2018-2019学年陕西省汉中市高二下学期期末数学(文)试题 解析版

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陕西省汉中市2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题

评卷人 得分 一、单选题

1．已知集合Axx1，B0,1,2，则AB（ ）

A．0,1,2 B．0,1 C．1

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用交集计算法则得到答案. 【详解】

集合Axx1，B0,1,2，则AB0

故答案选D 【点睛】

本题考查了交集，属于简单题. 2．1i2（ ） A．2i B．2i

C．1i

【答案】A 【解析】 【分析】

直接展开得到答案. 【详解】

1i21+2i12i

故答案选A 【点睛】

本题考查了复数的计算，属于简单题.

3．已知a1,2，b2,y，若ab，则y的值是（ A．-1 B．1 C．-4 【答案】C 【解析】

D．0

D．1i

） D．4

1

【分析】

直接利用向量平行性质得到答案. 【详解】

a1,2，b2,y

aby4y4

故答案选C 【点睛】

本题考查了向量的平行，属于基础题型.

4．若角是第四象限角，满足sincos15，则sin2（ ）

A．

2425 B．2425 C．

1225 D．1225 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得sin2的值． 【详解】

解：∴角满足sincos15，平方可得 1+sin2125，∴sin22425，故选：B． 【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 5．设实数ab0,c0，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A．0ab1 B．cacb

C．acbc0 D．lnab0 【答案】D 【解析】 【分析】

对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】

2

解：由于a＞b＞0，

a1，A错； babababab

当0＜c＜1时，c＜c；当c＝1时，c＝c；当c＞1时，c＞c，故c＞c不一定正确，

B错；

a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．

lnabln10 ，D对； 故选：D． 【点睛】

本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 6．已知两个不同的平面，和两条不同的直线a，b满足a,b，则“a∥b”是“∥”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】 如图所示：

既不充分也不必要条件. 故答案选D 【点睛】

本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算.

3

7．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件A为取到的两个数之和为偶数，则

PA（ ）

A．

4 5B．

3 5C．

2 5D．

1 5【答案】C 【解析】 【分析】

取到的两个数之和为偶数，分为都是偶数和都是奇数两种情况，相加得到答案. 【详解】

事件A为取到的两个数之和为偶数

2所取两个数都为偶数时：C21

2所取两个数都为奇数时：C33

PA132 C525故答案选C 【点睛】

本题考查了概率的计算，分为都是偶数和都是奇数两种情况是解题的关键. 8．已知函数fxsinx（ ） A．关于直线x0的最小正周期为，则函数fx的图像3224对称

B．关于直线x12对称

C．关于点【答案】A 【解析】 【分析】

,0对称 12D．关于点,0对称 24先计算，再计算对称轴，对称中心得到答案. 【详解】

fxsinx0的最小正周期为

32

4

224

fxsin4x

3对称轴为：4x32kx24k(kZ) 4当k0时，答案A正确，B错误

12k,0) 对称中心为：(124对比C，D选项，错误 故答案选A 【点睛】

4x3kxk(kZ) 4本题考查了三角函数周期，对称轴，对称中心，意在考查学生对于三角函数的性质的灵活运用.

9．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A．0.5 【答案】C 【解析】 【分析】

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】

由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C． 【点睛】

本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．

10．已知定义在R上的函数fx满足fxfx，且函数fx在,0上是减

B．0.6

C．0.7

D．0.8

5

10.34bflogaf1函数，若 ，2，cf2，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．cba 【答案】B 【解析】 【分析】

B．acb C．bca D．abc

利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】

因为函数fx满足fxfx，且函数fx在,0上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；log21log2222，20.3201且420.3212，所以bca，故选B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 11．已知三个月球探测器，，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A是发回的；乙说：发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B的探测器是（ ） A． 【答案】A 【解析】 【分析】

结合题中条件，分别讨论甲对、乙对或丙对的情况，即可得出结果. 【详解】

如果甲对，则发回的照片是C，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片C是发回的.得到照片A是由发回，照片B是由发回.符合逻辑，故照片B是由发回；如果丙对，则照片C是由发出，甲错误，可以推出发出照片B，发出照片A，故照片B是由发出. 故选A 【点睛】

