第２０卷第１期 海南师范大学学报（自然科学版） 、，ｏｌ１．２０ Ｎｏ．１ ２００７年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ Ｏｆ Ｈａｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｒ．２００７ Ｂａｓｋａｋｏｖ－Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ 算子收敛速度的估计 毛梁成 （浙江师范大学数理学院，浙江金华３２１００４） 摘要：利用Ｂｏｊａｎｉｃ方法来估计Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子对在［０，∞）有界变差函数的收敛 速度，并且收敛速率是不可改进的． 关键词：Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子；有界变差；收敛速度 中图分类号：Ｏ １７７．４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—８７４７（２００７ ０１—０００３—０６ Ｂａｓｋａｋｏｖ－Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子定义 ： ｆ，ｘ）：（ｎ一１） （ ） ， （ ）ａｔ，戈Ｅ［ｏ ∞），ｋ ＝０ 这里，，满足等式右边有意义Ｖｎ，ｋ ｆ，ｘ）：ｆｎ＋ｋ，一 １ （１＋ ） ． １９９１年Ｄｉｎｇｘｕａｎ Ｚｈｏｕ在文［２］中利用Ｂａｓｋａｋｏｖ－Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子对定义在［０，∞）上的Ｌｉｐｓ（０＜ｏ【＜１） 的函数性质进行研究，得到对ｆＥＣ［０，∞）ＡＬ ０，∞），０＜ｏ【＜１， ｒ，ｘ）一 ）ｌ≤ （ ＋ ） （１＜ｎＥＮ， Ｅ［ｏ，∞）， 是与ｎ， 无关的常数）成立当且仅当Ｗ ｔ）＝０（ ），Ｗ ｔ）： ｕｐ ｌｌ△ ）ｌ ｌ． Ｕ（ 此处 ｆ△＾ ）： ＋ｈ）－ｆ（ ）， ＋ｈ， Ｅ［ｏ，∞）； Ｉ△ ）：０， 其它． 还有，在文［２，３］中也有一些相关的性质的研究． ２００１年郭顺生、守占杰在文［４］中得到它的线性组合的点态逼近等价定理，齐秋兰、郭顺生在文［５］中估 计了它的ｒ阶导数逼近．２００２年Ｚｅｎｇ和Ｇｕｐｔａ在文［６１２￣Ｇｕｐｔａ在文［７】中对ｆＥ０ｃ在［０，ｏ。）有限子区间为有 界，且当 ∞时ｆ（ｔ）：０（护），卢＞０）的情况进行了估计． 本文对在［０，∞）上有界变差函数，用Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子对其收敛速度进行估计，得到如下结 论： 定理 ＶｆＥＢＶ［Ｏ，∞）对足够大的ｎ，有 ＩＶ ， ）一 ＋）一 一）Ｉ≤ （鱼 ＋ ）荟 ： （邑）＋ ＋ （ ）＋ ） ｌ一 ， 其中： 为，在［０，∞）上的全变差， 收稿日期：２００６－１０－２７ 维普资讯 http://www.cqvip.com
４ 海南师范大学学报（自然科学版） ）一 ＋），ｔ＞ ， ２００７矩 （ｔ）＝｛０，ｔ＝ ， ）一 一），ｔ＜ ． 并且这收敛速度不可再改进． １ 引理及定理证明 在证明定理之前，需要一些引理： 引理１ 设 为相同的分布函数的独立随机变量，０＜ ＜∞，卢，＝Ｅ（ｓ￣ｉ一聪） ＜∞，那么 ｌＰｃ ｂ，Ｘ／－ｎ－ｋ ＝， 其中 ＝ １）＇６ ＝ ＝ 一 ） ， ｎ 一击 Ｉ＜ 鲁， ≤ｃ＜。＿８２。 ＜ 引理２ 引 若Ｖｘ＞０，则 ． ㈤ Ｊ １∑ ， （ ）一∑ 一 ， （ ）ｌ≤ ！— ＝ ０ ＝０ ｍｌ Ｖ ｎ ｘ． ． 证明因Ｐ（＂ｑｎ＝ｋ）＝ ㈤， ＝ ） ≤３ ，６１２＝ ） 故 ≤嘉 一 ， 『理１得 １ ｆ 粤出Ｉ＜ ３￣ｖ／１＋ｘ， 去ｆｊ－ （ 。 ｛＜ ３Ｘ／１＋ｘ， 则 瓢 一￣／Ｙ４－』 。 Ｉｌ＋ ≤ 引理４ 证明理５ 一∑ （ ）＝（ｎ—１） Ｊ（ｔ）ｄｔ． Ｖｎ ２， 通过简单计算可得以上结果． ）≤ ＋ ． 证明 见文【１］中的引理２．１． ￣１ｔ＇１ ６令Ｋｎ（ ， ）：（ｎ—１）∑ （ ） 础（ ），那么： １）对０≤ ＜ ，有 维普资讯 http://www.cqvip.com
