高中数学必修4教学教案

乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.2.28 高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第2节 新课

第一章 三角函数

1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角（第一课时）

一、 教学目标： 1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于360角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法. 2、过程与方法

通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、教法与学法

教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。 学法：回忆，做练习，讨论，听课，提问。 四、教学工具

教学工具:三角板.

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

1

高中数学必修4教案 第一章三角函数

应用：画角，画直角坐标系. 五、教学过程

复习准备：

1. 提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？ 学生：……

2. 讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ 学生：……

3.思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

学生：

老师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 讲授新课：

1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？

[黑板上画出图1]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置

OB，就形成角.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

[展示模型]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 2

高中数学必修4教案 第一章三角函数

些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

如图3，中的角是一个正角,它等于750；图3中，正角210，

负角150,660；这样，我

们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混

淆的前提下，“角”或“”可简记为.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如图4中的30角、210角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.

4.练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题. 学生：……

(2)(回答)今天是星期一那么7k(kZ)天后的那一天是星期几? 7k(kZ)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 学生：……

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

3

高中数学必修4教案 第一章三角函数

条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB(如图5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

不难发现,在图5中,如果32的终边是OB,那么328,392角的终边都是

OB,而328321360,39232(1)360.

设S{|32k360,kZ},则328,392角都是S的元素,32角也是S的元素.因此,所有与32角终边相同的角,连同32角在内,都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与32角终边相同.

一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

S{|k360,kZ},即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整

数个周角的和.

6.例题讲评

例1. 例1在0360范围内，找出与－95012'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0－360是指0360）

例2.写出终边在y轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在yx上的角的集合S,并把S中适合不等式360

720的元素写出来.

7.练习

教材P5第3、4、5题.

注意: （1）kZ；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.

8.学习小结

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 4

高中数学必修4教案 第一章三角函数

(1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢?

(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直 线yx上的角的集合. 六、评价设计

1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y=-x呢？

2. 作业：书P5 练习 3 （3）（4）4.（2）（3）5题. 七、板书设计

1.1.1任意角 图1 图3 图4 图5

教学反思：

组长意见

例1 例2 例3 练习 例3 例4 乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 5

高中数学必修4教案 第一章三角函数

乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.1 高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第2节 新课

1.1.2弧度制（第一课时）

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法

创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.

二、教学重、难点

重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、教法与学法

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

6

高中数学必修4教案 第一章三角函数

教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。 学法：回忆，做练习，讨论，听课，提问。 四、教学工具

教学工具:三角板.

应用：画角，画直角坐标系. 五、教学过程

创设情境

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

探究新知

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本P6P7，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

3.探究:如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的终边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 7

高中数学必修4教案 第一章三角函数

成表格.

弧AB的长 r 2r r 2r OB旋转的方向 逆时针方向 逆时针方向 AOB的弧度数 1 2  0 AOB的度数 180 180 yBOAx 我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

4.思考:如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么a的弧度数是多少?

角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径. 5.根据探究中180rad填空:

1___rad,1rad___度

lr显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解

例1.按照下列要求,把6730'化成弧度: (1) 精确值；

(2) 精确到0.001的近似值.

例2.将3.14rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001).

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad,另外注意计算器计算非特殊角的方法.

7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

8

高中数学必修4教案 第一章三角函数

度 弧度 0 30 45 120 120 120 3 2120  3 2  角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

8.例题讲评

例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1)lR; (2)SR2; (3)SlR.

其中R是半径,l是弧长,(02)为圆心角,S是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85的大小.

注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 9.练习

1212

9.学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 9

高中数学必修4教案 第一章三角函数

五、评价设计

1．作业：习题1.1 A组第 题．

2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．

3.预习习题1.1

六、板书设计

1.1.2任意角 图1 表1 例1 例2 表2 例3 练习 例1 例2 例3 例4

教学反思：

组长意见

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

10

高中数学必修4教案 第一章三角函数

乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.2 高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第6节 习题课

习题1.1（第一课时）

A组

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）理解并应用正角，负角概念；（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算； 2、过程与方法

把习题学生互相合作的自己做老师改正，指导。 3、情态与价值

通过做习题巩固学过知识，并且培养学生互相合作，探究能力。 二、教学重、难点

重点: 理解并掌握基本知识。 难点: 基本知识的应用。 三、教法与学法

教法：引导法，启动法，练习法，讨论法。 学法：回忆，做练习，讨论，提问。 四、教学工具

教学工具:参考书.

