第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题
1．设 ，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m⊂，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题 C．①②都是真命题
B．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )． ．．A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1角为60°
3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题： ①m∥，n∥且∥，则m∥n； ③m⊥，n∥且∥，则m⊥n； 其中真命题的序号是( )． A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
(第2题)
②m⊥，n⊥且⊥，则m⊥n； ④m∥，n⊥且⊥，则m∥n．
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行 ④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是( )． ．A．1
B．2
C．3
D．4
5．下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行
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③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6． 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )． A．不存在
B．有唯一的一个
C．有无数个
D．只有两个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
8．下列说法中不正确的是( )． ．．．．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3
C．2
D．1
10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )． A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] 二、填空题
11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 ．
12．P是△ABC 所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC． (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC 的 心；
D．[30°，120°]
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(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC 的 心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC 的 心； (4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的 点； (5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的 线上． 13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 ．
14．直线l与平面 所成角为30°，l∩＝A，直线m∈，则m与l所成角的取值范围 是 ．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为 ．
16．直二面角－l－的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB，AC，则∠BAC＝ ．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC⊥AD；
(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；
(3)设二面角A－BC－D的大小为 ，猜想 为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)
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(第17题) (第13题)
J
18． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值.
19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)
(第19题) (第18题)
1． 2第 4 页 共 11 页
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20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组 一、选择题 1．D
解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n， l⊂，m⊂，
且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面 ，(第1题) 故②是假命题；命题①显然也是假命题， 2．D
解析：异面直线AD与CB1角为45°． 3．D
解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定． 4．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D． 5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线
都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)
6．B
解析：设平面 过l1，且 l2∥，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ，与 的交线l3∥l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.
7．C
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解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
8．D
解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选B． 10．A
解析：异面直线a，b所成的角为60°，直线c⊥a，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’∥b， c’∥c. 若a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则 b’ 与 为(30°，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题 11．
c’ 所成的角的范围
132S1S2S3．
解析：设三条侧棱长为 a，b，c． 则 ∴
111ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3 三式相乘： 2221222
a b c＝S1S2S3， 8∴ abc＝22S1S2S3． ∵ 三侧棱两两垂直，
111∴ V＝abc·＝
2332S1S2S3．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．
解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．
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14．[30°，90°]．
解析：直线l与平面所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°．
15．
6． 313×(d1＋d2＋d3＋d4)＝13·h，而h＝6． 34343解析：作等积变换：16．60°或120°．
解析：不妨固定AB，则AC有两种可能． 三、解答题
17．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO． ∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形， ∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，
∴BC⊥AD． (第17题)
解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝，则过点D作DE⊥AD，垂足为E．
∵BC⊥平面ADO，且BC平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO， ∴DE⊥平面ABC．
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3． 又DO＝
3BD＝23， 23DE＝，
2DO3． 2在Rt△DEO中，sin＝
故二面角A－BC－D的正弦值为
(3)当 ＝90°时，四面体ABCD的体积最大．
18．证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴DEC90，即DE⊥EC．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，
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∴BC⊥DE．又ECBCC，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．
(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面
D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角
E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝
又OE＝1，所以，tanEFO＝5．
1， (第18题) 51121＝3， 19*．解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面＝(BC＋AD)AB＝
2421＋1131∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝·SA·M底面＝×1×＝．
4433(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱． ∵AD∥BC，BC＝2AD， ∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线． 又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB 上的射影，
∴CS⊥SE，∠BSC是所求二面角的平面角． ∵SB＝SA2＋AB2＝2，BC＝1，BC⊥SB， ∴tan∠BSC＝
BC2＝， SB2 (第19题)
即所求二面角的正切值为
2． 220*．解：如图，设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1⊥截面PQR，AA1∥CC1，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且
(第20题)
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PO＝6． ∴V斜＝S△PQR·AA1＝
1·QR·PO·AA1
2＝12·PO·QR·BB1 ＝
12×10×6 ＝30．
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