第１期 毛梁成：Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子收敛速度的估计 ５ Ｊｒ 。Ｙ （ ， ｆ ｄ ≤ （ 一Ｙ） ２ （＼ ／ ７，＋ ／７，）／ ， ２）对ｚ＞ ，有 』二 一 （— ≤（ｚ一 －２（ ＋ Ａ ／Ｌ 、， 证明 因对０≤Ｙ＜ ，ｔ Ｅ［ｏ，２ ）ｙ］，有 —一、２ １， ｙ 一ｔ ≥１．所以 ： 一ｙ ／Ｌ Ｊｒ 。Ｙ （ ， ｔ）ｄｔ ≤』 （ ，ｔ）ｄｔ ≤（ｘ－ｙ） ２ （ ，ｔ）ｄ ≤ｘ－），） （ 盟＋— ｌ 、， 同理， 』 （ ≤（ｚ －２（ 盟＋ ∑ 定理的证明对Ｖｆ￣ＢＶ［Ｏ，∞），－厂（ｆ）都可写成 ）：｝ ＋）＋ 一）］＋ ∽＋ ｓｇｎ（ 一 ）＋ ㈤ ）一 ＋）一 一）］， 其中： １，ｔ＞ ， （ ）： ｆ １， ：ｔ， ｓｇｎ（ｔ一 ： １，ｔ： ， 【０．其它． －１．ｔ＜ ． 一 则Ｖ （ （ｔ）， ）：０． ＾ ●●●●●Ｊ ∞ 先估计Ｖ （ｓｇｎ（ｔ一 ）， ）： ／Ｌ ， ）：．』ｏ ｓｇｎ（ｔ－ｘ）Ｋ（ ） 』 （ ） ｔ）ｄｔ：Ａ （ ）一Ｂｎ（ ）． 由引理４．得 （ ） ∑ ¨（ ）， ｋ＝０ ｉ＝０ 由引理５，得 ∞ ｋ Ａ （ ）＋ ∑ （ ）∑ （ ） ≤ ９、／雨 ｋ＝０ ｉ＝０ ∞ ｋ Ｓ：∑ （ ） ∑ ）－－１２ ０ ，０＋ １ ｖ ０－Ｉ－ ２ ｖ ０＋ １＋Ｖｎ，，，２）＋…， ． （，，，，１）＋ ，ｋ＝０ ｉ＝０ ，＝ ｖ ０＋ １＋ ＋ ０＋ ．，，２＋…）ｖ ０，，，０＋…）＝ ０ ｖ ０＋ １＋ ２＋…）＋…＋ ， ｖ ，０＋ ，１＋ ，２＋…）＋…， ．．，，所以 ２ ２ ２ ２Ｓ一，： ０－Ｉ－ １－Ｉ－Ｖｎ，２＋…・ 。，由引理２，得 ＜｝ ≤ ２ｘ／一２ｅｘｎ ＇ 所以 ＜ｌ ｓ一｝ｌ＜ 又 Ａ （ ）＋Ｂｎ（ ）：１， 所以 Ａ ） ）ｌ：１ ２Ａ ）．１ ｌ＜ ， 维普资讯 http://www.cqvip.com
６ 海南师范大学学报（自然科学版） ２００７年 所以 ｌＡ （ ）一Ｂ （ ）ｌ＝ｌ ２Ａ （ ）一１ ｌ＜ 、／Ｖｎ（ｓｇｎ（ｔ一 ）， ）＜ Ｘ／２ｅｘｎ ２ｅｘｎ ， ． 下面估计 （邑， ）． 寺 ａ。， 嘉 ． ＋ ， （邑， ）＝』 （邑（ ） （ ， ） ＝（』 ＋ ＋ ）邑（ ） （ ， ） ： （厂， ）＋ａ。， （厂， ）Ａ，（厂， ）（邑）． 显然 令 所以 ｌ△ｚ， ｌ≤・ 一（邑）＇ Ａ ㈡： （ ， ） ’ ）＝ Ｙ邑（ ） （Ａ （ ａｌ（厂，，ｎ，￡））＝邑（ｙ＋）Ａ ， ）一』。ＹＡ ， ）也（ （ ））≤ 邑））＋ ）Ｊ 一ｔ）－一 ２（一 （（一 （或））． ． ，（ ）Ａ ， ）＋ Ａ ， ）也（ （ ））≤ （ ）（ 一 ） （ （４ｘ ｌ￣） ／ｎ ｎ－＋ ２）＋（ ４ｘ（１＋ｘ）／ｎ ＋ｎ－２ ） （ ）（ 一 ）（ （ ＋ ＋（ 由于 Ｊ。Ｙ（ 一 ）～ （一 （ ））＝一 （邑）／ 一 ）。＋ （ ｚ＋２ （邑）ｄ∥ 一 ） ， （邑）是 （邑）的正交化，且 （邑）＝Ｖ （邑），所以 ｌ Ａｌ，ｎ（厂， ）ｌ≤（４ｘ（１＋ｘ）／ｎ＋， ） （ ） 。＋２ Ｊ： ｄ∥（ 一 ） ． 用ｔ＝ 一 Ｖ ｔ 代替，得 』０ 所以 Ｉ Ａ ＝丢 ）Ｊ≤（ （１ ＋ ） ≤丢熹 ）， （邑）． 若令Ａ ＠， ） Ｊ一 Ｋ ｎ（ ， ）ｄｕ， ＝ ＋ 、／ ｎ ，则△，， （厂， ）＝ｎｌＲｉ ｍ Ｊ （ ）ｄ Ａ 。’ （ ， ），于是ｆ ｆ 邑（ ）ｄ Ａ （ ， ）ｆ＝ｆ＆（ ）Ａ （ ， ）一邑（ ）Ａ （ ，：）二 ＲＡ （ ， ）ｄ （ ）Ｉ≤ （ ）Ａ （ ， ）＋ （邑）Ａ （ ， ） ｆ ＲＡ （鼽 ） （ （ ））≤ （ ）Ａ （ ， ）＋ 一 ）－２（ （１＋ｘ）／ｎ＋ ）＋（ （１＋ｘ）／ｎ＋ ）ｆ Ｒ（￡一 ）－２ｄ 、Ｖ ＇（邑））． 而 ￣ｏ－２ （ （ ＝ 一２ （ …） 所以 ｌ△，， ｌ≤（４ｘ（１＋ｘ）／ｎ＋ｎ ）（一２』 （ ）／（ 一 ） ｄ ）． 维普资讯 http://www.cqvip.com