B．

C．

D．以上都有可能

6

本题主要考查推理分析，根据合情推理的思想，进行分析即可，属于常考题型.

x2y2212．若双曲线C:221a0,b0的一条渐近线被圆x2y22所截得

ab的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ） A．3 C．5 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率. 【详解】

设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：22d22，解得：d1， 双曲线的渐近线方程为：bxay0，圆心坐标为0,2，

B．2 D．25 故：02aa2b21，即：

2ac1，双曲线的离心率e2. ca故选：B. 【点睛】

本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．抛物线y24x上的点M4,y0到其焦点F的距离为______. 【答案】5 【解析】 【分析】

先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离. 【详解】

抛物线y4x，准线为：x1

点M4,y0到其焦点F的距离为点M4,y0到准线的距离为5 故答案为5 【点睛】

本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解. 14．曲线y2xlnx在x1处的切线方程为______. 【答案】xy10 【解析】 【分析】

求导，将x1代入导数得到斜率，再代入原函数得到切点，得到答案. 【详解】

2y2xlnxy'21 x当x1时，k211

当x1时，y2 切线方程为：yx1 故答案为：xy10 【点睛】

本题查看了切线的计算，意在考查学生的计算能力.

15．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B3，b3，a1，

8

则c______. 【答案】2 【解析】 【分析】

直接利用余弦定理得到答案. 【详解】

B3，b3，a1

b2a2c22accosB31c2cc2,c1（舍去）

故答案为：2 【点睛】

本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.

16．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________ 【答案】21 【解析】 【分析】

设此直三棱柱两底面的中心分别为O1,O2，则球心O为线段O1O2的中点，利用勾股定理求出球O的半径R2，由此能求出球O的表面积． 【详解】

∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O1,O2，则球心O为线段O1O2的中点，

3213223设球O的半径为R，则R 4232∴球O的表面积S4R221 . 故答案为：21．

22 9

【点睛】

本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题． 评卷人 得分 三、解答题

17．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1、BC的中点.

（Ⅰ）求证：DA1平面ABC1D1； （Ⅱ）求三棱锥DAEF的体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）证明DA1AD1，ABDA1得到证明. （Ⅱ）利用等体积法计算VDAEFVEADF【详解】

解：（Ⅰ）证明：在正方形A1D1DA中，DA1AD1，

4. 34. 3 10

∵AB平面A1D1DA，又AB平面A1D1DA，∴ABDA1，

AD1A，∴DA1平面ABC1D1.

1ADAB2， 2（Ⅱ）∵DD1平面ADF，DD12，SADF∴VDAEFVEADF【点睛】

1422. 33本题考查了线面垂直，等体积法求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

n18．已知数列an满足a11，an1an22.

（Ⅰ）证明：数列an2n是等差数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn.

2n1【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）Snn2n22.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用定义an12n1an2n2得证.

n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an2n12，利用分组求和法的到前n项和Sn.

【详解】

nn1n解：（Ⅰ）由an1an22，可得an12an22，即

an12n1an2n2，

又a11，∴a123， ∴数列an2n是首项为3，公差为2的等差数列.

n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an232n12n1，

n∴an2n12，

∴Sn352n12482n

212n1n2n4n22n2n12. 212【点睛】

本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前n项和Sn，意在考查学生对于数列公式

11

和方法的灵活运用.

19．我校举行“两城同创”的知识竞赛答题，高一年级共有1200名学生参加了这次竞赛.为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计.其中成绩分组区间为

[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其频率分布直方图如图所示，请

你解答下列问题：

（1）求m的值；

（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人； （3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）. 【答案】(1) m0.03 (2)60人 (3)76分 【解析】 【分析】

（1）利用诸矩形面积和为1可求m的值.

（2）由直方图可得[90,100]之间的频率，从而可估计总体中获奖的大约人数. （3）利用组中值可得平均分的估计值. 【详解】

（1）由10(0.0050.020.04m0.005)1，解得m0.03 （2）学生成绩在[90,100]之间的频率为0.05，

故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为12000.0560人

（3）平均分的估计值为：550.05650.2750.4850.3950.0576分 【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

1x2y2320．已知椭圆C：221ab0的离心率为，且过点3,.

