浅谈数列求和的几种常用方法

ＵＩ　ｇ－　　ＩＵＵ　理论前沿　Ｃｈｉｎａ　ＥｄｕｃａｔＩｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｌｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　浅谈数列求和的几种常用方法　李凤霞　（鞍山师范学院附属卫生学校　辽宁鞍山　１１　４００３）　摘要：本文旨在讲述数列求和的意义，一些简单的特殊数列求和的方法，理解数列求和中蕴舍的数学思想。并能利用数列求和解决一些　数列问题。　关键词：数列求和方法思想　中图分类号：Ｇ　７　１　文献标识码：Ａ　１０１０Ｏ　文章编号：１６７３—９７９　５（Ｚ０１　２）０２（ｂ）一０１　０９—０１　在高中数学的学习过程中，数列是高　中数学的重要内容，特别是要求学生掌　握等差与等比数列的求和公式。其相关知　即Ｓｌ００　下　５０５０。　（２）（２ｎ－１）（２ｎ＋１）　（　一　１）　一　）　识在历届高考占有相当重要的位置，数　列求和的常用方法有直接求和法，倒序　相加求和法，错位相减求和法，分组转化　求和法，裂项相消求和法等，现行的人教　版新教材在初高中数学教学衔接上不尽　如人意，对数列求和中蕴含的数学思想方　法，没有充分的利用与挖掘；对有关素材　的处理也不是很到位。下面就简要的谈谈　这些方法。　１直接求和法　现行高中数学教材的一个弊端是，与初　中数学的衔接上处理得不太好。一方面，新　课改删去的内容没有及时补充；另一方面，　初中有接触的一些富有启发性的例子未能　很好地加以利用。在小学与初中数学教学　中，学生接触了不少规律题，其实就是在为　我们高中数列学习作铺垫，我们必须利用好　这些铺垫。如果所给数列是等差数列或等比　数列，那么它们的求和问题，可以直接利用　求和公式解决。　（１）等差数列的前ｎ项和公式：　．ｎ（ｎ—１）　ｎ（ａｌ＋ａ　）　ｎ＝　Ｉ十　２　；　２　（２）等比数列的前ｎ项和公式：①当ｑ＝１　时，Ｓ　＝ｎａｌ　②当ｑ≠ｌＮ，Ｓｎ＝　＝　ｆ　＋１、　（３）ｌ＋２＋３＋・・・＋ｎ＝—∑　１　ｌ０＋２０＋３　＋・・・＋ｎ　＝　ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）　１　１　３＋２　＋・－・＋ｎ３＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）　＝　ｎ２　（ｎ＋１）２　２倒序相加求和法　如果一个数列｛ａ　｝中，与首末两项等距　离的两项之和等于首末两项之和，可采用　把正着写和与倒着写和的两个和式相加，　就得到一个常数列的和，这一求和的方法　称为倒序相加法。例ｌ求ｌ，２，３，・一，ｌ００这　样一个等差数列的和。　【解析】设这个等差数列的和为Ｓ　Ｓ　＝ｌ＋２＋３＋…＋ｌｏ０，①再把项的次序　反过来，可以写成Ｓ．　＝ｌ００＋９９＋・・＿＋ｌ，②把　①，②两式等号两边分别相加，得２　Ｓｌｎｎ＝１Ｏ１＋ｌ０１＋・・・＋ｌ０ｌ＋ｌＯｌ，因为有１ＯＯ个　１０１，所以２　Ｓ　＝ｌ０ｌ×１００＝１０１００　３分组转化求和法　Ｎ３：在数列｛ａ　｝中，ａｎ＝　＋　把数列的每一项分成两项，或把数列　．　２　的项重新组合，或把整个数列分成两部分，　…＋　。　＋１　口　口　＋ｌ……，求数列｛ｂｎ｝ｆ……　ｆ￣Ｎｎ　使其转化成等差或等比数列，这一方法称　为分组转化法。　项的和。　例１：在数列｛ａ　｝中，ａｌ＝２，ａ　＋ｌ＝４ａ　一　ｌ　【解析】‘．ａ　＝—　（Ｉ十２十‘・‘＋ｎ）　３ｎ＋１．ｎ∈Ｎ｝　（１）证明：数列｛ａ　一ｎ｝是等比数列。　