阻尼振动的探究

阻尼振动的探究

摘要：

以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。

关键词：

阻尼振动阻尼系数衰减

Research on damped vibration

Abstract:

This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration. At the same time, this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples.

Keyword:

damped vibration damping coefficient attenuation

简谐运动又叫做无阻尼自由振动。但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，

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所以它的能量将不断地减少。一定时间后回到平衡位置。弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。

分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。即

𝐹=−𝑘𝑥

由牛顿第二定律，可得

ⅆ2𝑥ⅆ2𝑥𝑘

𝑚2=−𝑘𝑥 → 2+𝑥=0 ⅆ𝑡ⅆ𝑡𝑚此微分方程的通解为

𝑘2

𝑥=𝐴cos 2𝑡+𝜑

𝑚给定初始值，弹簧在t=0时，x=𝑥0，

dxd𝑡

=0,则此微分方程的解为

𝑘2

𝑥=𝑥0cos⁡(2𝑡)

𝑚弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点𝑥0距离，即弹簧被拉长𝑥0(𝑥0>0)。而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。如方程所描述弹簧作简谐振动。如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？

由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：

ⅆ𝑥 ⅆ𝑡𝛾为正比例常数。则此时，上面所列弹簧振子的运动方程应为：

𝑓𝑟=−𝛾𝑣=−𝛾ⅆ2𝑥ⅆ𝑥𝑚2=−𝑘𝑥−𝛾 ⅆ𝑡ⅆ𝑡2

考虑此方程，令𝜔0=𝑚2𝛽=𝑚。可知𝜔𝑜即为弹簧振子在无阻力振动时的角频率，称𝛽为

𝑘

𝛾

阻尼系数，如此可得：

2

ⅆ𝑥ⅆ𝑥2

+2𝛽+𝜔0𝑥=0 2ⅆ𝑡ⅆ𝑡此微分方程通解为：

𝑥 𝑡 =𝐴𝑒

2 𝑡 −𝛽+ 𝛽2−𝑤0

+𝐵𝑒

2 𝑡 −𝛽− 𝛽2−𝜔0

A,B由弹簧振子的初始值，即t=0时的x，d𝑡值决定。由上通解无法直观看出弹簧振子的实际运动景象如何。下面以𝛽与𝜔𝑜的大小关系分为三种情况考虑。

𝛽<𝜔𝑜时，可将通解化为如下形式：

𝑥(𝑡)=𝐴0𝑒−𝛽𝑡cos⁡(𝜔𝑡+𝜑0) 其中𝜔= 𝜔02−𝛽2

而𝐴0,𝜑0由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像，大致如下

dx

2

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1.00.524681012140.5

𝛽=𝜔0时，微分方程的解为

𝑥(𝑡)= 𝐴1+𝐴2𝑡 𝑒−𝛽𝑡

而𝐴1𝐴2值由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像大致如下：

1086420.0020.0040.0060.0080.010 𝛽>𝜔𝑜时，微分方程的解为

𝑥 𝑡 =(𝐴𝑒

102 𝑡 𝛽2−𝑤0

+𝐵𝑒

2 𝑡 − 𝛽2−𝜔0

)𝑒−𝛽𝑡

A,B值由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像大致如下： 86420.0050.0100.0150.020 3

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𝛽为阻尼系数，当𝛽<𝜔𝑜，即阻尼系数较小时，这种阻尼作用称为欠阻尼。欠阻尼下，弹簧作振幅逐渐减小的振荡性周期运动。𝛽≥𝜔𝑜时，弹簧振子将不做周期运动，而是作幅度逐渐衰减的运动，一定时间后，弹簧振子回到平衡位置。𝛽=𝜔𝑜，称为临界阻尼。𝛽>𝜔𝑜称为过阻尼。由欠阻尼和过阻尼的图像比较，同时观察过阻尼情况下的弹簧振子运动方程可知。临界阻尼时衰减最快，阻尼系数越大时，衰减越慢。下面考虑另一阻尼振动例子。

LC振荡电路中，加入电阻，即LCR电路的振荡是阻尼振荡电路。因此LCR电路的振荡也是一个阻尼振动的例子。分析此电路，电路中电流为：

𝑖=−𝑐

则电阻上电压为：

𝑢𝑅=−𝑐𝑅

电感上电压为：

2ⅆ𝑢𝑐

𝑢𝐿=−𝐿𝑐2

ⅆ𝑡ⅆ𝑢𝑐

ⅆ𝑡ⅆ𝑢𝐶

ⅆ𝑡由KVL得：

ⅆ2𝑢𝑐𝑅ⅆ𝑢𝑐1

++𝑢=0 ⅆ𝑡2𝐿ⅆ𝑡𝐿𝑐𝑐

2

令2𝛽=𝐿𝜔0=𝐿𝐶，可得到：

𝑅

1

ⅆ2𝑢𝑐ⅆ𝑢𝑐

2

+2𝛽+𝜔0𝑢𝑐=0 2𝑑𝑡ⅆ𝑡观察可知此式子与有阻力的弹簧振子的振动方程，具有完全一样的形式。故可知其中电容上的电压也有欠阻尼振动，过阻尼振动与临界阻尼振动。考虑一实际例子。电路中参数如下：

