2020-2021学年陕西省汉中市西乡县八年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知𝑎>𝑏，若c是任意实数，则下列不等式中总成立的是( )
A. 𝑎+𝑐<𝑏+𝑐 B. 𝑎−𝑐>𝑏−𝑐 C. 𝑎𝑐<𝑏𝑐 D. 𝑎𝑐>𝑏𝑐
3. 如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到𝐴′𝐵′𝐶
的位置，使A、C、𝐵′三点共线，那么旋转角度的大小为( )
A. 45° B. 90° C. 120° D. 135°
M是BC中点，AD平分∠𝐵𝐴𝐶，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷⊥4. 如图，
𝐴𝐷于D，延长交AC于N，若𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=16，则MD的长为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7.5
5. 如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，BD平分∠𝐴𝐵𝐶交AC于点D，过点D
作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点E，且𝐶𝐸=1.5，则AB的长为( )
A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5
6. 下列分解因式正确的是( )
A. −𝑎+𝑎3=−𝑎(1+𝑎2) C. 𝑎2−4=(𝑎−2)2
B. 2𝑎−4𝑏+2=2(𝑎−2𝑏) D. 𝑎2−2𝑎+1=(𝑎−1)2
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7. 学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，
购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为( )
A. C.
10000𝑥10000𝑥−5
−−
9000𝑥−59000𝑥
=100 =100
B. 𝑥−5−D.
9000𝑥
900010000𝑥10000𝑥−5
=100 =100
−
8. 如图，四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐶𝐷，对角线AC，BD
交于点O，下列条件中，不能说明四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. 𝐴𝐷=𝐵𝐶 C. 𝐴𝐵//𝐶𝐷
B. 𝐴𝐶=𝐵𝐷 D. ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴
9. 如图，函数𝑦1=−2𝑥与𝑦2=𝑎𝑥+3的图象相交于点
𝐴(𝑚,2)，则关于x的不等式−2𝑥>𝑎𝑥+3的解集是( )
A. 𝑥>2 B. 𝑥<2 C. 𝑥>−1 D. 𝑥<−1
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠𝐵𝐴𝐷，分别交
BC、BD于点E、P，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=1，∠𝐴𝐷𝐶=60°，连接OE，则下列结论：①∠𝐶𝐴𝐷=
1
30°，②𝐵𝐷=√7，③𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，④𝑂𝐸=4𝐴𝐷，⑤𝐸𝑂平分∠𝐴𝐸𝐶，
1
正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 11. 因式分解：𝑥4−16𝑥2= ______ ．
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12. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则
∠𝐶𝐴𝐸=______．
13. 若关于x的分式方程
𝑚𝑥−1𝑥−2
+2−𝑥=2有整数解，m的值是______ ．
1
14. 如图，▱ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，E、F分别在CD和BC的延
𝐴𝐸//𝐵𝐷，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，长线上，则AB的长是______． 𝐸𝐹=√3，
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分） 15. 计算：(𝑦−1−𝑦+1)÷
四、解答题（本大题共10小题，共73.0分）
b，c满足𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=𝑎𝑐−𝑏𝑐，16. 已知△𝐴𝐵𝐶的三边长a，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，
并说明理由．
17. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐶<𝐵𝐶，请用尺规作图在BA上取
一点P，使得𝑃𝐴+𝑃𝐶=𝐵𝐴．
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8
𝑦2−6𝑦+9𝑦2+𝑦
．
18. 如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一
点E，在DB的延长线上取一点F，使𝐵𝐹=𝐷𝐸，连接AF、𝐶𝐸.求证：𝐴𝐹//𝐶𝐸．
𝑥−3(𝑥−2)≥4
19. 解不等式组{2𝑥−1𝑥+1，并把解集在数轴上表示出来．
<
5
2
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20. 如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标为𝐴(1,−4)，𝐵(3,−3)，
𝐶(1,−1).(每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形)
(1)将△𝐴𝐵𝐶沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)将△𝐴𝐵𝐶绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△𝐴2𝐵2𝐶2，并求出线段𝐴𝐴2的长度．
21. 如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，BD是中线，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E交BC边延长线
于F，𝐴𝐸=1，求BF的长．
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22. 列不等式(组)解应用题：
