初中数学几何辅助线练习题目

3如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．

解：1如图1,依题意得：△A1C1B≌△ACB. ∴BC1=BC,∠A1C1B =∠C=30°. ∴∠BC1C = ∠C=30°. ∴∠CC1A1 = 60°. 2如图2,由1知：△A1C1B≌△ACB. ∴A1B = AB,BC1 = BC,∠A1BC1 =∠ABC. ∴∠1 = ∠2,

A1BAB42∴ △A1BA∽△C1BC C1BBC632∴

SΔA1BASΔC1BC442.∵SΔC1BC3,∴SΔA1BA.

933AA112C1（3）线段EP1长度的最大值为8,EP1长度的最小值1.

2. 在Rt△ABC中,∠A=90°,D、E分别为AB、AC上的点． 1如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF∥EB,且CF=EB,连接

B图2CDF交

EBEB于点G,连接BF,请你直接写出的值；

DC 2如图2,CE=kAB,BD=kAE,EB1,求k的值．

DC2

AAEB2E于点G, 连接BF. 解：1.2过点EC作CF∥EB且CF=EB,连接DF交EBDC2DD∴四边形EBFC是平行四边形. ∴CE∥BF且CE=BF.∴∠ABF=∠A=90°. GB∵BF=CE=kAB.∴BFBDBFBDBk.∵BD=Ck.∴kAE,∴.∴CDBF∽EAB. ∴

ABAEABAEDFk,∠GDB=∠AEB.∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.

FBE图1 图2 CFEB1DFDF.∴3.∴k=3. AEDCDC2EBCF3. 1如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线D,联结AD、BE 相交于点P,求证： BE = AD. G2如图2,在△BCD中,∠BCD＜120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形BCABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 只填∵

序号即可

①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； 3如图2,在2的条件下,求证：PB+PC+PD=BE.

E

A1证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形 CCA=60°∴∠BCE=∠ACD.∴△BCE≌△ACDSAS ∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCEA∴BE=AD PE2①②③都正确 --------------4分 PPDBCDDBBFD=图1

F图2

F3证明：在PE上截取PM=PC,联结CM

由1可知,△BCE≌△ACDSAS∴∠1=∠2 设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中

∵∠1=∠2,∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° A∴△CPM是等边三角形--------------5分 ∴CP=CM,∠PMC=60°∴∠CPD=∠CME=120° ∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CMEAAS---6分 ∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.

即PB+PC+PD=BE.

4. 已知：AD2,BD4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点

在直线AB的两侧.

1如图,当∠ADB=60°时,求AB及CD的长；

2当∠ADB变化,且其它条件不变时,求CD 的 最大值,及相应∠ADB的大小.

C BC于点G . 解：1过点A作AG ∵∠ADB=60°,AD2,

A ∴DG1,AG3, ∴ GB3,

D B

AG3 ∴ tanABG,

E1CMGPB2DF落

BG3 ∴ABG30,AB23, ……………… 1分；

∵ △ABC是等边三角形,

∴ DBC90,BC23, ……………… 2分； 由勾股定理得：CDDBBC423222227. …… 3分；

2作EAD60,且使AEAD,连接ED、EB. ………… 4分； ∴△AED是等边三角形, ∴AEAD,EAD60,

∵ △ABC是等边三角形,

∴ABAC,BAC60,

∴EADDABBACDAB, 即EABDAC,

∴△EAB≌△DAC. ……………… 5分； ∴EB=DC .

当点E、D、B在同一直线上时,EB最大,

∴EB246, ∴ CD 的最大值为6,此时ADB120.

D 另解：作DBF60,且使BFBD,连接DF、AF.

F第24题图 参照上面解法给分.

5. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=,点P在△ABC的内部．

1 如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在AB、BC边上,则cos=_______, △PMN周长的最小值为_______；

CAED第24题图BCBA2 如图2,若条件AB=2AC不变,而PA=2,PB=10,PC=1,求△ABC的面积； 3 若PA=m,PB=n,PC=k,且kmcosnsin,直接写出∠APB的度数．

3解：1cos=,△PMN周长的最小值为 3 ； ………………………2分

2 2分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折,点P的对称点分别是点D、E、F,连接DE、

DF,如图6

则△PAB≌△DAB,△PCB≌△ECB,△PAC≌△FAC.

∴AD=AP=AF, BD=BP=BE,CE=CP=CF.

∵由1知∠ABC=30°,∠BAC=60°,∠ACB=90°, ∴∠DBE=2∠ABC=60°,∠DAF=2∠BAC=120°, ∠FCE=2∠ACB=180°.

∴△DBE是等边三角形,点F、C、E共线. ∴DE=BD=BP=10,EF=CE+CF=2CP=2. ∵△ADF中,AD=AF=2,∠DAF=120°, ∴∠ADF=∠AFD=30°.

∴DF=3AD =6.

222BDPAFEC ∴EFDF10DE. 图

∴∠DFE=90°. ………………………………………………………4分 6 ∵S多边形BDAFE2SABCSDBESDFESDAF,

3112(10)2626336. 4222336 ∴SABC. ……………………………………………5分

2 3∠APB=150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM⊥DE于M,AN⊥DF于N.如图7 由2知∠DBE=2,∠DAF=1802.

B ∵BD=BE=n,AD=AF=m,

∴∠DBM=,∠DAN=90. ∴∠1=90,∠3=. ∴DM =nsin,DN=mcos. ∴DE=DF=EF. D12 ∴∠2=60°.

3ME ∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°. P ∴2SABCANCF图7