电容上初始电压为10V，电路中电流初始为0，电阻与电感上都无初始电压值。电阻分别取600欧姆，2000欧姆，4000欧姆，8000欧姆。电容为1𝜇𝐹，电感为1𝐻。计算可得𝐿𝐶为1000000。 因此，当电阻为600欧姆时，为欠阻尼；2000欧姆时为临界阻尼；4000及8000时为过阻尼。四种电阻情况，亦即四种阻尼系数情况下，RLC电路中电容上电压的变化有四个不同的函数。在一个图中做出四种情况下电压随时间的变化图像如下：

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1086420.00520.0100.0150.0204R，600时，U=(0.00524ⅈ)((300−953.93ⅈ)ⅇ(−300−953.93ⅈ)𝑡R, 2000时，U=10ⅇ−1000𝑡(1+1000𝑡)

R,4000时，U=−0.00289(267.95ⅇ−3732.05𝑡−3732.05ⅇ−267.95𝑡) R,8000时，U=−0.00129(127.02ⅇ−7872.98𝑡−7872.98ⅇ−127.02𝑡)

由RLC振荡电路的阻尼振动的图像中也可看出，在非欠阻尼的情况下，阻尼系数越大时，衰减越慢。

由弹簧振子及RLC电路两个阻尼振动的例子可以看出，当两个振动系统的初始值如下：

U或X在t=0时刻是有一正值，而t=0时刻，两者的一阶导数为0

阻尼振动的衰减，是阻尼系数越大衰减越慢。这似乎不合情理，应该是阻尼系数越大，振动时阻力越大，系统对外做功的功率越大，则衰减越慢。但从图像中可以看出，实际情况是阻尼系数越大，衰减越慢。因此，实际阻尼振动系统的衰减不能如上简单的分析。

上面的弹簧振子的阻尼振动例子中图像所反映的衰减是初始值为振子有一定位移，而速度为0的阻尼振动的衰减。分析在这种情况下的弹簧振子的运动情况，从0时刻起，由于弹簧弹力作用，振子有了加速度，速度开始从0增加，从能量转换的角度看是势能在转换为动能。但由于是阻尼振动，弹簧在运动中随速度的增加，阻力也变大，弹簧克服阻力做功，在此过程中有动能损失掉了。即由于阻力的影响，由势能转换来的动能渐渐损失了。在不同的阻尼系数情况下，由下式

ⅆ2𝑥ⅆ𝑥𝑚2=−𝑘𝑥−𝛾 ⅆ𝑡ⅆ𝑡可看出阻尼系数越小，振子的加速度就会越大，速度越大，振子的位移减小的就会越快，反映在图像上就是曲线更快的靠近x轴。也就是说，阻尼系数越小弹簧振子的势能转换为动能就越快。而由微分方程的解可看出当阻尼系数大于等于临界阻尼时，弹簧振子的势能就是一直减小到0。而阻尼振动的能量损失是动能的损失，而动能越大时能量损失的速度也越快。因此，对于初始能量一样的振动系统，当势能转换为动能越快时，动能的值就越大，能量损失的速度就越快。因此，阻尼系数越大，衰减反而越慢了。

而上述RLC电路例子中，阻尼系数大也就是电阻越大。初始时电流为0，电容上有一初始电压。然后，电流开始从0增大。RLC电路中能量的损失，就是电流对电阻做功引起的能

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−(300+953.93ⅈ)ⅇ(−300+953.93ⅈ)𝑡)

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量损失。由P𝑅=I2𝑅可知，电流变大对功率变大的做到贡献比电阻变大对功率变大做的贡献要大的多，即电流大时能量损失快。而在电容电感不变，只有电阻变大的情况下。电流变大的速率明显慢了下来，电流比较小。从而能量损失也就变慢了。振荡的衰减也就慢很多。而阻尼系数较小，即电阻值较小时，电流变化较快，电流较阻尼系数大时的电流大，从而能量损失变快，衰减变快。

同时，可以观察在初始值为如下情况时的振动图像：

U或X在t=0时刻为0，而t=0时刻，两者的一阶导数为一值

以上述RLC电路为例，取初始时，电容上电压为0，电路中电流为10。则不同电阻情况下图像如下。

电阻为4000及8000欧姆时的过阻尼情况下：

0.00200.00150.00100.0005 其中8000欧姆时为峰值较小的曲线。从0到峰值时，电流从初值减小为0，电容上电压从0到峰值。可以看出，阻值大时，最后的电压峰值较小，即能量损失大。而这是因为两情况下，初始时电流为一定值，而电流大时能量损失大一些，阻值大时，电流变化慢些，电流较大的时间比较多，故电阻大时能量损失大。而达到峰值后，电阻大时电压的变化较为缓慢。即电流值比较小，其由于阻值大，电流变大也慢一些，电流比较小，能量损失也比较慢。电阻小时，电流变化较大，电流较大，所以衰减快。

0.0050.0100.0150.020参考文献：

《大学物理学第四册波动与光学》张三慧主编清华大学出版社 《电路》原著邱关源修订罗先觉高等教育出版社

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