一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆一次将货物全部运完，已知每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，租金800元，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，租金850元，若此工厂计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．
23. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠𝐵𝐴𝐷的角平分线AE交
CD于点F，交BC的延长线于点E． (1)求证：𝐵𝐸=𝐶𝐷；
(2)连接BF，若𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，∠𝐵𝐸𝐴=60°，𝐴𝐵=4，求平行四边形ABCD的面积．
24. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后
果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
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(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
25. 在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，P是线段BC上一点(与点B、C不重合)，连
接AP，延长BC至点Q，使得𝐶𝑄=𝐶𝑃，过点Q作𝑂𝐻⊥𝐴𝑃于点H，交AB于点M． (1)求证：∠𝑀𝑄𝐵=∠𝑃𝐴𝐶； (2)求证：𝐴𝑃=𝑄𝑀；
(3)用等式表示线段MB与CP之间的数量关系，并证明．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵𝑎>𝑏，c是任意实数，∴𝑎+𝑐>𝑏+𝑐，故本选项错误； B、∵𝑎>𝑏，c是任意实数，∴𝑎−𝑐>𝑏−𝑐，故本选项正确；
C、当𝑎>𝑏，𝑐<0时，𝑎𝑐<𝑏𝑐，而此题c是任意实数，故本选项错误； D、当𝑎>𝑏，𝑐>0时，𝑎𝑐>𝑏𝑐，而此题c是任意实数，故本选项错误； 故选：B．
根据不等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质： (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：∵三角板ABC为等腰三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐵=45°，
∵在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到𝐴′𝐵′𝐶的位置，使A、C、𝐵′三点共线， ∴∠𝐴′𝐶𝐵′=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∠𝐴𝐶𝐴′等于旋转角， ∵点A、C、𝐵′三点共线，
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∴∠𝐴𝐶𝐵′=180°，
∴∠𝐴𝐶𝐴′=180°−∠𝐴′𝐶𝐵′=135°， 即旋转角为135°． 故选D．
根据等腰直角三角形的性质得∠𝐴𝐶𝐵=45°，再根据旋转的性质得∠𝐴′𝐶𝐵′=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∠𝐴𝐶𝐴′等于旋转角，由于点A、C、𝐵′三点共线，则∠𝐴𝐶𝐵′=180°，于是∠𝐴𝐶𝐴′=180°−∠𝐴′𝐶𝐵′=135°．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质．
4.【答案】A
【解析】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝑁𝐴𝐷， ∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐷于D， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝑁=90°， 在△𝐴𝐷𝐵和△𝐴𝐷𝐻中， ∠𝐵𝐴𝐷=∠𝑁𝐴𝐷{𝐴𝐷=𝐴𝐷， ∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝑁
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝑁(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝑁=𝐴𝐵=10，𝐵𝐷=𝐷𝑁， ∴𝑁𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝑁=16−10=6， ∵𝑀是BC中点， ∴𝐵𝑀=𝐶𝑀，
∵𝐵𝐷=𝐷𝑁，𝐵𝑀=𝑀𝐶， ∴𝐷𝑀=2𝑁𝐶=3， 故选：A．
证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐻，根据全等三角形的性质得到𝐴𝑁=𝐴𝐵=10，𝐵𝐷=𝐷𝑁，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
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1
5.【答案】C
【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶， ∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐷𝐸=30°， ∵𝐸𝐶=1.5， ∴𝐶𝐷=2𝐸𝐶=3，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交AC于点D， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=3，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐷+𝐶𝐷=6． 故选：C．
由在等边三角形ABC中，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，可求得∠𝐶𝐷𝐸=30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠𝐴𝐵𝐶交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】D
【解析】解：A、−𝑎+𝑎3=−𝑎(1−𝑎2)=−𝑎(1+𝑎)(1−𝑎)，故A选项错误； B、2𝑎−4𝑏+2=2(𝑎−2𝑏+1)，故B选项错误； C、𝑎2−4=(𝑎−2)(𝑎+2)，故C选项错误； D、𝑎2−2𝑎+1=(𝑎−1)2，故D选项正确． 故选：D．
根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