１　ｎ（ｎ＋１、　／７　（２）求数列｛ａ　｝的前１２项￥１］Ｓｎ。　＋１　２　２。　【证明】：由题设ａ　＝４ａ　一３ｎ＋１得ａｎ＋１一　（ｎ＋１）＝４（ａｎ－ｎ），　．ｈ：　８（吉一　）．．　．ｎ∈Ｎ　又ａ．一ｌ＝ｌ，所以数列｛ａ　ｎ－ｉ＂１　｝是首２　２　项为ｌ，且公比为４的等比数列。　数列｛ｂ　｝的前ｎ项的和　【解析】由（１）可知ａ一　１１　ｎ＝４　于是数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝　＋ｎ，所以数列｛ａ１３．｝　＝８的前ｎ项和Ｓ　：（１＋４＋４　＋・・・＋４　一　＋　｛（１－　１）＋（　１一ｊ１）＋（ｊ１一　１）＋．．＿＋（　一　）｝　（１＋２＋３＋：＋ｎ）＝—＿４　一】　ｎ（ｎ＋ｌ１＋—　　。　８ｆｌ一　、　ｎ＋１　１：　．－・Ｆ／＋１。　综上所述，数列求和在高中数学教学　４错位相减求和法　中有重要地位，在教学中应利用好其丰富　如果一个数列的各项是由一个等差数　的素材，并注意与初中学习相衔接。多角，　列｛ａ　｝与一个等比数列｛ｂｎ｝对应项乘绩组成　全方法对其展开研究与解读。要帮助学生　的数Ｙｌｌ｛ａ　・ｂ　｝，此时求和可采用错位相减法。　掌握其重要的思方法，达到见题知意，方法　例２：求数Ｎａ，２ａ　，３ａ　，…ｎａ　，・一，（ａ为　信手拈来的状态。本文作者经过考，对数列　常数）的前ｎ项的和。　求和公式的教学进行了优化，并作了适当　【解析】若ａ＝Ｏ，ＮＳｎ＝Ｏ｝　的教学展。但限于本人的学识，论述上难免　挂一漏万，不当之处也不少，只是希望通过　若ａ＝１，Ｎｓ　＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝—　—：　本文引发大家对数列求和教学的再思，希　若ａ≠０且ａ≠１。Ｎｓ　＝ａ＋２ａ　＋３ａ　＋…＋ｎａ　，．‘．　望能起到抛砖引玉之效。　ａＳ　＝ａ　＋２　＋３　＋・－・＋ｎａ“　．　．（１一ａ）　总而言之，数列求和问题的关键在于　数列通项公式的表达形式，根据通项公式　Ｓ＝ａ＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋．￣．ａｎ＿ｎａｎ＋ｌ＝　…　的形式特点，灵活采用恰当的方法是这类　ｎｎａ　０题得解题的诀窍。中应利用好其丰富的素　一ｆ，？＋１）ａ　“＋ａ　——　一’・－　　，当ａ　ＯＮ，上　材，并注意与初中学习相衔接。　式也成立。　参考文献　即一ｒ　＋ｎ　【１］毛磊，寇冰煜，滕兴虎，等．关于数列极　‘．．当ａ＝１时，ｓ　＝——　当ａ≠１时，　限概念引入的一点探讨［Ｊ】．数学学习与　ｎＯ　一ｒ＂＋１）ａ　。＋ａ　研究，２０ｌ１（１　３）．　ｓ——　一ｎ　。　［２】丁建．数列求和的几种重要方法［Ｊ】．数　理化解题研究（高中版），２０１１（８）．　５裂项相消求和法　【３】杨香红．浅谈数列求和的几种常用方法　把数列的通项拆成两项之差，即数列　［Ｊ］．读与写（教育教学刊），２０１１（４）．　的每一项都可按此法拆成两项之差。在求　【４］田会艳．数列求和的几种常用方法［Ｊ】．　和时一些正负项相互抵消，于是前ｎ项的和　新高考（语文数学英语），２００９（１）．　变成首尾若干项之和，这一求和方法称为　［５］杜洁．浅谈求数列通项公式的几种方法　裂项相消求和法。常见的拆项公式有：　［Ｊ】．中学生数理化（高中版・学研版），　ｌ　１　１　２０１　１（１）．　（１）　而　一　中国科教创新导刊　Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　１　０９