一、选择题(本大题共12小题，每小题合题目要求的)
1．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线是异面直线；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是A．①②答案：B
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不相交
B.
(
)
(
)
C．①③
D．②③
5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
B．②④
解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选答案：B
3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是A．1个C．1个或3个
B．3个
D．1个或3个或4个
(
)
解析：当A、B、C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当定3个平面；当A、B、C三点不共线时，可确定
答案：D
4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是A．三条交线为异面直线C．三条交线交于一点答案：D
B．三条交线两两平行
(
4个平面．
A、B、C共线且与l异面时，可确
)
D．三条交线两两平行或交于一点
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是(
) A．5
B．8
C．10
D．6
1 / 9
解析：这些直角三角形是：共8个．
答案：B
6．下列命题正确的有
(
△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.
)
α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线．
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交②若三条平行线
a、b、c都与直线l相交，则这四条直线共面．
③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个C．2个
B．1个D．3个
解析：易知①与②正确，③不正确．答案：C
7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P?l，则下列命题中的假命题是A．过点P且垂直于α的直线平行于C．过点P且垂直于β的直线在α内答案：B
β
(
)
B．过点P且垂直于l的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于
β
8．如右图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线
OM(
)
B．与AC垂直，与MN不垂直
A．与AC、MN均垂直相交C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直
解析：易证AC⊥面BB1D1D，OM?面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN. 答案：A
9．(2010·江西高考)如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线②过M点有且只有一条直线与直线③过M点有且只有一个平面与直线
AB，B1C1都相交；AB，B1C1都垂直；AB，B1C1都相交；
2 / 9
④过M点有且只有一个平面与直线其中真命题是(A．②③④C．①②④
)
AB，B1C1都平行．
B．①③④D．①②③
所得平面与直线
AB，B1C1都相交，
解析：将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，故③错误，排除A，B，D.
答案：C
10．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离相等，则正确的结论是()
A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
解析：排除A、B、C，故选D. 答案：D
11．(2009·广东高考)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是(
)
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
答案：D
12．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点F，且EF＝1
2
，则下列结论错误的是
(
)
A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
3 / 9
、
E解析：易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE. ∵EF在直线B1D1上，易知
B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，11122×××1×＝VA－BEF＝. 322224∴A、B、C选项都正确，由排除法即选答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题
5分，满分20分．把答案填在题中横线上
)
D.
13．已知A、B、C、D为空间四个点，且A、B、C、D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析：如图所示：由图知，
AB与CD为异面直线．
答案：异面14．在空间四边形
ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于
一点M，那么M一定在直线________上．
答案：BD
15．如下图所示，以等腰直角三角形垂直的两个平面，则：
ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相
(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.
解析：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC为二面角的平面角，∴BD⊥DC.
(2)设等腰直角三角形的直角边长为∴BD＝CD＝
2
a. 2
22a＋2
22
a＝a. 2
4 / 9
a，则斜边长为
2a.
∠BDC＝90°，
∴折叠后BC＝
∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°. 答案：(1)BD⊥CD16．在正方体则
①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面以上结论正确的为解析：如图所示：
BB′D.
)
(2)60°
BD′的一个平面交
AA′于E，交CC′于F，
ABCD—A′B′C′D′中，过对角线
__________．(写出所有正确结论的编号
∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形CC′中点时正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．(10分)如下图，已知
ABCD是矩形，E是以CD为直径的半圆周上一点，且面
)
ABCD)．④正确．当E、F分别是AA′、
CDE⊥面ABCD.
求证：CE⊥平面ADE.
面ABCD⊥面CEDABCD为矩形?AD⊥面CDE?AD⊥CE
点E在直径为CD的半圆上?CE⊥ED又AD∩ED＝D?CE⊥面ADE.
18．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
证明：
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已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.
求证：截面EFGH是平行四边形．证明：
∵SC∥截面EFGH，SC?平面EFGH，SC?平面ASC，且平面ASC∩平面EFGH＝GH，∴SC∥GH.
同理可证SC∥EF，∴GH∥EF. 同理可证HE∥GF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
19．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为2
3
a，如图．(1)求证：MN∥面BB1C1C；(2)求MN的长．
解：(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，
∴
APAB＝ANAC＝A1M
A1B
，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C. MN?面MPN，∴MN∥面BB1C1C.
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A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2
(2)
NP3
aBC＝ANAC＝2a＝13，NP＝1
3a，同理MP＝23a.
又MP∥BB1，
∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN. 在Rt△MPN中MN＝
49a2＋1259a＝3
a. 20．(12分)(2009浙江高考·)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ?平面ACD，从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB. 因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝1
2EB＝DC，
所以四边形CQPD为平行四边形，故
DP∥CQ，
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ACB＝120°，∠P因此DP⊥平面ABE，
∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，5
sin∠DAP＝，
5
因此AD和平面ABE所成角的正弦值为
5. 5
21．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD. (2)平面EFC⊥平面BCD. 证明：(1)在△ABD中，
∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.
又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直线EF∥面ACD.
(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. 在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
22．(12分)(2010安徽文·)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
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(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B—DEF的体积．
解：(1)证明：设AC与BD交于G，则G为AC中点，连接EG，GH，由于H为BC中点，故GH綊1
2
AB. 又∵EF綊1
2AB，∴EF綊GH，
∴四边形EFHG为平行四边形，
∴EG∥FH，而EG?平面EDB，FH?平面EDB，∴FH∥平面EDB.
(2)证明：由于四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∵EF∥AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
∵BF＝FC，H为BC中点，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABCD，
∴FH⊥AC，∵FH∥EG，∴AC⊥EG. ∵AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF，∴BF是四面体B—DEF的高，∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2. ∴VB－DEF＝1×1
×1×
2×2＝1
32
3
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