9000𝑥−5
−
10000𝑥
=100．
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故选：B．
直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：A、∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐶=𝐵𝐷，∴不能说明四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意； C、∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴，𝐴𝐶=𝐶𝐴，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐶𝐷，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选B．
根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．
9.【答案】D
【解析】解：∵函数𝑦1=−2𝑥过点𝐴(𝑚,2)， ∴−2𝑚=2， 解得：𝑚=−1， ∴𝐴(−1,2)，
∴不等式−2𝑥>𝑎𝑥+3的解集为𝑥<−1． 故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式−2𝑥>𝑎𝑥+3的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
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10.【答案】D
【解析】解：①∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=60°， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐸=1， ∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=1， ∵𝐵𝐶=2， ∴𝐸𝐶=1， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐸=60°， ∴∠𝐴𝐶𝐸=30°， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=30°， 故①正确；
②∵𝐵𝐸=𝐸𝐶，𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴𝑂𝐸=𝐴𝐵=，𝑂𝐸//𝐴𝐵，
22
∴∠𝐸𝑂𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=60°+30°=90°，
𝑅𝑡△𝐸𝑂𝐶中，𝑂𝐶=√𝐸𝐶2−𝑂𝐸2=√1−=√，
42∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=120°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=30°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=90°，
𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐷中，𝑂𝐷=√𝑂𝐷2+𝐶𝐷2=√，𝐵𝐷=2𝑂𝐷=√7，故②正确； 2③由②知：∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，
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71
31
1
故③正确；
④由②知：OE是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝑂𝐸=2𝐴𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，
211
∴𝑂𝐸=𝐵𝐶=𝐴𝐷，
24故④正确；
⑤∵𝐴𝐸=𝐶𝐸，𝐴𝑂=𝐶𝑂， ∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐸𝑂， ∴𝐸𝑂平分∠𝐴𝐸𝐶， 故⑤正确； 故选：D．
①先根据角平分线和平行线的性质得：∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴，则𝐴𝐵=𝐵𝐸=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠𝐴𝐶𝐸=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：𝑂𝐸=2𝐴𝐵=2，𝑂𝐸//𝐴𝐵，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③因为∠𝐵𝐴𝐶=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断； ⑤由等腰三角形的性质可作判断．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△𝐴𝐵𝐸是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
1
1
11
11.【答案】𝑥2(𝑥+4)(𝑥−4)
【解析】解：原式=𝑥2(𝑥2−16) =𝑥2(𝑥+4)(𝑥−4)． 故答案为：𝑥2(𝑥+4)(𝑥−4)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
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12.【答案】72°
【解析】解：∵正五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°， ∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐸=×540°=108°，
51
又∵𝐵𝐴=𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶=2×(180°−108°)=36°， ∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶=72°． 故答案为：72°．
利用多边形内角和公式求得∠𝐵的度数，在等腰三角形ABC中可求得∠𝐵𝐴𝐶的度数，进而求得∠𝐶𝐴𝐸的度数．
本题考查了多边形内角，等腰三角形的性质，解此题的重点是掌握多边形内角和公式是关键．
1
13.【答案】4或3或0
【解析】 【分析】
首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解． 此题主要考查了解分式方程，其中：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． (2)解分式方程一定注意要验根． 【解答】 解：
