图所示,竖直线MN∥PQ,MN与PQ间距离为a,其间存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,O是MN上一点,O处有一粒子源,某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计),已知沿图中与MN成θ=60°射入的粒子恰好垂直PQ射出磁场,则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.3𝑣
π𝑎
B.
2√3π𝑎4π𝑎2π𝑎
C. D. 3𝑣3𝑣𝑣
- 1 -
高三物理专题复习
答案 C 当θ=60°时,粒子的运动轨迹如图甲所示,则a=R sin 30°,即R=2a。设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α,则其在磁场中运行的时间t=2πT,即α越大,粒子在磁场中运行时间越长,α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切,如图乙所示,因R=2a,此时圆心角αm为120°,即最长运行时间为3,而T=
2π𝑟4π𝑎4π𝑎
=,所以粒子在磁场中运动的最长时间为,C𝑣𝑣3𝑣
𝑇
𝛼
正确。
3.美国物理学家劳伦斯于1932年发明的回旋加速器,应用带电粒子在磁场中做圆周运动的特点,能使粒子在较小的空间范围内经过电场的多次加速获得较大的能量,使人类在获得较高能量的带电粒子领域前进了一大步。如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图,其中盒缝间的加速电场场强恒定,且被限制在A、C两板之间。带电粒子从P0处以初速度v0沿电场线方向射入加速电场,经加速电场加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动。对于这种改进后的回旋加速器,下列说法正确的是( )
A.带电粒子每运动一周被加速两次 B.P1P2=P2P3
C.加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关 D.加速电场方向需要做周期性变化
答案 C 由题图可知,带电粒子每运动一周被加速一次,选项A错误;由公式R=𝑞𝐵
22和qU=2m𝑣2-2m𝑣1可知,带电粒子每运动一周,电场力做功相同,动能增量相同,但速
𝑚𝑣
11
度的增量不同,故粒子圆周运动的半径增加量不同,选项B错误;由v=
𝑞𝐵𝑅
可知,加速𝑚
- 2 -
高三物理专题复习
粒子的最大速度与D形盒的半径有关,选项C正确;由T=
2π𝑚
可知,粒子运动的周期𝑞𝐵
不随v的变化而变化,故加速电场的方向不需做周期性变化,选项D错误。 4.(2017课标Ⅰ,16,6分)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里。三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是( )
A.ma>mb>mc B.mb>ma>mc C.mc>ma>mb D.mc>mb>ma
答案 B 因微粒a做匀速圆周运动,则微粒重力不能忽略且与电场力平衡,有mag=qE;由左手定则可以判定微粒b、c所受洛伦兹力的方向分别是竖直向上与竖直向下,则对b、c分别由平衡条件可得mbg=qE+Bqvb>qE、mcg=qE-Bqvc 5.长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离也为l,极板不带电,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是( ) A.使粒子的速度v<4𝑚 B.使粒子的速度v>4𝑚 C.使粒子的速度v>𝑚 D.使粒子的速度v满足4𝑚 𝐵𝑞𝑙 5𝐵𝑞𝑙 𝐵𝑞𝑙5𝐵𝑞𝑙𝐵𝑞𝑙 高三物理专题复习 𝑙222 如图,带电粒子刚好打在极板右边缘,由几何关系有𝑟1=(𝑟1-2)+l,又因 5𝐵𝑞𝑙 𝑙𝑚𝑣 𝐵𝑞𝑙 答案 AB 𝑚𝑣 r1=𝐵𝑞1,解得v1=4𝑚;粒子刚好打在极板左边缘,有r2=4=𝐵𝑞2,解得v2=4𝑚,欲使粒子不打在极板上,使粒子速度大于v1或小于v2,故A、B正确。 6.如图所示,质量为m、电荷量为q的带正电的小物块(可视为质点)从半径为R的绝缘半圆槽顶点A由静止开始下滑,已知半圆槽右半部分光滑,左半部分粗糙,整个装置处于正交的匀强电场与匀强磁场中,电场强度E的大小为2𝑞,方向水平向右,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,g为重力加速度大小,则下列说法正确的是( ) 𝑚𝑔 A.