炎德、英才大联考高三数学月考试卷(四)文科

文 科 数 学

湖南师大附中高三数学备课组组稿

命题人：贺中良邓仁辉龚红玲审题人：周正安苏萍李莉

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“｜x｜<2”是x2x60的

A．充分而不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要而不充分条件

2．若向量a=(1，1)，b=(1，O)，c满足a·c=0，且｜a｜=｜c｜，b·c>O，则向量c等于 A．(1,1) B.(1,1) C.(-1，1) D．(-l，1)

x2y23．若椭圆1上一点P到左焦点的距离为4，则P到右准线的距离为

2516 A.12 B．11 C．10 D. 9

4．已知二次函数f(x)的图象如图1所示，则其导函数f’(x)的图象大致形状是

5．已知曲线C：XY2，点A(2，0)及点B(2，a)．以点A观察点B，要使视线不被线C挡住，则a的取值范围是

A．,4(4,) B．,1(1,)

C．[-4．4] D．,2(2,)

6．甲、乙进行三局两胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0．6．乙取胜的概率为O．4，那么甲取胜的概率为

A. 0.36 B．0.216 C. 0.432 D. 0.648 7．在等差数列{an}中，若a1+3a8+a15=120，则3a9-a11的值为

A. 48 B．12 C．24 D．6

8．已知点P在曲线y=x3x1上运动，设点P处曲线的切线的倾斜角为a，则a的取值

范围是 A．0,32222[0,)( B．

32322,] C．(,) D. [,)

2339．己知Y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(z)=x-2，那么不等式，f(x)< 集是

1的解253} B.{ x ｜2222 A．{x ｜010．设球O的半径是l，A、B、C是球面上三点，已知A点到B、C

两点的球面距离都是

，且二面角B—OA—C的大小为，23则从A点沿球面经B，C两点再回到A点的最短距离是

75 B. 6443 C. D．

32 A．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．

11．已知三角形ABC，用斜二测画法画出的直观图是面积为√3的 正三角形A’B’C’(如图)，则三角形ABC中与正三角形A’B’C’的边长相等的边上的高为 。

12．已知圆x2y2x6ym0和直线x+2y-3=0交于P，Q

两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，则该圆的半径为 ．

13．“神七”问天，举国欢庆．据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征二号”系列火箭，在点火1分钟后通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是 分钟． 14．若(x2n)的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 x215．将一组以1开头的连续的正整数写在黑板上，擦去其中一个数，余下的数的算术平均数为

49，则擦去的那个数是 。 3三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)

已知△ABc的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量m=(sinB，1-cosB)与

向量a=(2，0)的夹角θ的余弦值为

1． 2 (1)求角B的大小；

(2)若△ABC的外接圆半径为1，求a+c的取值范围．

17．(本小题满分12分)

如图，一辆车要经过某十字路口，直行时前方刚好由绿灯转为红灯，该车前面已有4辆车依次在同车道上排队等候．(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车直行的概率是寺，左转行驶的概率是

2，该路口红绿灯转换间隔均为1分钟．假设该车道上一辆直3行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转的车驶出停车线需要20秒．求： (1)前4辆车恰有2辆左转行驶的概率；

(2)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率．(汽车驶出停车线就算通过

路口)

18．（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前11项和为220。

（1）数列中是否存在某一项的值为常数？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由； （2）若{an}中a2=8，设bn=3 求数列{bn}的前n项的积

（3）若从数列{an}中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3项，按从小到大

的顺序组成一个新的数列{cn}，求数列cn的前n项和Sn

nn19．(本小题满分13分)

如图，直四棱柱ABCD—A1，B1， C1，D1中各棱长均为2，

∠DAB= 60º，四棱椎P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的射影恰为

AC、BD的交点，且四棱椎P—ABcD的体积为 (1)求证：PA⊥B1Dl；

(2)求直线A1B1到平面PAB的距离； (3)求二面角A-PB—C的大小．

20．(本小题满分13分)

已知直线y=ax+l与双曲线3xy1交于A、B两点． (1)若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； (2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y

21．(本小题满分13分)

已知函数f(x)= xax其中a为实常数．

(1)设当x∈(0，1)时，函数y=f(x)的图象上任一点P处的切线的斜率为k，若k≥1,

求a的最大取值范围； (2)当x∈[一1，1]时，求函数y=f(x) a(x3x)的最大值．

23215 3221x对称?说明理由 2炎德·英才大联考高三月考试卷(四)

文 科 数 学 答 案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A D A B D C 答案 A B 11．26 12．

