初中数学几何辅助线练习题目

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．

C1AAA1BA1图1CB图2CC1A1AEB图3P1C1PC 解：（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB. ∴BC1=BC，∠A1C1B =∠C=30°. ∴∠BC1C = ∠C=30°. ∴∠CC1A1 = 60°. （2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB. ∴A1B = AB，BC1 = BC，∠A1BC1 =∠ABC. ∴∠1 = ∠2，

C1ABA1图1CA1BAB42∴ △A1BA∽△C1BC C1BBC632∴

SΔA1BASΔC1BC442.∵SΔC1BC3，∴SΔA1BA.

933AA1C1（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1.

12

CB

图2

2. 在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点． （1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，

连接BF，请你直接写出

EB的值； DC （2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，EB1，求k的值．

DC2

A AEE

D D

G BCB

F图1

图2

CEB2.(2)过点C作CF∥EB且CF=EB，连接DF交EB于点G, 连接BF. DC2∴四边形EBFC是平行四边形. ∴CE∥BF且CE=BF.∴∠ABF=∠A=90°.

解：(1)

∵BF=CE=kAB.∴

BFBDBFBD.∴DBF∽EAB. ∴k.∵BD=kAE，∴k.∴ABAEABAEDFk,∠GDB=∠AEB.∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°. BE∵

CFEB1DFDF.∴3.∴k=3. DCDC2EBCFAE D G

BC

F

3. （1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE 相交于点P，求证： BE = AD.

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可）

①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.

E

A CC AA EP PPD DBBDD BC

=图1

F

F

图2

(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCE=∠ACD.∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴BE=AD

（2）①②③都正确 --------------4分 （3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM

由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠2

1设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中

C∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理AMG∠CPE=60°

P∴△CPM是等边三角形--------------5分 2B∴CP=CM，∠PMC=60°∴∠CPD=∠CME=120°

∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6分 ∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.

即PB+PC+PD=BE.

FED

4. 已知：AD2，BD4，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的

两侧.

（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；

（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB的大小. C A

D B

C解：（1）过点A作AGBC于点G . ∵∠ADB=60°，AD2， ∴DG1，AG3， ∴ GB3，

∴ tanABGAAG3BDG，

BG3第24题图o ∴ABG30，AB23， ……………… 1分；

∵ △ABC是等边三角形，

o ∴ DBC90，BC23， ……………… 2分；

由勾股定理得：CDoDBBC423222227. …… 3分；

（2）作EAD60，且使AEAD，连接ED、EB. ………… 4分；

C ∴△AED是等边三角形， ∴AEAD，EAD60，

∵ △ABC是等边三角形，

∴ABAC，BAC60，

∴EADDABBACDAB， 即EABDAC，

∴△EAB≌△DAC. ……………… 5分； ∴EB=DC .

当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，

∴EB246，

oooAED第24题图BCBAD ∴ CD 的最大值为6，此时ADB120. 另解：作DBF60，且使BFBD，连接DF、AF. 参照上面解法给分.

o第24题图F

5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．

(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______， △PMN周长的最小值为_______；

(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面积； (3) 若PA=m，PB=n，PC=k，且kmcosnsin，直接写出∠APB的度数．

3，△PMN周长的最小值为 3 ； ………………………2分 2 （2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别

是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）

则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC. ∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF. B ∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°， ∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°， ∠FCE=2∠ACB=180°.

∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.

D ∴DE=BD=BP=10，EF=CE+CF=2CP=2.

解：（1）cos= ∵△ADF中，AD=AF=2，∠DAF=120°， ∴∠ADF=∠AFD=30°. ∴DF=3AD =6.

222PAFEC ∴EFDF10DE.

图

∴∠DFE=90°. ………………………………………………………4分

6

∵S多边形BDAFE2SABCSDBESDFESDAF， ∴2SABC

∴SABC3112(10)2626336. 4222336. ……………………………………………5分 2

（3）∠APB=150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7） 由（2）知∠DBE=2，∠DAF=1802.

B ∵BD=BE=n，AD=AF=m，

∴∠DBM=，∠DAN=90.

∴∠1=90，∠3=.

D1 23ME ∴DM =nsin，DN=mcos.

P ∴DE=DF=EF.

N ∴∠2=60°.

AC ∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.

F

图7