物块最终停在A点 B.物块最终停在最低点 C.物块做往复运动 D.物块首次运动到最低点时对轨道的压力为2mg+qB√𝑅𝑔 答案 CD 由于半圆槽右半部分光滑,左半部分粗糙,且在最低点时受到的电场力的方向水平向右,所以物块最终从最低点开始向右运动,到达某位置时速度变为零,然后又向左运动,即物块做往复运动,C正确,A、B错误;物块从A点首次运动到最低点,由动能定理得,mgR-qER=2mv-0,且E=2𝑞,联立得v=√𝑔𝑅,物块首次运动到最 𝑣2 低点时,由牛顿第二定律得,FN-mg-qvB=m𝑟,解得FN=2mg+qB√𝑅𝑔,由牛顿第三定律知, 1 2 𝑚𝑔 物块首次运动到最低点时对轨道的压力FN'=FN=2mg+qB√𝑅𝑔,D正确。 7.如图所示,M、N为两个同心金属圆环,半径分别为R1和R2,两圆环之间存在着沿金属环半径方向的电场,N环内存在着垂直于环面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,N - 4 - 高三物理专题复习 环上有均匀分布的6个小孔,从M环的内侧边缘由静止释放一质量为m,电荷量为+q的粒子(不计重力),经电场加速后通过小孔射入磁场,经过一段时间,粒子再次回到出发点,全程与金属环无碰撞。则M、N间电压U满足的条件是( ) 𝑞𝐵2𝑅2 A.U=6𝑚2 𝑞𝐵2𝑅2 B.U=5𝑚2 3𝑞𝐵2𝑅2𝑞𝐵2𝑅22 C.U=2𝑚 D.U=3𝑚2 答案 AC 带电粒子由M内侧边缘由静止运动到N环,由动能定理有qU=2mv2,带电粒子进入N环内磁场,与金属环无碰撞,故粒子进入磁场后,应偏转3或3离开磁场,由几何关系可知,轨迹半径为r=√3R2或r= 𝑞𝐵2𝑅2 U=6𝑚2,选项 √3𝑅2 1 2ππ 3 ,则根据 𝑚𝑣 r=𝑞𝐵,联立解得 3𝑞𝐵2𝑅2U=2𝑚2或 A、C正确。 三、计算题 8.(2019湖南常德模拟)如图所示,ABCD矩形区域内存在互相垂直的有界匀强电场和匀强磁场的复合场,有一带电小球(可视为质点)质量为m、电荷量为q,小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压为U的电场加速后,水平进入ABCD区域中,恰能在此空间的竖直面内做匀速圆周运动,且从B点射出,已知AB长度为√3L,AD长度为L,求: (1)小球带何种电荷及进入复合场时的速度大小; (2)小球在复合场中做圆周运动的轨道半径; (3)小球在复合场中运动的时间。 答案 (1)负电荷 √ 2𝑞𝑈 𝑚 (2)2L (3)3√𝑞𝑈 π𝐿2𝑚 解析 (1)小球在电场、磁场和重力场的复合场中,做匀速圆周运动,且从B点射出,根据左手定则可知小球带负电荷 - 5 - 高三物理专题复习 1 2 小球进入复合场之前,由动能定理得qU=2mv 解得v=√ 2𝑞𝑈 𝑚 (2)设小球做圆周运动的轨道半径为r,由几何关系得 r2=(r-L)2+(√3L)2 解得r=2L (3)由(2)知小球在复合场中做圆周运动对应的圆心角 sin θ= √3L𝑟π 解得θ=3 小球做匀速圆周运动周期T=联立解得t=3√𝑞𝑈 9.如图所示,在竖直平面内,有一长度L=2.4 m的固定绝缘竖直杆AB和固定光滑绝缘圆弧轨道CD,D为圆弧轨道最高点,半径OC与竖直线的夹角θ=37°。B点所在的水平线上方存在着场强大小E1=5×106 N/C、方向水平向右的匀强电场,下方与C点之间存在着场强大小E2=E1、方向与竖直线的夹角α=37°斜向上的匀强电场。现将一质量m=0.8 kg、电荷量q=2×10-6 C的小球(可视为质点)套在杆上从A端由静止释放后下滑,穿过电场后恰好从C点无碰撞地沿圆弧轨道CD运动,恰好通过D点。已知小球与杆间的动摩擦因数μ=0.2,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: (1)小球到达B点时的速度大小vB; (2)小球从B点运动到C点所用的时间t和过C点时的速度大小vC; (3)圆弧轨道的半径R。 π𝐿 2𝑚 2π𝑟 ,运动时间𝑣 t=2πT 𝜃 答案 (1)6 m/s (2)15 s 10 m/s (3)23 m - 6 - 50 16 高三物理专题复习 解析 (1)小球沿杆下滑过程中受到的滑动摩擦力大小 Ff=μqE1 小球沿杆下滑的加速度大小 a= 𝑚𝑔-𝐹f 𝑚 2由𝑣𝐵=2aL得vB=6 m/s (2)小球离开B点后在电场E2中受力如图所示 因为qE2 cos α=8 N,恰好与重力(mg=8 N)平衡,所以可判定小球在电场E2中做类平抛运动 加速度大小a'= 𝑞𝐸2sin𝛼 𝑚𝑣 𝐵 小球过C点时,有𝑎'𝑡=tan θ 过C点时,速度大小vC= 16 𝑣𝐵 sin𝜃 解得t=15 s,vC=10 m/s (3)设小球到达D点的速度大小为vD,则 𝑣2𝐷mg=m𝑅 小球从C点运动到D点的过程,根据机械能守恒定律有 1212 m𝑣=m𝑣+mg(R+R cos θ) 2𝐶2𝐷 解得R=23 m 50 冲刺提分作业B 1.