关于P—一致Toeplitz矩阵

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３４卷第４期　哈尔滨工业大学学报　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．４　２　０　０　２年８月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＡＲＢＩＮ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ａｕｇ．，２　００２　关于尸一一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵　曲文波　一，陈延梅　（１．苏州科技学院基础部，江苏苏州２１５０１１；２．哈尔滨工业大学理学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）　摘要：将Ｍａｄｄｏｘ在Ｐ一范空间上引入的Ｐ—Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵进行了推广，引进了Ｐ一一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的概　念．在对一般Ｐ一范空间上的Ｐ—Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的特征作出刻划的基础上，进二步对Ｐ一一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的　特征作出了刻划．作为应用，得到了一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的特征．　关键词：Ｐ一范；一致收敛；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵　中图分类号：０１７７．３　文献标识码：Ａ　文章编号：０３６７－６２３４（２００２）０４－０５２９－０２　Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｐ—－ｕｎｉｆｏｒｍ　ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ＱＵ　Ｗｅｎ．ｂｏ　，ＣＨＥＮ　Ｙａｎ．ｍｅｉ　（１．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　Ｄｅｐｔ．，Ｓｕｚｈｏｕ　ＣｏＮｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｕｚｈｏｕ　２１５００１，Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　ｃＳｉｅｎｃｅ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｉｎ－　ｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｔｅｎｄｓ　ｔｈｅ　Ｐ—Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｂｙ　Ｍａｄｄｏｘ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｐ—ｎｏｌ３＇ｎ　ｓｐａｃｅｓ，ａｎｄ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｐ—ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｄｅｐｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆ　ｈｔｅＰ—Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌＰ—ｎｏｌ３＇ｎ　ｓｐａｃｅｓ，ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆｔｈｅＰ—ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉ—　ｃｅｓ　ｉｓ　ｄｅｐｉｃｔｅｄ　ｆｕｒｔｈｅｒ．Ａｓ　ａｎ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆ　ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐ—ｎｏｒｍ．；ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　设Ａ＝（口　）　是一个无穷复数矩阵，经典的　∑口　ｙ　对每个ｎ收敛，并且ｙ中序列　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ定理说的是：任何无穷矩阵将收敛序列变　换成收敛序列并且保持极限不变的充要条件为　｛∑口　ｙ　｝　：。与｛Ｙ‘｝收敛于同一极限，那么称　（１）ｓ　ｐ∑Ｉ口　Ｉ＜∞；　Ａ＝（口　）　是一个Ｐ—Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵　．　设　是一个无穷集合，（　，ｌ１．ＩＩ）是一个Ｐ一　（２）ｌｉｍ口　＝０，ｋ∈Ⅳ；　范空间　：　，ｋ∈Ⅳ＿用　表示｛　｝在　上　一（３）ｌ　∑口　＝１．　致收敛于　，即对每个ｓ＞０，ｊ　ｋ０∈Ｎ，当ｋ≥　ｋ０时，Ｉ　（ｔ）一　ｔ）ＩＩ＜ｓ，ｋ≥ｋ０，ｔ∈　设（　，ｌ１．ＩＩ）是一个Ｂａｎａｃｈ空间，０＜Ｐ≤１，　设对每个ｎ，ｋ∈Ｎ，Ａ　是（　，ｌ１．ＩＩ）到自身的　记　（　）＝｛（ｙ　）：ｙ　∈Ｘ并且∑Ｉｌｙ　ｌＩ　＜∞｝，　连续线性算子，即Ａ　∈Ｌ（Ｘ，Ｘ）．