应用：给出学生模拟题。 五、教学过程

习题1.1 A组

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

11

高中数学必修4教案 第一章三角函数

解：

265951360，

所以0~360范围内，与265角终边相同角是95，他是第二象限角。

解：1000803360

所以0~360范围内，与1000角终边相同角是80，他是第一象限角。



解：（1）A|60k360,kZ, 1300,260.

解：第一象限角的集合

A|k36090k360,kZA|2k2k,kZ2

第二象限角的集合

B|90k360180k360,kZB|2k2k,kZ2

解：例9

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

12

高中数学必修4教案 第一章三角函数

1121.121.1257.3071.8 100

例10

rl180945r5014.3cm10,200200109

六，作业 习题1.1

七，板书设计

习题1.1 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10

教学反思：

组长意见

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

13

高中数学必修4教案 第一章三角函数

乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.3 高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第1节 新课

一，

1.2.1任意角的三角函数（第一课时）

教学目标：

1、知识与技能

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法； 2、过程与方法

初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值

任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.

本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

14

高中数学必修4教案 第一章三角函数

表明了这两个函数之间的关系.

二、教学重、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、教法与学法

教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。 学法：回忆，做练习，讨论，提问。

四、教学工具

教学工具:三角板、圆规、计算器 五、教学过程

创设情境

提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾.

y P（a，b） r  O M 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点

P(a,b),它与原点的距离ra2b20.过P作x轴的

a的终边 P(x,yy 垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的

MPb; 长度为b.则sinOPrOMaMPbcos; tanOPrOMaO x .

思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP的长r1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

15

高中数学必修4教案 第一章三角函数

sinMPOMMPbb; cosa; tanOPOPOMa.

思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 探究新知

1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny； （2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx； （3）y叫做的正切(tangent),记做tan,即tanxy(x0). x注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?

前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

16

rx2y2,那么

高中数学必修4教案 第一章三角函数

sinyx2y2,cosxx2y2,tan

yx.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评 例1.求

53的正弦、余弦和正切值.

例2．已知角的终边过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:

如例2:设x3,y4,则r于是 sin(3)2(4)25.

y4x3y4,cos,tan. r5r5x35.巩固练习

6.学习小结

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

17

高中数学必修4教案 第一章三角函数

(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?

(2)请写出各三角函数的定义域。 六、评价设计

1．作业：习题1.2 A组第1,2题．

2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

七，板书设计

1.2.1任意角的三角函数 图1 图2 定义

教学反思：

组长意见

例1 例2 练习 例1 例2 例3

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

18

高中数学必修4教案 第一章三角函数

乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.4 高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第7节 新课

一，

1.2.1任意角的三角函数（第二课时）

教学目标：

1、知识与技能

（1）三种三角函数值在各象限的符号；（2）掌握并能初步运用公式一。 2、过程与方法

根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值

根据三角函数的定义，推导出三种函数值各象限的符号和终边相同的角的同一三角函数之间的关系。

二、教学重、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切这三种三角函数的函数值在各象限的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切这三种三角函数的函数值在各象限的符号.

三、教法与学法

教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。 学法：回忆，做练习，讨论，提问。 四、教学工具

教学工具:计算器 五、教学过程 【复习回顾】 1、

三角函数的定义；

2,三角函数在轴上角的值； 3,三角函数的定义域.

要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 19

高中数学必修4教案 第一章三角函数

是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 探究新知:

1.请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：

定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin cos tan 2.例题讲评

sin0例3．求证：当且仅当不等式组{成立时，角为第三象限角.

tan03. 思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

sin(2k)sincos(2k)costan(2k)tan (其中kZ)

4. 例题讲评

例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250; (2)sin(); (3)tan(672); (4)tan3

4例5.求下列三角函数值:

(1)sin148010'; (2)cos9; (3)tan(11)

46利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2(或0到360)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.

5.巩固练习

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 20

高中数学必修4教案 第一章三角函数

六，学习小结

(1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?

(2)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 六、评价设计 1.作业：习题1.2

2.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法 七，板书设计

1.2.1任意角的三角函数 表1 公式2 教学反思：

组长意见

乌帕尔中学数学教研组麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木

21

例3 例4 例5 练习 例5 例6 例7