第１期 毛梁成：Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子收敛速度的估计 ７ 用ｔ＝ ＋— １弋否，１寻 、／ｔ 一』二 （邑）／（ 一 ：』： ｘ＋ｘ ．／ＶＴ－ ＝ （』 （邑 ＋』： （ ）＝ ２ｘ２（∑Ｖｘ （ ）＋ ）． 、ｋ＝１ 从上可得： 一扣 一扣 ｌ≤（ ＋ （ ）＋ （邑）＋ ＋ 一ｃ圳）＋ ．）ｌ≤ ｃ ＋ １ （荟ｎ ｃ邑 ＋ ＋ ｃ邑 ））＋云 一 Ｉ・ ２ 注明 下面说明本文的估计是不可改进的．考虑在［０，。。）上的凼数 ＝（ ＿ ： 对任意小的 ＞０， ．１）磊 ） ＋ ； ㈣ ）＿ 由文［１０］中的引理５得 ∑Ｕｎ－１，ｋ（ ）＝（ 一１）Ｊ Ｖｎｄ（ｔ）ｄｔ， 所以 』 ｘ＋ ８ Ｉ — ＩＶｎ，￣（ ） ≤ ×｝： ． 诵讨简单计算可得． 盟≤Ｖ２ ≤ ， ｎ ｎ ， 那么 ， 伽 ≤ Ｉ— ＩＶｎ，￣㈤ ≤ 』 （ — ）２ ） 所以 ）≤ ＋ ． 而 （厂 ≥（ 一１）磊 ㈤ ｘ＋ｏ ＩＶｎ，￣㈤ ≥ （ｎ．１）磊 ㈤ 卜 ２ （州 一 ）磊 ） （…） ㈤ｄ小 一 ） 州 Ｊ． 维普资讯 http://www.cqvip.com
８ 海南师范大学学报（自然科学版） ￡ （ ｎ＿１） ０ ｖｎｋ（＇２００７正 令 ）＝ ＝Ｏ 则 ＋ ＝ ｌ —ｊ毒 ｎ ＪＩ 一３ Ｊ ５＋ ００ ＋ｌＯ００ｘ。＋１３Ｏｘ ＋１３Ｏｘ＋４ （ｎ一２）（ｎ一３）（ｎ一５） ｎ．８８ｘ ＋１７６ ０＋１０８ｘ ＋２０ｘ １７ ＋３５ ０＋２１ ＋４ （ｎ一２）（ｎ一４）（ｎ一５） 。 （ｎ一３）（ｎ一３）（ｎ ） ’ 所以当ｎ足够大时Ｒ（ ）≤ ｎ 一＋３一 ．若取尼＝４ ＋９ 。＋４ ，则 （厂， ）≥ 一 ＿ ．６３‘ 令６＝ 可得 ３ ２ 一 ＜ ｜ｊ｝（ （１＋ ）） ＋３（ （１＋ ））２ ， ）＜ （１） 、／ ｜ｊ｝ 另一方面因 那么 （Ｉ￡一 Ｉ）： ＋ ， Ｖ （厂， ）一 ）Ｊ≤（４ｘ（１￣ｘ）／ｎ＋ｎ－２）（３ｘＶ７＋Ｍ／ｘ之）≤ 一 （ （１＋ ）／￣ ＋ｎ ）（３ ＋Ｍ／ｘ 、／ ） 比较（１）（２）两式，可知定理１的逼近不可再改进． 参考文献： ［１］Ｌｉ Ｓｏｎｇ．Ｌｏｃｌａ ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ ｏｆｆｕｎｃｉｔｏｎ ａｎｄ Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｅｙｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊ Ａｐｐｒｏｘ Ｔｈｅｏｒｙ，１９９３，８８：１３９—１５３・ ［２］Ｚｈ０ｕ Ｄ Ｘ．Ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｎｄ ａｓｏｍｅ ｔｏｐｉｃｓ ｉｎ Ｗａｖｅｌｅｔｓ【Ｄ］．Ｈａｎｇｚｈｏｕ：Ｚｈｅｊｉｎｇ ＵｍｖｅｒａｓｉＷ，Ｐｈ Ｄ ｔｈｅｓｉｓ．１９９１． ｌｍａｎｎ Ｍ．Ｄｉｒｅｃｔ ｎｄ ｃａｏｎｖｅｓｒｅ ｒｅｓｕｌｓｔ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆＢａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｅｙｅｒ ｔｙｐｅ［Ｊ］．Ａｐｐｒｏｘ ｎｄ ａＡｐｐｌ，１９８９，５：１０５—１２７． ［３］ Ｈｅｒｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子的点态逼近［Ｊ】．数学研究与评论，２００１，２１（３）：４４１—４４６． ［４］ 郭顺生，守占杰．Ｂａ郭顺生．Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ算子的同时逼近［Ｊ］．数学季刊，２００１，１６（１）：３８—４５． ［５］ 齐秋兰，ｎｇ Ｘｉａｏｍｉｎｇ，Ｇｕｐｔａ Ｖ．Ｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆＢａｓｋａｋｏｖ－Ｂｅｚｉｅｒ ｔｙｐｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｆｏｒ ｌｏｃａｌｌｙ ｂｏｕｎｄｅｄ ｆｕｎｃｆｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ ［６］ ＺｅＡｎａｌ Ａｐｐ１，２００２，４４：１４４５—１４５３． ７］ Ｇｕｐｔａ Ｖ．Ａｎ ｅｓｉｔａｔｍｅ ｏｎ ｈｅ ｔｃｏｎｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆＢａｓｋａｋｏｖ—Ｂｅｚｉｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［ｊ］．Ｊ ａｔｍｈ Ａｎａｌ Ａｐｐ１，２００５，３１２：２８０—２８８． ８］ Ｃｈｏｗ Ｙ Ｓ，Ｔｅｉｃｈｅｒ Ｈ．Ｔｅｉｃｈｅｒ Ｐｒｏｂｉｌｉｔｙ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７８． ｘ Ｍ．ＺｈａｏＪ Ｎ．Ｅｘａｃｔ ｂｏｕｎｄｓ ｏｒｆ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｉｔｏｎｓ ｏｆａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅａｔｒｏｒｓ［Ｊ】．Ｊ Ｉｎｅｑｕａｌ Ａｐｐ１，２００１（６）：３６３—３７５． ９］ Ｚｅｎｇ １０ ］Ｗａｎｇ Ｙｕａｎｋｕｉ，Ｇｕｏ Ｓｈｕｎｓｈｅｎｇ．Ｒ．ａｔｅ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｉｔｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｉｔｏｎｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｉｒａｉｔｏｎ ｂｙ ｍｏｄｉｉｆｅｄ Ｌｕｐａｓ ｏｐｅｒａｔｏｒｓＢｕｌｌ Ａｕｓｔｒａｌ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ．１９９１．４４：１７７—１８８． ［Ｊ］． Ａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｎ ｔｈｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｂａｓｋａｋｏｖ－Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ Ｍａｏ Ｌｉａｎｇｃｈｅｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｈｕａ ３２１００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅ￣ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｂｏｊａｎｉｃ，ｗｅ ｇａｖｅ ａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｎ ｈｅ ｔｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒ— ｒｍｅｙｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｎ［０，∞）ａｎｄ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｈｅｔ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ・ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｄｕｒｒｍｅｙｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎ；ｔｈｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
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