𝑚𝑥−1𝑥−2
+
12−𝑥
=2，
∴𝑚𝑥−1−1=2(𝑥−2)， ∴𝑥=−𝑚−2， 而分式方程有整数解，
∴𝑚−2=1或𝑚−2=−1或𝑚−2=2或𝑚−2=−2，
但是𝑚−2=−1时，𝑥=2，是分式方程的增根，不合题意，舍去， ∴𝑚−2=1或𝑚−2=2或𝑚−2=−2， ∴𝑚=4或3或0．
故答案为：𝑚=4或3或0．
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2
14.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∵𝐴𝐸//𝐵𝐷，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐸=𝐶𝐷， 即D为CE中点， ∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐹𝐶=90°， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐶=60°， ∴∠𝐶𝐸𝐹=30°， ∵𝐸𝐹=√3， ∴𝐶𝐸=𝑐𝑜𝑠30∘=2， ∴𝐴𝐵=1， 故答案为：1．
𝐴𝐵//𝐶𝐷，根据平行四边形性质推出𝐴𝐵=𝐶𝐷，得出平行四边形ABDE，推出𝐷𝐸=𝐷𝐶=𝐴𝐵，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
𝐸𝐹
15.【答案】解：(𝑦−1−𝑦+1)÷
=
8
𝑦2−6𝑦+9𝑦2+𝑦
(𝑦−1)(𝑦+1)−8𝑦(𝑦+1)
⋅
𝑦+1(𝑦−3)2𝑦2−9𝑦(𝑦+1)
=⋅
𝑦+1(𝑦−3)2(𝑦+3)(𝑦−3)𝑦(𝑦+1)=⋅ 𝑦+1(𝑦−3)2=
=
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𝑦2+3𝑦𝑦−3
𝑦(𝑦+3)
𝑦−3．
【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键明确分式的混合运算的计算方法．
16.【答案】解：△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形．
∵𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=𝑎𝑐−𝑏𝑐， ∴(𝑎−𝑏)2=𝑐(𝑎−𝑏)， ∴(𝑎−𝑏)2−𝑐(𝑎−𝑏)=0， ∴(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏−𝑐)=0， ∵𝑎、b、c是△𝐴𝐵𝐶的三边长， ∴𝑎−𝑏−𝑐≠0， ∴𝑎−𝑏=0， ∴𝑎=𝑏，
∴△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形．
【解析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，解决本题的关键是把𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=𝑎𝑐−𝑏𝑐进行因式分解．把𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=𝑎𝑐−𝑏𝑐进行因式分解，即可解答．
17.【答案】解：如图点P即为所求．
理由：∵𝑀𝑁垂直平分线段BC， ∴𝑃𝐶=𝑃𝐵，
∴𝑃𝐶+𝑃𝐴=𝑃𝐵+𝑃𝐴=𝐴𝐵．
【解析】作线段BC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P，连接PC，点P即为所求．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的刚开始灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐵𝐸， ∵𝐵𝐹=𝐷𝐸，
∴𝐵𝐹+𝐵𝐷=𝐷𝐸+𝐵𝐷， 即𝐷𝐹=𝐵𝐸， 在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，
𝐴𝐷=𝐵𝐶{∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐵𝐸
𝐷𝐹=𝐵𝐸
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐶𝐸𝐵， ∴𝐴𝐹//𝐶𝐸．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质有关知识，由平行四边形的性质得出𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，证出∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐵𝐸，𝐷𝐹=𝐵𝐸，由SAS证明△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
,
19.【答案】解：解不等式𝑥−3(𝑥−2)≥4，得：𝑥≤1，
解不等式
2𝑥−15
<
𝑥+12
，得：𝑥>−7，
则不等式组的解集为−7<𝑥≤1， 将解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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20.【答案】解：(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求：
(2)如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求：
连接𝑂𝐴2，𝑂𝐴1，
由旋转性质得，𝑂𝐴1=𝑂𝐴2，
∵𝑂𝐴1=√(−4−0)2+(−1−0)2=√17，
2∴𝐴𝐴2=√𝑂𝐴1+𝑂𝐴22=√17+17=√34．
【解析】(1)分别将点A、B、C向上平移5个单位得到对应点，再顺次连接可得； (2)分别将点A、B、C绕点O顺时针旋转90°得到对应点，再顺次连接可得，再利用勾股定理求得𝐴𝐴2的长度即可．
本题主要考查作图−平移变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握平移作图和旋转90°作图．
21.【答案】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，BD是中线，
∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=60°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐶𝐷=2𝐴𝐶， ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，
∴∠𝐴𝐷𝐸=90°−∠𝐴=30°， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=2𝐴𝐸=2，
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1
∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐸=30°， ∴∠𝐹=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐶𝐷𝐹=30°， ∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐹， ∴𝐷𝐶=𝐶𝐹，
∴𝐵𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐹=2𝐴𝐷+𝐴𝐷=6．
【解析】根据等边三角形的性质和中线的性质解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一性质解答．
22.【答案】解：设租用甲型汽车x辆，则租用乙型汽车(6−𝑥)辆，
16𝑥+18(6−𝑥)⩾0
, 依题意得：{
800𝑥+850(6−𝑥)≤5000解得2≤𝑥≤4， ∵𝑥的值是整数， ∴𝑥的值是2，3，4． ∴该公司有三种租车方案：
①租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆，费用为5000元； ②租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆，费用为4950元； ③租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆，费用为4900元． ∴最低的租车费用为4900元．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
设租用甲型汽车x辆，则租用乙型汽车(6−𝑥)辆，根据装货物的吨数是100吨，以及租车费用不超过5000元，列出不等式组，解出x的值，进一步即可求解．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷𝐴𝐸， ∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐷的平分线， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐸，
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∴𝐵𝐸=𝐶𝐷；
(2)解：∵𝐴𝐵=𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐴=60°， ∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵=4， ∵𝐵𝐹⊥𝐴𝐸， ∴𝐴𝐹=𝐸𝐹=2，
∴𝐵𝐹=√𝐴𝐵2−𝐴𝐹2=√42−22=2√3， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐷=∠𝐸𝐶𝐹，∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐸， 在△𝐴𝐷𝐹和△𝐸𝐶𝐹中， ∠𝐷=∠𝐸𝐶𝐹{∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐹=𝐸𝐹
，
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐸𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴△𝐴𝐷𝐹的面积=△𝐸𝐶𝐹的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△𝐴𝐵𝐸的面积=2𝐴𝐸⋅𝐵𝐹=2×4×2√3=4√3．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴，即可得出𝐴𝐵=𝐵𝐸，进而得证； (2)先证明△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，𝐴𝐹=𝐸𝐹=2，得出𝐴𝐸=𝐴𝐵=4，由勾股定理求出BF，由AAS证明△𝐴𝐷𝐹≌△𝐸𝐶𝐹，得出△𝐴𝐷𝐹的面积=△𝐸𝐶𝐹的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△𝐴𝐵𝐸的面积=2𝐴𝐸⋅𝐵𝐹，即可得出结果．
1
1
1
24.【答案】解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x
件， 依题意有
13200𝑥
+10=
288002𝑥
，
解得𝑥=120，
经检验，𝑥=120是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
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(2)3𝑥=3×120=360，
设每件衬衫的标价为y元，依题意有
(360−50)𝑦+50×0.8𝑦≥(13200+28800)×(1+25%)， 解得𝑦≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可； (2)设每件衬衫的标价为y元，根据题意列不等式解答．
25.【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴∠𝐶𝑃𝐻+∠𝑃𝐴𝐶=90°． ∵𝑄𝑀⊥𝐴𝑃， ∴∠𝑄𝐻𝑃=90°， ∴∠𝑀𝑄𝐵+∠𝐶𝑃𝐻=90°， ∴∠𝑀𝑄𝐵=∠𝑃𝐴𝐶；
(2)证明：连接AQ，如图所示．
∵𝐴𝐶⊥𝑄𝑃，𝐶𝑄=𝐶𝑃， ∴𝐴𝑄=𝐴𝑃， ∴∠𝑄𝐴𝐶=∠𝑃𝐴𝐶．
∵∠𝑄𝐴𝑀=∠𝑄𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑃𝐴𝐶+45°，∠𝐴𝑀𝑄=∠𝑀𝑄𝐵+∠𝐵=∠𝑃𝐴𝐶+45°， ∴∠𝑄𝐴𝑀=∠𝐴𝑀𝑄， ∴𝐴𝑄=𝑄𝑀． ∵𝐴𝑄=𝐴𝑃， ∴𝐴𝑃=𝑄𝑀．
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(3)𝑀𝐵=√2𝐶𝑃.理由如下： 作𝑀𝐸⊥𝑄𝐵与E，
在△𝐴𝑃𝐶和△𝑄𝑀𝐸中，
∵∠𝑀𝑄𝐸=∠𝑃𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝑃=∠𝑄𝐸𝑀=90°，𝐴𝑃=𝑄𝑀， ∴△𝐴𝑃𝐶≌△𝑄𝑀𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑃𝐶=𝑀𝐸．
∵△𝑀𝐸𝐵是等腰直角三角形， ∴𝐵𝐸=𝑀𝐸．
∵𝐵𝐸2+𝑀𝐸2=𝑀𝐵2， ∴𝑀𝐵=√2𝑀𝐸， ∴𝑀𝐵=√2𝐶𝑃．
【解析】(1)根据同角的余角相等即可证明结论； (2)连接AQ，证明𝐴𝑄=𝑄𝑀，进而可得结论；
(3)作𝑀𝐸⊥𝑄𝐵与E，利用AAS证明△𝐴𝑃𝐶≌△𝑄𝑀𝐸，可得𝑃𝐶=𝑀𝐸.再根据△𝑀𝐸𝐵是等腰直角三角形，和勾股定理即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△𝐴𝑃𝐶≌△𝑄𝑀𝐸．
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