称｛Ａ　｝是一个　Ｐ一一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，如果对每个／７，∈Ｎ，ｔ∈Ｔ，　Ｙ＝ｌｐ（Ｘ），对每个Ｙ＝（Ｙ　）∈／ｐ（　），若定义准　￣ｌｌｙｌｌ＝∑ｌｌｙ　ｌｌｐ，那么（Ｙ，ｌ１．１１）是一个Ｐ一范　级数∑Ａ￣ｆｋ（ｔ）在Ｐ一范数拓扑下收敛，并且若　，一定也有　空间　．若对ｙ中每个收敛序列｛Ｙ　｝，级数　∑Ａ　收稿日期：２０００—１２—１３．　首先，在一般的Ｐ一范空间上给出Ｐ—　基金项目：江苏省教育厅自然科学基金项目资助　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子无穷矩阵的刻划．这是证明本文主　作者筒介：曲文波（１９６５一），男，副教授．　要结果的需要，同时也有其独立意义．　维普资讯 http://www.cqvip.com ・５３０・　哈尔滨工业大学学报　第３４卷　定理１　设（　，ｌ１．１１）是一个完备的Ｐ一范空　间，Ａ　∈Ｌ（　，　），那么无穷矩阵（Ａ　）　将（　，　再由条件（１）及ｌ　（￡）一　￡）ｌｌ＜　对每个ｔ　∈Ｔ及ｋ≥ｋ。都成立和（Ｘ，ｌ１．１１）是一个Ｐ一范空　间，不难得证　∞　ｌｌ　＿。　ｌＪ．Ｊ　Ｊ）中的收敛序列变换成收敛序列并有相同极　限的充要条件是　．．　ｍ　．．　ｌｌ∑Ａ　（￡）－ｆ（￡）ｌ　ｌＭ＜ｏ。；　（　）ＩＩ　Ａ　一　。　ｎ．ｍＥＮ关于ｔ∈Ｔ一致收敛于０．充分性成立．　（２）ｌｉｍ　Ａ　＝０，　∈　，ｋ∈Ⅳ；　（３）ｌｉ　∑Ａ　＝　，　∈　．　证明　充分性．由条件及文献［３］不难得知　结论成立．　必要性．若　∈　，记第ｋ。个坐标为　而其余　坐标全为０的序列为　ｅ　则　ｅ　在Ｐ一范　数下收敛于０．因而若记　ｅｈ为（　），有　必要性．任取（ｚ　）∈Ｃ（　），令　（ｚ）＝　＾，ｔ∈Ｔ，　ｚ）＝　，　其中　是（　）的极限．那么，显然　因而对　每个ｎ∈Ｎ，级数∑Ａ　收敛，并且｛∑Ａ　｝　在Ｐ一范数意义下收敛于　．由定理１即知条件　（１）和条件（３）成立．　若条件（４）不成立，则存在ｎ。＜ｎ　＜…，　Ａ　。≠　因而有　∈　，ｌｌＡ　。一　ｌｌ＞０．　记Ｙ　＝Ａ　．　—　ｌｉ　∑Ａ　。＾＝ｌｉ　Ａ　＝０，　即条件（２）成立．同理可证条件（３）成立．　，。，并令｛ｔ１，ｔ２，…，ｔ＾，…｝　。　．　．　定义厂：　—　为　ｆ（ｔ　）＝　ｆ　记Ｃ（　）是（　，ｌ１．１１）中收敛序列全体，对于　（　）∈ｃ（ｘ），记ｌｌ（　）ｌｌ＝ｓ　ｐｌＩｘ　ｌ１．因为（　，　ｌ１．１１）是完备的Ｐ一范空间，因而可证（Ｃ（　），　ｌ１．１１）也是完备的Ｐ一范空间．注意到Ａ＝（Ａ　）　将Ｃ（　）变换为Ｃ（　），这样利用Ｐ一范空间上的　致有界原理及文献［３］即可得证条件（１）也成　一一　’　其他；　但　Ｌ　０，　并取　＝ｆ，那么自然有　∞．．　　．．　ＩＩ∑Ａ　ｔｉ）一　￡　）ＩＩ＝　因而当ｎ取为ｎ　时　∞＿＿　—　ＩＩ／ｌｌｙ　ｌｌ，　立．本文主要结果如下．　　＿。　定理２　设（　，ｌ１．１１）是一个完备的Ｐ一范空　间，那么Ａ＝（Ａ　）　是一个Ｐ一一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩　ｌ∑Ａ　ｔｉ）－ｆ（ｔｉ）ｌｌ＝ｌＩａ　ｉ—　ｌＩ／ｌｌｙ　ｌｌ＝　ＩＪ　．　一　ｉＩＩ／ｌｌａ　一　ＩＪ＝１．　这说明Ａ不是Ｐ一一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵．同理可证　阵的充要条件是　（１），　ｌ　Ａ　≤　＜ｏ。；　（２）Ａ的每列只有有限个非０项；　（３）对每个ｎ∈Ｎ２￣２７∈　，Ａ　＝　Ａ　收敛；　条件（２）也成立．证毕．　作为定理２的一个应用，立刻有下列推论：　推论１　设（　，ｌ１．１１）是一个Ｂａｎａｃｈ空间，　那么Ａ＝（Ａ　）　是一个一致Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的充要　条件是　（１１　Ａ　≤　；　ｕ　（４）当ｎ充分大时，Ａ　＝，，即Ａ　＝　．　证明　充分性．设　，那么对每个　＞０，　存在ｋｏ，当ｋ≥ｋｏ时，对所有ｔ∈Ｔ都有　（２）Ａ的每列只有有限个非０项；　（３）叉寸每个ｎ∈Ⅳ及　∈　，Ａ　＝　Ａ　收敛；　ｌ　（ｔ）一　ｔ）ｌｌ＜　・　也就是说，对每个ｔ∈Ｔ，　（ｔ））∈Ｃ（　），且　｛　（ｔ）｝在Ｐ一范数意义下一致收敛于　ｔ）．显然　定理２的条件蕴涵了定理１的条件，因而级数　（４）当ｎ充分大时，Ａ　＝Ｌ　参考文献：　［１］ＭＡＤＤＯＸ　Ｉ　Ｊ．泛函分析初步［Ｍ］．北京：人民教育出　版社，１９８３．　［２］ＭＡＤＤＯＸ　Ｉ　Ｊ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｉｒｃｅｓ［Ｊ］．Ａｎａｌｙ－　ｓｉｓ，１９９２，１２：３３５－３４２　∑Ａ￣ｆｋ（ｔ）收敛．由条件（４），存在ｍ，当ｎ≥ｍ　时，Ａ　＝　再由条件（２），存在ｎ。，使得对每个１　≤ｋ≤ｋｏ，ｎ＞ｎｏ，都有Ａ　＝０．取ｎ＞ｍ＋ｎｏ，有　∑Ａ￣ｆｋ（ｔ）＝　￡）＋∑Ａ　（￡）一　￡）），　＝『３］ＷＵ　Ｊ　Ｄ，Ｕ　Ｒ　Ｌ，ＺＨＥＮＧ　Ｗ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｍａｔｉｒｘ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ【Ｊ　１．Ｐｒｏｙｅｃｃ　Ｒｅ－　ｖｉｓｔ　Ｄｅ　Ｍａｔｅ，１９９８，１７：１－１１．　１　ｅ．ｏ＋ｌ　这样　［４］ＭＡＤＤＯＸ　Ｉ　Ｊ．Ｕｎｉｆｏｒｍ　ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｍａｔ　Ｊ　Ｍａｔｈ　Ｍａｔｈ　Ｓｃｉ。１９９０。１３：２２７－２３２．　ｌｌ∑Ａ　（ｔ）一　ｔ）ｌｌ＝ｌ１．　Ａ　（　）一　））ｌ１．　（编辑王小唯）