如图所示,直角坐标系xOy中,除第一象限外,其他象限内都存在磁感应强度B=0.12 T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。P是y轴上的一点,它到坐标原点O的距离l=0.40 m。今有一个比荷𝑚=5.0×107 C/kg的带正电的粒子从P点开始垂直 - 7 - 𝑞 高三物理专题复习 于磁场方向进入匀强磁场中运动。已知粒子的初速度v0=3.0×106 m/s,方向与y轴正方向的夹角θ=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。粒子的重力不计。 (1)求粒子在磁场中运动的轨迹半径R。 (2)若在第一象限中与x轴平行的虚线上方的区域内有一沿x轴负方向的匀强电场(如图所示),粒子在磁场中运动一段时间后进入第一象限,最后恰好从P点沿初速度的方向再次射入磁场。求匀强电场的电场强度E和电场边界(图中虚线)与x轴之间的距离d。 答案 (1)0.50 m (2)8.0×105 N/C 0.10 m 解析 (1)粒子在匀强磁场中运动时,根据牛顿第二定律有 𝑣20qv0B=m𝑅 代入数据解得R=0.50 m (2)作出粒子的运动轨迹示意图,如图所示,根据几何关系可确定,粒子在磁场中运动的轨迹圆的圆心A恰好落在x轴上。根据图中的几何关系还可确定,粒子进入第一象限时的位置(图中C点)与O点的距离 x=R-R cos θ 粒子进入匀强电场后做类平抛运动,设粒子在电场中运动的时间为t,加速度为a 根据类平抛运动规律有 l-d=v0t,x=2at2 vx=at,tan θ=𝑣𝑥 0 1 𝑣 - 8 - 高三物理专题复习 根据牛顿第二定律有qE=ma 代入数据解得E=8.0×105 N/C,d=0.10 m 2.如图所示的平面直角坐标系xOy,在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场,方向沿y轴正方向;在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场,方向垂直于xOy平面向里,正三角形边长为L,且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子,从y轴上的P(0,h)点,以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场,通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限,又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限,且速度与y轴负方向成45°,不计粒子所受的重力。求: (1)电场强度E的大小; (2)粒子到达a点时速度的大小和方向; (3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。 答案 𝑚𝑣20(1)2𝑞ℎ (2)√2v0 指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45° (3) 2𝑚𝑣0 𝑞𝐿 解析 (1)设粒子在电场中运动的时间为t,则有 x=v0t=2h,y=2at2=h,qE=ma 联立以上各式可得 𝑚𝑣20E=2𝑞ℎ 1 (2)粒子到达a点时沿竖直方向的分速度vy=at=v0 22=√2v 所以v=√𝑣0+𝑣𝑦0 - 9 - 高三物理专题复习 方向指向第Ⅳ象限,与x轴正方向成45° (3)粒子在磁场中运动时,有 𝑣2 qvB=m𝑟 √2当粒子从b点射出时,磁场的磁感应强度为最小值,此时有r=2L 所以B= 2𝑚𝑣0 𝑞𝐿 3.如图所示,平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,一质量为m、带电荷量为+q的小球(可视为质点)从A点以速度v0沿直线AO运动,AO与x轴负方向成37°。在y轴与MN之间的区域Ⅰ内加一电场强度最小的匀强电场后,可使小球继续做直线运动到MN上的C点,MN与PQ之间区域Ⅱ内存在宽度为d的竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动并恰好不能从右边界飞出,已知小球在C点的速度大小为2v0,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求: (1)第二象限内电场强度E1的大小和磁感应强度B1的大小; (2)区域Ⅰ内最小电场强度E2的大小和方向; (3)区域Ⅱ内电场强度E3的大小和磁感应强度B2的大小。 