5 213．15 14．180 15．6 16．解：

BBB(cos,sin),n2(1,0)， 222BBBm·n4sincos./m/2sin,/n/2，

222m·nBcos, (4分) cos/m/?/n/2B1B2由cos,0 得即B (6分)

222332（2）因为B所以A+C=，

33(1)因为2sin13sinAsinCsinAsin(A)sinAsincosAcossinAsinAcosAsin(A)

333223又0A3,33A2， 3所以

33sin(A)1所以sinAsinC(,1]（10分） 232又ac2RsinA2sinC2(sinAsinC)所以a+c(3,2]（12分）

17．

（1）前4辆恰有2辆左行驶的概率P1C4()()21322328（6分） 27（2）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口包括两种情况： 1）前4辆车都直行 2）前4辆车中有3辆直行，1辆左转行驶 故所求概率P2()C4()

2343233116（12分） 32718．

解：（1）设等差数列的公差为d，因为等差数列{an}的前11项和为220，

所以22011a111(111)d；所以a1+5d=20且a=20（4分） 2（2）由a2=8所以a1+d=8 a1=5,d=3,sy an=5+(n-1)×3=3n+2, 设数列{bn}的前n项的积为T

Tn3322.….33n233(123…+n)2n33n27n2（8分）

（3）依题意得cn=5+（3k+1）×3=3×3k+2

3(13n)9Sn3(33…+3)2n3?2n(3n1)2n（12分）

13212n

19．

解： (1)连结AC、BD，设AC∩BD=O， ∵BB⊥DD，∴B1D1//BD，

∵P在底面ABCD中的射影为0， ∴AO是AP在平面ABCD内的射影，

又在菱形ABCD中有BD⊥AC，∴PA⊥BD， ∴PA⊥B1Dl（3分)

(2)作OE⊥AB于E，连结PE，

∵ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∴D到AB的距离为3 ∵O是BD的中点∴OE=

3 2155∴PO=∴PE=2 32∵四棱椎P—ABCD的体积为∴SABP2 设A1到面PAB的距离为h，则有SABPh13136SABA2h 3226 2∵A1B1//面PAB，∴直线A1B1到面PBA的距离 (3)作AF⊥PB于F，CM⊥PB于M，由△APB≌△CPB知F、M重合，

∴∠AFC即为二面角A—PB--C的平面角．由等面积法可求得AF=CF∴二面角A—PB—C的大小为arvvos20．

1142,cos∠AFC=

16311（13分） 163x2y21解：(1)联立方程，消去y得：(3a2)x22ax20

yax12axx123a2a设A（x1,y2）,B(x2,y2),那么x1x2（3分） 23a(2a)28(3a2)0由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：OA⊥OB，即x1,X2+ y1 y2=0 所以：x1,X2+(a x1+1)( a x2+1)=0，得到：(a1)解得a=±1(6分)

(2)假定存在这样的a，使A(x1，y1)，B(X2,y2)关于直线y=

222a2a10,a6 223a3a1x对称 222y1y23(x1x2)3x1y112222那么2，两式相减得：3(--)=--,从而(*) xxyy12122x1x2y1y23x2y21y1y21x1x21222因为A(x1，y1)，B(X2,y2)关于直线y=x对称，所以

yy2122x1x2代入(*)式得到：-2=6，矛盾．

也就是说：不存在这样的a，使A(x1，y1)，B(X2,y2)关于直线y=21．解：(1)

∵k=f’(x)=3x-2ax,x∈(0,1)

21x对称(13分) 23x2111(3x)恒成立．(2分) k≥1，得3x-2ax+1≥0，即a≤

2x2x2 ∴a1111(3x)min,所以当x(0,1)时3x23x?23 2xxx当且仅当x= (2)

113等时取等号∴(3x)min3的取值范围是(-∞，3](6分)

2x3设g(x)=f(x)+a(x2-3x)=x33ax,当x[1,1]时g'(x)=3x23a3(x2a) 1当a1时，g'(x)0，从而g(x)在[-1,1]上是减函数（7分）g(x)max=g(-1)=3a-12当0a1时，g'(x)=3(x+a)(x-a)得x>ax或x<-a(9分)

得aa],[a,1]上是增函数，在[-a,a]上是减函数。

∴g(x)的极大值为g(-a)=2a, 1当2a10即a1时，g(-a)g(1),g(x)maxg(a)2aa(11分)

43>当a≤0时，g’(x)≥0,从而g(x)在[-1，1]上是增函数， ∴g(x)maxg(1)13a

综上所述，g(x)max3a1(a1)12aa(a1)（13分）

4113a(a)4