2ab2

12

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：ykxmk0,m0与椭圆C相交于A、B两点，且直线OA，

AB，OB的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率.

1x2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）k. y21；

24【解析】 【分析】

（Ⅰ）直接利用离心率和过点联立方程组解得答案.

ykxm22214kx8kmx4m10，利用韦达定理 （Ⅱ）联立x2，得2y148km4m21x1x2，xx，直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，

12214k214k2得ky1y2，代入化简得到答案. x1x2【详解】

c3a2222解：（Ⅰ）由题意得，abc，解得a24，b21.

312214bax2∴椭圆C的标准方程为：y21.

4ykxm22214kx8kmx4m10， （Ⅱ）联立x2，得2y14由题知，164km10， 设Ax1,y1，Bx2,y2，

228km4m21则x1x2，xx， 212214k14k由直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，

22y1y2kxxkmxxm1121222得k，即k，化简得，k，

x1x24x1x22 13

1∴直线l的斜率k.

2【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，斜率的计算，设而不求利用韦达定理是解题的关键. 21．已知函数fxea(x1).

x（1）讨论函数fx的单调性；

（2）若函数fx有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）-,1 【解析】 【分析】

（1）求得函数的导数f'xea，分类讨论，即可求解函数的单调性；

x（2）由（1）可知，当a0时，fx没有两个零点0；当a0时，求得

fminxaln(a)，

若函数fx有两个零点，则fminx0，即可求解. 【详解】

（1）由题意，函数fxea(x1)，则f'xea，

xx当a0,f(x)0，函数fx在-,上单调递增； 当a0时，令f'x=0，解得xln(a)，

+时，f(x)0， 当x-,ln(a)时，f(x)0，当xln(a)，+上单调递增， 故fx在-,ln(a)上单调递减，在ln(a)，综上，当a0时，fx在-,上单调递增；当a0时，fx在-,ln(a)上

+上单调递增. 单调递减，在ln(a)，（2）由（1）可知，当a0时，fx在-,上单调递增，没有两个零点. 当a0时，xln(a)为fx的唯一极小值点， 故fminxf(ln(a))eln(a)a(ln(a)1)aln(a)，

若函数fx有两个零点，则fminx0，即aln(a)0，得a-1，

14

当a-1时，ln(a)0，因为f-1=10，f(ln(a))0， e所以fx在-,ln(a)有一个零点，

+，使f(x0)0， 当x, f(x),故存在x0ln(a)，+有一个零点，所以a的取值范围值是-,1. 所以fx在ln(a)，【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

22．在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l经过坐标原点O，曲线C1的参数方程

x22cos为（为参数）.以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，y2sin曲线C2的极坐标方程为4sin. （1）求l与C1的极坐标方程；

（2）设l与C1的交点为O、A，l与C2的交点为O、B，且AB42，求值. 【答案】（1）l的极坐标方程为(R).C1的极坐标方程为4cos.（2）

3 4【解析】 【分析】

（1）倾斜角为的直线l经过坐标原点O，可以直接写出R； 利用sinφcosφ1，把曲线C1的参数方程化为普通方程，然后再利用

22siny,cosx,2x2y2，把普通方程化成极坐标方程；

（2）设A1,，B2,，则14cos，24sin，已知AB42，所以有

1242，运用二角差的正弦公式，可以得到sin1，根据倾斜角的415

范围，可以求出值. 【详解】

解：（1）因为l经过坐标原点，倾斜角为，故l的极坐标方程为R.

C1的普通方程为x2y24，可得C1的极坐标方程为4cos.

（2）设A1,，B2,，则14cos，24sin. 所以AB2124cossin 42sin4.

由题设sin【点睛】

31，因为，所以. 044本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）当不等式【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

(Ⅰ)根据的范围得到分段函数

的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取

的最小值，则最小值大于，得

时，求不等式

.

的解集；

的解集为时，求实数的取值范围. (Ⅱ)

或

并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到到不等式，解不等式求得结果. 【详解】

(Ⅰ)当当当综上，(Ⅱ)当

时，时，

时，时，

，即，即，无解 的解集为

，即

时,

时等号成立；当，即时,

时等号成立

16

所以即

的最小值为 或

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.

17