答案 (1) 3𝑚𝑔5𝑚𝑔 4𝑞𝑣 4𝑞0 (2) 4𝑚𝑔 5𝑞 方向与x轴正方向成53°斜向上 (3) 𝑚𝑔16𝑚𝑣0 5𝑞𝑑 𝑞 解析 (1)带电小球在第二象限内受重力、电场力和洛伦兹力作用,做直线运动,三力满足如图甲所示关系且小球只能做匀速直线运动 甲 1 由图甲知 tan 37°=𝑚𝑔 𝑞𝐸 解得E1= 3𝑚𝑔 4𝑞 - 10 - 高三物理专题复习 cos 37°=𝑞𝑣解得B1=4𝑞𝑣 0 𝑚𝑔 0𝐵1 5𝑚𝑔 (2)区域Ⅰ中电场强度最小时,受力如图乙所示(电场力方向与速度方向垂直), 2 小球做匀加速直线运动,由图乙知 cos 37°=𝑚𝑔 𝑞𝐸 乙 解得E2= 4𝑚𝑔 5𝑞 方向与x轴正方向成53°斜向上 (3)小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动,所以mg=qE3,得E3=因小球恰好不从右边界穿出,小球运动轨迹如图丙所示 𝑚𝑔 𝑞 丙 由几何关系可知r+r cos 53°=d 解得r=8d 由洛伦兹力提供向心力知 (2𝑣0)2 B2q·2v0=m𝑟,联立得 5 B2= 16𝑚𝑣0 5𝑞𝑑 4.如图所示,在xOy平面内,以O1(0,R)为圆心、R为半径的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B1,x轴下方有一直线ab,ab与x轴相距为d,x轴与直线ab区域间有平行于y轴的匀强电场E,在ab的下方有一平行于x轴的感光板MN,ab与MN区域间有垂直纸面向外的匀强磁场B2。在0≤y≤2R的区域内,质量为m、电荷量为e的电子从圆形区域左侧的任何位置沿x轴正方向以速度v0射入圆形区域,经过磁场B1偏转后都经过O点,然后进入x轴下方。已知x轴与直线ab间匀强电场场强大小 3𝑚𝑣2 E=2𝑒𝑑0,ab 与MN间匀强磁场磁感应强度大小B2=𝑒𝑑0,不计电子重力。求: - 11 - 𝑚𝑣 高三物理专题复习 (1)圆形区域内匀强磁场磁感应强度B1的大小; (2)若要求从所有不同位置出发的电子都不能打在感光板MN上,MN与ab间的最小距离h1; (3)若要求从所有不同位置出发的电子都能打在感光板MN上,MN与ab间的最大距离为h2;当MN与ab间的距离最大时,电子从O点到MN运动的最长时间。 答案 (1)𝑒𝑅0 (2)3d (3)d 𝑚𝑣 2√3dπ𝑑 + 3𝑣03𝑣0 解析 (1)所有电子射入圆形区域后均做匀速圆周运动,轨道半径大小相等,设为r 从位置(-R,R)处射入的电子经过O点进入x轴下方,由几何关系易得r=R 由洛伦兹力提供向心力得解得B1= 𝑚𝑣0 𝑒𝑅 𝑣2 ev0B1=m𝑟0 (2)设电子经电场加速后到达ab时速度大小为v,电子在ab与MN间磁场做匀速圆周运动的轨道半径为r1,沿x轴负方向射入电场的电子离开电场进入磁场时速度方向与水平方向成θ,则 eEd=2mv2-2m𝑣02,r1=𝑒𝐵,cos θ=𝑣0 2 11𝑚𝑣𝑣 解得v=2v0,r1=2d,θ=60° 如果电子在O点以速度v0沿x轴负方向射入电场,经电场偏转和磁场偏转后,不能打在MN上,则所有电子都不能打在MN上。设恰好不能打在MN上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O2,如图甲所示 - 12 - 高三物理专题复习 甲 则MN与ab间的最小距离h1=r1+r1 cos θ 解得h1=3d (3)如果电子在O点沿x轴正方向射入电场,经电场偏转和磁场偏转后,能打在MN上,则所有电子都能打在MN上。设恰好能打在MN上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O3,如图乙所示 乙 则MN与ab间的最大距离h2=r1-r1 cos θ 由电子在电场中运动与(2)中的对称性可知 r1=2d,θ=60° 解得h2=d 当MN与ab间的距离最大为h2=d时,所有从O点到MN的电子中,沿x轴正方向射入电场的电子,运动时间最长。设该电子在匀强电场中运动的加速度为a,运动时间为t1,在磁场B2中运动周期为T,时间为t2 2 则a=𝑚,d=2a𝑡1,T=𝑒𝐵,t2=2πT 2 𝑒𝐸12π𝑚𝜃 运动最长时间tm=t1+t2 解得t1=3𝑣,T=𝑣,t2=3𝑣,tm=3𝑣+3𝑣 0 0 0 0 0 2√3d2π𝑑π𝑑2√3dπ𝑑 - 13 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容